人教版新课标B必修33.3.1几何概型教案设计

3.3.1 几何概型教学设计

教学目标

1．知识目标

①通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别；

②理解并掌握几何概型的定义；

③会求简单的几何概型试验的概率.

2．情感目标

①让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象；

②通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力；同时，适当地增加学生合作学习交流的机会，培养学生的合作能力.

重点难点

重点：几何概型概念的理解和公式的运用；

难点：几何概型的应用.

只有掌握了几何概型的概念及特点，才能够判断一个问题是否是几何概型，才能够用几何概型的概率公式去解决这个问题.而在应用公式的过程中，几何度量的正确选取是难点之一，要好好把握.

学情分析及教学内容分析

本节课是新教材人教B版必修3第三章第三节的第一课，它在课本中的位置排在古典概型之后，在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的，一是为了体现和古典概型的区别和联系，在比较中巩固这两种概型；二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法，在教材中起承上启下的作用.

通过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.

另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也是需要特别重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.

为了更好地突出重点，突破难点，我将整个教学过程分为“问题引入——概念形成——探索归纳——巩固深化”四个环节.

教学过程

1．问题引入

引例1   北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，扩大知名度，特举办了一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

    设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫.

引例2   厂商为了增强活动的趣味性，改变了活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

设计意图：

1．以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；

2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；

3．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.

问题提出后，学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4.”

提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？

    学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决.”

教师继续提问：这个问题是古典概型吗？

    通过提问，引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性.发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”，而不是“指针指向的区域”，所以有无限多种可能，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.

   也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题，刚才我们的解答只是猜测.到这里，我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念.

2．概念形成

记引例2中的事件为“指针指向阴影区域”，通过刚才的分析，我们发现事件包含的基本事件有无数个，而试验的基本事件总数也是无数个.如果我们仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件个数与试验的基本事件总数的比例来解决这个问题，那样就会出现“无数比无数”的情况，没有办法求解.

因此，我们需要一个量，来度量事件和，使这个比例式可以操作，这个量就称为“几何度量”.这就得到了几何概型的概率公式，其中表示区域的几何度量，表示子区域的几何度量.

引例2就可以选取面积做几何度量来解决.

通过上面的分析，引导学生发现：几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，但是它的试验结果在一个区域内均匀地分布，因此它满足无限性和等可能性的特征.其求解思路与古典概型相似，都属于“比例解法”.

3. 探索归纳

问题1  在500ml水中有一个草履虫，现从中随机抽取2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.

问题2  取一根长为4米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少？

设计意图：

1．让学生分别体会用体积、长度之比来度量概率，加深学生对几何概型概念的理解；

2．强化解决几何概型问题的关键是抓住问题的实质，找出临界状态。这是解决几何概型问题的第一个关键.

问题3   如图2, 设为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与连结，求弦长超过半径的概率？

由学生讨论解答.

预期思路1：(见图3)                               

根据题意，在圆周上随机取一点，有无限种可能，而每一点被取到的机会都一样，满足几何概型的特点，可以考虑用几何概型求解.

先找临界状态，即弦长等于半径时所取的点的位置.找到两个位置，使得和是两个全等的正三角形.即在取点时弦长刚好等于半径；而在和两段劣弧上取点时弦长小于半径；在这段优弧上取点时，弦长超过半径。因此问题转化

为弧长之比.

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预期思路2：（见图4）也可以转化为角度之比.

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预期思路3：（见图5）也可以转化为面积之比.

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提出问题：为什么这道题可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解？

由学生分组讨论,给出回答：因为在半径一致的情况下，弧长之比等于角度之比，也等于面积之比.

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设计意图：加深学生对几何概型的理解，从而抓住解决几何概型问题的实质.

问题4   如图6,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（  ）

A．一样大  B. 黄、红区域大  C. 蓝、白区域大  D. 由指针转动圈数确定

设计意图：通过与引例2对比，使学生发现这两个问题选择的正确几何度量应该是“角度”，而不是“面积”.而引例2之所以用面积比也能解决问题，是因为其面积比恰好等于角度比.

提出问题：如何才能找到最恰当的几何度量呢？

引导学生找问题中的“提示”.如问题3中在圆周上任意取点，因此选取弧长作为几何度量是最恰当的方法.

几何度量的正确选择是解决几何概型问题的第二个关键.

4。巩固深化

练习1   如图7,在面积为的的边上任取一点，求的面积小于的概率.

练习2   如图8,向面积为的内任投一点，求的面积小于的概率.

练习3   如图9,向体积为的三棱锥内任投一点，求三棱锥的体积小于的概率.

设计意图：通过这3个问题的对比，加深学生对几何度量选取的理解，关键是判断在何处取点.

问题5  一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形(如图10)，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.

问题6  平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径为的硬币任意掷在这平面上(如图11)，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．

设计意图：

1．开拓学生的思路，进一步提高学生分析、解决问题的能力；

2．引导学生归纳总结解决几何概型问题的第三个关键：物化为点.

如问题5 中，我们选择了海豚的嘴尖为研究对象，问题6中，我们则选择硬币的中心为研究对象.物化为点之后，研究起来会更加便捷.在处理问题6时，先由学生自主思考，而后合作交流，发表自己的看法，培养学生概括归纳的能力。

5．课堂小结

这个工作我准备交给学生去做。让学生自己总结：这节课你学到了什么？通过这节课你掌握了哪些方法？应该注意些什么问题？有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴的等等，引导学生对这节课的内容加以巩固深化.

课后反思

本节课采用了类比的思维方式，让学生明确古典概型与几何概型的异同。在启发式教学方式的引领下，以问题串的形式开启学生思维之门。通过课后检测，发现本节课学生的学习效果比较不错.

我认为本节课有以下五个方面做得比较成功.

1．通过具体的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲.

2．通过与古典概型对比，产生矛盾，促使学生迫切想去探求解决问题的方法.

3．分解难度，将抽象的概念“解剖”，易于理解.

4．问题设置层层递进，由浅入深，有层次、有目标地解决各个难点，符合学生的学习规律.

5．本节课中所体现的极限思想、类比思想、转化思想等将会对学生的思维发展有所帮助.

本节课的不足之处在于教师做的准备工作太多，问题设置得过于紧密，使得学生发挥的空间不够.如何设计问题才能使学生的思维更活跃，不仅能认识问题、解决问题，还能创设问题？这也是我一直在思考的，还望各位同仁不吝赐教.

另外，经典的“约会问题”本来是几何概型能够解决的问题中最有代表性的，但是由于其中涉及到的线性规划知识要在必修五中才能够学到，因此本节课没有将其设计在内.

以上就是我对《几何概型》这节课的设计，欢迎各位专家朋友批评指正，谢谢大家！

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