高中苏教版第3章 不等式综合与测试练习

这是一份高中苏教版第3章 不等式综合与测试练习，共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．若渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)________．
答案 13.5 km/h
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析 如图，OM＝AOtan 45°＝30 (m)，
ON＝AOtan 30°＝eq \f(\r(3),3)×30＝10eq \r(3) (m)，
由余弦定理得，
MN＝ eq \r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))
＝eq \r(300)＝10eq \r(3) (m)．
答案 10eq \r(3)
3．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值为________．
解析 如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得(eq \r(3))2＝32＋x2－2×3x×cs 30°，即x2－3eq \r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq \r(3)，x2＝2eq \r(3)，经检测均合题意．
答案 eq \r(3)或2eq \r(3)
4.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________．
解析 在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，
所以AC＝a.①
在△BCD中，由正弦定理可得BC＝eq \f(asin 105°,sin 45°)＝eq \f(\r(3)＋1,2)a.②
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，
所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为
AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC·BC·cs 30°)＝eq \f(\r(2),2)a.
答案 eq \f(\r(2),2)a
5．(2013·新课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝eq \f(1,2)CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－eq \r(3)，则∠BAC＝________.
解析 由A作垂线AH⊥BC于H.
因为S△ADC＝eq \f(1,2)DA·DC·sin 60°＝eq \f(1,2)×2×DC·eq \f(\r(3),2)＝3－eq \r(3)，所以DC＝2(eq \r(3)－1)，又因为AH⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcs 60°＝1，∴HC＝2(eq \r(3)－1)－DH＝2eq \r(3)－3.
又BD＝eq \f(1,2)CD，∴BD＝eq \r(3)－1，∴BH＝BD＋DH＝eq \r(3).又AH＝AD·sin 60°＝eq \r(3)，所以在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°.
又在Rt△AHC中tan∠HAC＝eq \f(HC,AH)＝eq \f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq \r(3)，
所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，
故所求角为60°.
答案 60°
6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析 在△BCD中，CD＝10(米)，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq \f(BC,sin 45°)＝eq \f(CD,sin 30°)，BC＝eq \f(CDsin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2)(米)．在Rt△ABC中，tan 60°＝eq \f(AB,BC)，AB＝BCtan 60°＝10eq \r(6)(米)．
答案 10eq \r(6)
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．(2013·常州七校联考)如图，在半径为eq \r(3)、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
(1)按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．
解 (1)①∵ON＝eq \r(OP2－PN2)＝eq \r(3－x2)，OM＝eq \f(\r(3),3)x，
∴MN＝eq \r(3－x2)－eq \f(\r(3),3)x，
∴y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3－x2)－\f(\r(3),3)x))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))).
②∵PN＝eq \r(3)sin θ，ON＝eq \r(3)cs θ，OM＝eq \f(\r(3),3)×eq \r(3)sin θ＝sin θ，
∴MN＝ON－OM＝eq \r(3)cs θ－sin θ，
∴y＝eq \r(3)sin θ(eq \r(3)cs θ－sin θ)，
即y＝3sin θcs θ－eq \r(3)sin2θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
(2)选择y＝3sin θcs θ－eq \r(3)sin2θ＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),2)，
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∴2θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴ymax＝eq \f(\r(3),2).
8．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝eq \r(900t2＋400－2·30t·20·cs90°－30°)
＝eq \r(900t2－600t＋400)＝ eq \r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,3)))2＋300).
故当t＝eq \f(1,3)时，Smin＝10eq \r(3)(海里)，
此时v＝eq \f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq \r(3)(海里/时)．
即，小艇以30eq \r(3)海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·
cs(90°－30°)，
故v2＝900－eq \f(600,t)＋eq \f(400,t2)，∵0＜v≤30，
∴900－eq \f(600,t)＋eq \f(400,t2)≤900，即eq \f(2,t2)－eq \f(3,t)≤0，解得t≥eq \f(2,3).
又t＝eq \f(2,3)时，v＝30海里/时．
故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于eq \f(2,3).
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
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1．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．
解析 如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq \f(AO,sin 45°)＝eq \f(20,sin 60°)，
∴AO＝eq \f(20\r(6),3)(米)．
答案 eq \f(20\r(6),3)
2．(2013·南京29中月考)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)________．
解析 AB＝1 000×1 000×eq \f(1,60)＝eq \f(50 000,3) (m)，
∴BC＝eq \f(AB,sin 45°)·sin 30°＝eq \f(50 000,3\r(2)) (m)．
∴航线离山顶h＝eq \f(50 000,3\r(2))×sin 75°≈11.4 (km)．
∴山高为18－11.4＝6.6 (km)．
答案 6.6 km
3．(2013·南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为eq \r(3)，则该三角形的面积的最大值是________．
解析 如图，设AB＝AC＝2x，
则在△ABD中，由余弦定理，得3＝x2＋4x2－4x2cs A，
所以cs A＝eq \f(5x2－3,4x2).所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(－9x4＋30x2－9),4x2)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)(2x)2sin A＝eq \f(1,2)eq \r(－9x4＋30x2－9).故当x2＝eq \f(5,3)时，
(S△ABC)max＝eq \f(1,2) eq \r(－9·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))2＋30·\f(5,3)－9)＝eq \f(1,2)eq \r(16)＝2.
答案 2
4．(2013·无锡市期末考试)已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．
解析 法一 如图，设△ABC的外接圆为圆O，其直径2R＝eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(4,sin 45°)＝4eq \r(2).取AC的中点M，则OM＝Rcs 45°＝2，则AC＝4.过点B作BH⊥AC于H，要使△ABC的面积最大，当且仅当BH最大．而BH≤BO＋OM，所以BH≤R＋eq \f(\r(2),2)R＝2eq \r(2)＋2，所以(S△ABC)max＝eq \f(1,2)AC·BHmax＝eq \f(1,2)×4×(2＋2eq \r(2))＝4＋4eq \r(2)，当且仅当BA＝BC时取等号．
法二 如图，同上易知，△ABC的外接圆的直径2R＝4eq \r(2).S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC·sin B＝2R2sin Asin Bsin C＝8eq \r(2)sin Asin C＝4eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs135°－2C＋\f(\r(2),2))).当A＝C＝67.5°时，(S△ABC)max＝4＋4eq \r(2).
答案 4＋4eq \r(2)
5.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东θ方向沿直线前往B处救援，问θ的正弦值为多少？
解 如题图，在△ABC中，AB＝20海里，AC＝10海里，∠BAC＝120°，
由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°＝202＋102－2×20×10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝700.∴BC＝10eq \r(7)海里．
由正弦定理eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，
∴sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(20,10\r(7))·sin 120°＝eq \f(\r(21),7).
∴sin θ＝sin(30°＋∠ACB)＝sin 30°cs∠ACB＋cs 30°·sin∠ACB＝eq \f(5\r(7),14).
∴乙船应沿北偏东sin θ＝eq \f(5\r(7),14)的方向沿直线前往B处救援．
6．(2013·南京二模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA、AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC.
(1)设AB＝x米，cs A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
解 (1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs A.
同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cs C.
因为∠A和∠C互补，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cs A＝CB2＋CD2－2CB·CD·cs C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cs A.
即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cs A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)·cs A．解得cs A＝eq \f(2,x)，即f(x)＝eq \f(2,x)，其中x∈(2,5)．
(2)四边形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)(AB·AD＋CB·CD)sin A＝eq \f(1,2)[x(9－x)＋x(5－x)]eq \r(1－cs2A)＝x(7－x) eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))2)＝eq \r(x2－47－x2)＝eq \r(x2－4x2－14x＋49).
记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)．
由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)
＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＝7和x＝－\f(1,2)舍)).
函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.
所以S的最大值为eq \r(108)＝6eq \r(3).
答：所求四边形ABCD面积的最大值为6eq \r(3) m2.