2021学年3.1.2 指数函数教学设计及反思

指数函数问题分类例析

　　1．求定义域及值域问题

　　例1　求函数的定义域和值域．

　　解：由题意可得，即，

　　∴，故．  ∴函数的定义域是．

　　令，则，

　　又∵，∴． ∴，即．

　　∴，即．

　　∴函数的值域是．

　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．

2．比较大小

　　例1　已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．

　　分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．

　　解：∵，

　　∴函数的对称轴是．

　　故，又，∴．

　　∴函数在上递减，在上递增．

　　若，则，∴；

　　若，则，∴．

　　综上可得，即．

　　评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．

　　3．求解有关指数不等式

　　例2　已知，则x的取值范围是___________．

　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．

　　解：∵，

　　∴函数在上是增函数，

　　∴，解得．∴x的取值范围是．

　　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

　　4．解指数方程

　　例5　解方程．

　　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．

　　评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．

　　5．图象变换问题

　　例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）．

　　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

　　B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

　　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

　　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

　　分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．

　　解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

指数函数图象的应用

灵活应用指数函数的图象解答有关的问题是，必须把握指数函数的图象两个特征：

①特征点：指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个特征点.

②指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象中，y＝1反映了它的分布特征；而直线x＝1与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐标则直观反映了指数函数的底数特征，我们称直线x＝1和y＝1为指数函数的两条特征线(如右图所示).

知道了指数函数的特征点、特征线，我们在画图时就能把握住图像的基本特征，利用指数函数特征点、特征线处理一些问题形象、直观、简单易行.下面就指数函数的应用举例分析.

一、比较大小

例1若a＜0，则2a，()a，0.2a的大小顺序是(     )

解析：作出函数y＝2x，y＝()x和y＝0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当a＜0时，有0.2a＞()a＞2a，故选B.

点评：本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0，1)或特征线y＝1及指数图象的图象的走向正确作图：当a＞1时，底数a越大图象越陡；当0＜a＜1时，底数a越小越陡.

二、求解方程根的问题

例2确定方程2x＝－x2＋1的根的个数.

解析：根据方程的两端分别设函数f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2，

在同一坐标系中画出f(x)＝2x与g(x)＝－x2＋1，如图所示.

由图可以发现，二者仅有两个交点，

所以方程2x＝－x2＋1的根的个数为2.

点评：利用指数函数的图象确定方程的根的关健是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论，

三、作函数的图象

例4函数y＝的图象可以由y＝2x的图象经过怎样的变换得到？

解析：转化原函数化为y＝＝＋＝2x+3＋，则

先把y＝2x的图象向左平移三个单位得到函数2x+3的图象，再作它关于y轴的对称图形得到y＝2x+3的图象，最后再将此图象向上平移个单位，就得到了函数y＝2x+3＋，即y＝的图象.

点评：本题的图象变换过程经过了三次变换：左右平移变换、对称变换、上下平移.在用平移变换作图时必须要明确由什么函数图象变换得得到什么函数的图象，同时要注意两个变换图象间的数量关系，如平移了几个单位、伸长或缩短了几倍.

四、求解参数问题

例1若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是______________.

解析；当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象，则

由图可知1＜2a＜2，＜a＜1与a＞1矛盾，

当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象，则

由图可知1＜2a＜2，＜a＜1，即为所求.

点评：①解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；②根据条件确定直线y＝2a与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想.

五、求函数最值(值域)与单调区间

例5求函数y＝|2x－2|＋3的单调区间与最值.

解析：原函数化为y＝|2x－2|＋3＝,

将函数y＝2x(x≥1)的图象向上平移1个单位得到y＝2x＋1(x≥1)的图象；

作函数y＝2x(x＜1)的图象关于x轴对称图象，得到的y＝－2x(x＜1)的图象，再将函数的y＝－2x(x＜1)的图象向上平移5个单位，即得到函数函数y＝5－2x的图象，如图所示.

由图象可知这个函数的单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为[1，＋∞)，当x＝1时，函数取得最小值为3.

点评：含有绝对值的函数一般可以化为分段函数，作图时只要对应作出每一段的图象即可.本题也可以利用如下作法：由y＝2x的图象向下平移2个图象，得到y＝2x－2的图象，然后将此图象在x轴下方的图象沿x轴对称翻折到x轴的上方，得到y＝|2x－2|的图象，再将此图象向上平移三个单位即可得到函数y＝|2x－2|＋3的图象.

幂的十位数

“求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的”，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数．顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意．但我在这里说的不是‘算’出来，而是‘求’出来．那位举手的孩子，你想问什么？”

“我想知道‘算’与‘求’有什么区别？”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道．

“很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了．好，我们继续．”

博士在投影仪上放了一张胶片，他身后的墙上映出了一张巨大的表格：

“一个自然数，若它的个位数是2，那么它的1次幂的个位数仍然为2，它的2次幂的个位数为4，3次幂的个位数为8，4次幂的个位数为6，5次幂的个位数又为2了．”博士说道，“这张表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数．我们看到了什么？我们看到这些个位数以2，4，8，6为基本模块不断地循环，其循环周期为4．由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4．令n=500，即可知20022002的个位数为４．”

布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起．

“那么幂的十位数，比方说，19978，19989，19991073的十位数，该怎样‘求’呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字．

“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦．”博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……”

博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幂的十位数……

你能帮他“求”出这三个幂的十位数吗？

提示：注意1997，1998，1999都是离2000很近的数．