高中3.3.1几何概型教案设计

几何概型        姓名      

☆学习目标：1. 了解几何概型的概念及基本特点；

 2. 掌握几何概型中概率的计算公式；

    3. 会进行简单的几何概率计算．

☻知识情境：

 1. 基本事件的概念:  一个事件如果                      事件，就称作基本事件.

基本事件的两个特点:

10.任何两个基本事件是      的；

20.任何一个事件(除不可能事件)都可以                 .

 2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：

10.试验中所有可能出现的基本事件         ；

20.各基本事件的出现是         ，即它们发生的概率相同．

具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.

 3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个

                    基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：

  。

☻问题情境：

试验１．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断．

 试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色．

奥运会的比赛靶面直径为，靶心直径为．运动员在外射箭．

假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．

  问题：对于试验１：剪得两段的长都不小于的概率有多大？

           试验２：射中黄心的概率为多少？

3.分析：

试验１中,从每一位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为的绳上的任意一点．

试验2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,点可以是靶面直径为的圆内的任一点．

在这两个问题中，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂,但是基本事件有无限多个，

显然不能用古典概型的方法求解．那么, 怎么求解?

①考虑第一个问题，记事件＂剪得两段的长都不小于＂．

把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，

事件发生．由于中间一段的长度等于绳长的       ，

于是事件发生的概率．　　　　　　　　　　　

②第二个问题，记事件＂射中黄心＂为，

由于中靶心随机地落在面积为的大圆内，

而当中靶点落在面积为的黄心内时，事件发生，

于是事件发生的概率．

☆新知生成：

1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区

域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发

生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，

平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

2.几何概型的基本特点：

（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

（２）每个基本事件出现的可能性相等．

3.几何概型的概率公式：在区域中随机地取一点, 记事件＂该点落在其内部一个区

域内＂，则事件发生的概率

= ．

说明：（１）的测度不为；

（２）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段,平面图形,立体图形时，

相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．

（３） 区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何

部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．

☆例题学习：

例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

（2）如课本P135图中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时，

甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

例2   某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，

求此人等车时间不多于10分钟的概率．

例3    在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，

假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

例4   在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，

则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？

参考答案:

1. 随机事件的概念

（1）必然事件：每一次试验都一定出现的事件，叫必然事件；

（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件，叫不可能事件；

（3）随机事件:随机试验的每一结果或随机现象的每一种表现叫的随机事件,简称为事件.

2.基本事件的概念: 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，就称作基本事件.

   基本事件的两个特点:

10.任何两个基本事件是互斥的；

20.任何一个事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

    古典概型有两个特征：

10.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

20.各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．

P（A）=

考虑第一个问题，记＂剪得两段的长都不小于＂为事件．把绳子三等分，于是当剪

断位置处在中间一段上时，事件发生．由于中间一段的长度等于绳长的，

于是事件发生的概率．　

第二个问题，记＂射中黄心＂为事件,因中靶心随机地落在面积为的大圆内，

而当中靶点落在面积为的黄心内时，事件发生，

于是事件发生的概率．

例1

分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试

验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。

解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴

影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．

例2

分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.

解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．

小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．

例3

分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的, 而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。

解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．

答：钻到油层面的概率是0.004．

例4

分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。

解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则

P(A)= ==0.01．

答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．