苏教版3.1.2 指数函数第三课时教案设计

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第3课时 指数函数及其性质（3）
导入新课
思路1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=ax与y=ax+m(a>0,m∈R)有着怎样的关系呢?在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:指数函数及其性质（3）.
思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题——指数函数及其性质（3）.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)指数函数有哪些性质?
(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?
(3)对复合函数,如何证明函数的单调性?
(4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.
讨论结果：(1)指数函数的图象和性质
一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a>1
0 图象


图象特征
图象特征图象分布在一、二象限,与y轴相交,落在x轴的上方
都过点（0,1）
第一象限的点的纵坐标都大于1;第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1
第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大于1
从左向右图象逐渐上升
从左向右图象逐渐下降
性质
(1)定义域：R
（2）值域：（0,+∞）
（3）过定点（0,1）,即x=0时,y=1
(4)x>0时,y>1;x<0时,0 (4)x>0时,01
（5）在R上是增函数
（5）在R上是减函数
(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：
①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.
②作差变形.即求f（x2）－f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.
③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.
④判断.根据单调性定义作出结论.
(3)对于复合函数y=f(g(x))可以总结为:
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数;
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数;
又简称为口诀“同增异减”.
(4)判断函数的奇偶性:
一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性;
二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.
应用示例
思路1
例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.
(1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2.
活动：教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或用计算机作图.
解：(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.
x

-3
-2
-1
0
1
2
3

2x

0.125
0.25
0.5
1
2
4
8

2x+1

0.25
0.5
1
2
4
8
16

2x+2

0.5
1
2
4
8
16
32


图2-1-2-12
比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.
(2)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13
x

-3
-2
-1
0
1
2
3

2x

0.125
0.25
0.5
1
2
4
8

2x-1

0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
4

2x-2

0.3125
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2


图2-1-2-13
比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.
点评：类似地,我们得到y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系:
y=ax+m(a>0,m∈R)的图象可以由y=ax的图象变化而来.
当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;
当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.
上述规律也简称为“左加右减”.
变式训练
为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
答案：B
点评：对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.
例2已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.
（1）解：因为f(x)是奇函数,
所以f(0)=0,即=0b=1,
所以f(x)=;
又由f（1）=-f（-1）知=a=2.
（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,由上式推得：
t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,
从而判别式Δ=4+12k<0,
∴k<.
解法二：由（1）知f(x)=.
又由题设条件得<0,
即<0.
整理得>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0,
上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,即k<-.
点评：记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f(x)为增(减)函数,则为减(增)函数.
思路2
例1
设a>0,f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.
活动：学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导.
(1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.
(2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式.
(1)解：依题意,对一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.
所以=0对一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1.
又因为a>0,所以a=1.
(2)证明:设0 f(x1)-f(x2)===·.
由x1>0,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在（0,+∞）上是增函数.
点评：在已知等式f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观.
例2已知函数f(x)=3x,且x=a+2时,f(x)=18,g(x)=3的定义域为［0,1］.
(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明;
(3)求g(x)的值域.
解：(1)因为f(x)=3x,且x=a+2时f(x)=18,
所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.
所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.
所以g(x)=2x-4x.
(2)因为函数g(x)的定义域为［0,1］,令t=2x,因为x∈［0,1］时,函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,
所以t∈［1,2］,则g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈［1,2］.
因为函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,函数g(t)=t-t2在t∈［1,2］上单调递减,
所以函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.
证明:设x1和x2是区间［0,1］上任意两个值,且x1 g(x2)-g(x1)===,
因为0≤x1≤x2≤1,
所以,且1≤<2,1< ≤2.
所以2<<4.
所以-3<1-<-1,可知<0.
所以g(x2) 所以函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.
(3)因为函数g(x)在区间［0,1］上单调递减,
所以x∈［0,1］时,有g(1)≤g(x) 因为g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0,
所以-2≤g(x)≤0.
故函数g(x)的值域为［-2,0］.
点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑.
知能训练
求函数y=()|1+2x|+|x-2|的单调区间.
活动：教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答.
解：由题意可知2与是区间的分界点.
当x<时,因为y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x,
所以此时函数为增函数.
当≤x<2时,因为y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x=()x,
所以此时函数为减函数.
当x≥2时,因为y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2()x,
所以此时函数为减函数.
当x1∈［,2）,x2∈［2,+∞）时,因为2()x2-()x1=
=,
又因为1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以1-3x2<-3-x1,
即2()x2<()x1.
所以此时函数为减函数.
综上所述,函数f(x)在（-∞,］上单调递增,在［,+∞）上单调递减.
拓展提升
设m<1,f(x)=,若0 (1)f(a)+f(1-a)的值;
(2)的值.
活动：学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第(2)问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决.
解：(1)f(a)+f(1-a)===
===1.
(2)
=［
=500×1=500.
点评：第(2)问是第(1)问的继续,第(1)问是第(2)问的基础,两个问号是衔接的,利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问号与问号之间的联系.
课堂小结
本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些问题,对常考的函数图象的变换进行了学习,要高度重视,在不断学习中升华提高.
作业
课本P59习题2.1A组 5.
设计感想
指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性,但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数,判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心,严格按规定的要求,有时借助数形结合可帮我们找到解题思路,本堂课是在以前基础上的提高与深化,同时又兼顾了高考常考的内容,因此涉及面广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务.
习题详解
(课本54页练习)
1.a=,a=,a=,a= .
2.(1)=x,(2)=(a+b),(3)=(m-n),
(4)=(m-n)2,(5)=p3q,(6)=m=m.
3.(1)()=［()2］=()3=;
(2)2××=2×3×()×(3×22)=2×3=2×3=6;
(3)aaa=a=a;
(4)2x(x-2x)=x-4x=1-4x-1=1.
(课本58页练习)
1.如图

图2-1-2-14
2.(1)要使函数有意义,需x-2≥0,即x≥2,所以函数y=3的定义域为｛x|x≥2｝;
(2)要使函数有意义,需x≠0,即函数y=()的定义域是｛x∣x≠0｝.
3.y=2x(x∈N*)
(课本第59页习题2.1)
A组
1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y.
2解：(1)===a0b0=1.
(2)===a.
(3)===m0=1.
点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.
3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.
答案：1.710 0;
对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可.
答案：2.881 0;
对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.
答案：4.728 8;
对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.
答案：8.825 0.
4.解：(1)aaa=a=a;
(2)aa÷a=a=a;
(3)(xy)12==x4y-9;
(4)4ab÷(ab)=(×4)=-6ab0=-6a;
(5)===;
(6)(-2xy)(3xy)(-4xy)=［-2×3×(-4)］x=24y;
(7)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x-9y;
(8)4x (-3xy)÷(-6xy)==2xy.
点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
5.（1）要使函数有意义,需3-x∈R,即x∈R,所以函数y=23-x的定义域为R.
（2）要使函数有意义,需2x+1∈R,即x∈R,所以函数y=32x+1的定义域为R.
(3)要使函数有意义,需5x∈R,即x∈R,所以函数y=()5x的定义域为R.
(4)要使函数有意义,需x≠0,所以函数y=0.7的定义域为{x|x≠0}.
点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.
6.解：设经过x年的产量为y,一年内的产量是a(1+),两年内产量是a(1+)2,…,x年内的产量是a(1+)x,则y=a(1+)x(x∈N*,x≤m).
点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x的取值范围.
7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y=3x,当x=0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.
(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.
(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.
(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.
8.(1)2m,2n可以看成函数y=2x,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数y=2x在R上是增函数.因为2m<2n,所以m (2)0.2m,0.2n可以看成函数y=0.2x,当x=m和n时的函数值;因为0.2<1,所以函数y=0.2x在R上是减函数.因为0.2m<0.2n,所以m>n.
(3)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0n.
(4)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为am>an,所以m>n.
点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.
9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=().
当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=()=()9≈0.002.
答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.
(2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()<0.001,解得t>5.7.
答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.
B组
1.当0＜a＜1时,
a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3;
当a＞1时,
a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3.
综上,当0＜a＜1时,不等式的解集是{x|x＞－3}；
当a＞1时,不等式的解集是{x|x＜－3}.
2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.
解：(1)设y=x+x,
那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.
由于x+x-1=3,所以y=.
(2)设y=x2+x-2,
那么y=(x+x-1)2-2.
由于x+x-1=3,
所以y=7.
(3)设y=x2-x-2,
那么y=(x+x-1)(x-x-1),
而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,
所以y=±3.
点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.
3.解：已知本金为a元.
1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r),
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2,
3期后的本利和为y3=a(1+r)3,
…
x期后的本利和为y=a(1+r)x.
将a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得
y=a(1+r)x=1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118.
答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,5期后的本利和约为1 118元.
4.解：(1)因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x.
所以3x+1=-2x.
所以x=.
(2)因为y1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以当a>1时,3x+1>-2x.
所以x>.
所以当0