苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数教案设计

第15课时  分数指数幂

教学目标：

使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.

教学重点：

证明对数运算性质.

教学难点：

对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.

教学过程：

教学目标

(一)教学知识点

1.分数指数幂的概念.

2.有理指数幂的运算性质.

(二)能力训练要求

1.理解分数指数幂的概念.

2.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化.

(三)德育渗透目标

培养学生用联系观点看问题.

●教学重点

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

●教学难点

对分数指数幂概念的理解.

●教学方法

发现教学法

1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

●教具准备

幻灯片二张

第一张：回顾性质(记作§2.5.2 A)

第二张：变形举例(记作§2.5.2 B)

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.

(给出幻灯片§2.5.1 A)

［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a＞0，m,n是分数时也成立.

(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备)

［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子.

(打出幻灯片§2.5.2 B)(说明：对于例子可设计为填空题，让学生参与得出)

例子：当a＞0时

①

②

③

④

［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.

Ⅱ.讲授新课

1.正数的正分数指数幂的意义

(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)

［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

2.规定(板书)

(1) (a＞0,m,n∈N*,且n＞1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

3.有理指数幂的运算性质(板书)

(1)ar·as=ar+s(a＞0,r,s∈Q)

(2)(ar)s=ar·s(a＞0,r,s∈Q)

(3)(a·b)r=ar·br(a＞0,b＞0,r∈Q)

［师］说明：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.

4.例题讲解

［例2］求值：8，100,()-3,().

分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.

解：8=(23) =23×=22=4

100=(102) =10=10-1=

()-3=(2-2)-3=2(-2)×(-3)=26=64

()=()=()-3=

［例3］用分数指数幂的形式表示下列各式：

a2·,a3·, (式中a＞0)

解：a2·=a2·a=a2+=a

a3·=a3·a=a=a

=(a·a)=(a)=a

［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.

Ⅲ.课堂练习

课本P70练习

1.用根式的形式表示下列各式(a＞0)

a，a，a，a

解：a＝

a＝

a＝

a＝

2.用分数指数幂表示下列各式：

（1）      （2）（a＋b＞0）

（3）    （4）（m＞n）

（5）（p＞0）  （6）

解：(1) ＝x

(2) ＝（a＋b）

(3) ＝（m－n）

(4) ＝（m－n）＝（m－n）2

(5) （p＞0）＝（p6·q5）＝p·q＝p3·q

(6) ＝m3·m＝m

3.求下列各式的值：

(1)25          （2）27

（3）（）  （4）（）

（5）  （6）2××

解：(1)＝53＝125

(2)＝32＝9

(3)

(4)

(5)

=

(6)2××＝2×3×（）×（3×22）＝2×3×3×2×3×2＝（2×2×2）×（3×3×3）＝2×3＝2×3＝6

要求：学生板演练习，做完后老师讲评.

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.

Ⅴ.课后作业

（一）1.课本P70习题2.5

2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

（1）     （2）

（3）    （4）

解：（1）＝

（2） ＝[a·（a·a）]＝a·a·a＝a

（3）＝（ab2＋a2b）

（4）＝（a3＋b3）＝（a3＋b3）

3.求下列各式的值：

(1)｜2｜    （2）（）

（3）10000   （4）（）

解：（1）｜2｜＝（112）＝11＝11

（2）（）＝（）＝（）·（）－1＝

(3)10000＝（104）＝10＝10－3＝0.001

(4) （）＝（）＝[（）3] ＝（）＝（）－2＝

4.用计算器求值(保留4位有效数字)

(1)5  （2）321   （3）73

（4）67  (5)8·3   （6）25·8

解：（1）5＝1.710    (2)321＝46.88

（3）73＝0.1170    (4)67＝28.90

（5）8·3＝2.881    （6）25·8＝0.08735

（二）1.预习内容：课本P69

2.预习提纲：

(1)根式的运算如何进行?

(2)利用有理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧?

●板书设计

教学目的：

1.理解分数指数幂的概念.

2.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化.

4．培养学生用联系观点看问题.

教学重点：1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教材分析：教材分析： 

本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a＞0， p是一个无理数，则表示一个确定的实数”为高中三年级限定选修课学习导数时做准备

在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

教学过程：

一、复习引入：

1．整数指数幂的运算性质： 

2．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，()=a.

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：，（a0）

用语言叙述上面三个公式：

⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

3．引例：当a＞0时

①

②

③

④

上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.

二、讲解新课：

 1.正数的正分数指数幂的意义

(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

2.规定：

(1) (a＞0，m,n∈N*,且n＞1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

3.有理指数幂的运算性质:

说明：若a＞0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

三、讲解例题：

例1求值：.

解：

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

(式中a＞0)

解：

例3计算下列各式（式中字母都是正数）

分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号

（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤

解      

例4计算下列各式：

         分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算

（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算

解：

四、练习：课本P14练习

1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)

解：

2.用分数指数幂表示下列各式：

(1)                 （２）（ａ＋ｂ＞０）

（３）         （４）（ｍ＞ｎ）

(5)（ｐ＞０）     (6)

解：(1)

(2)

(3)

(4) ＝（ｍ－ｎ）２

(5)

 (6)

五、小结  本节课学习了以下内容：

分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.

六、课后作业：

1.课本P75习题2.5

2.用计算器求值(保留4位有效数字)

(1)              （２）          （３）

（４）           (5)            （６）２５·

解：（１）＝１.７１０        (2) ＝４６.８８

（３）＝０.１１７０      （4） ＝２８.９０

（５）＝２.８８１        （６）２５·＝０.０８７３５

七、板书设计（略）

八、课后记：