数学必修5第3章 不等式综合与测试课时练习

这是一份数学必修5第3章 不等式综合与测试课时练习，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．已知x，y∈R＋，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．
解析 ∵x＞0，y＞0且1＝eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)≥2 eq \r(\f(xy,12))，∴xy≤3.当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)时取等号．
答案 3
2．(2011·浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤eq \f(x＋y2,4)，所以eq \f(3,4)(x＋y)2≤1，故－eq \f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq \f(2\r(3),3)，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为eq \f(2\r(3),3).
答案 eq \f(2\r(3),3)
3．(2013·金陵中学检测)已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式：①lg2a＞0； ②2a－b＜eq \f(1,2)；③2eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＜eq \f(1,2)；④lg2a＋lg2b＜－2，其中正确的是________．
解析 由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜eq \f(1,2)＜b＜1，所以lg2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞eq \f(1,2)，由eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＞2，得2eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＞4，由1＝a＋b＞2eq \r(ab)(a≠b)，得ab＜eq \f(1,4)，所以lg2a＋lg2b＝lg2ab＜－2，仅④正确．
答案 ④
4．(2013·日照调研)在等式“1＝eq \f(1, )＋eq \f(9, )”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．
解析 设括号内填入的两个正整数为x，y，则有eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，于是x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥10＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝16，当且仅当y2＝9x2，即x＝4，y＝12时等号成立．此时x＋y取最小值16.故应填4和12.
答案 4和12
5．(2013·南京外国语学校检测)已知函数f(x)＝2x，f(a)·f(b)＝8，若a＞0且b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为________．
解析 因为f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b＝8，所以a＋b＝3，所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \f(1,3)(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝3，当且仅当b2＝4a2，即a＝1，b＝2时等号成立，所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为3.
答案 3
6．(2012·南通二模)已知P是△ABC的边BC上的任一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，x，y∈R，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值是________．
解析 由B，P，C三点共线，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，故x>0，y>0且x＋y＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝5＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥5＋2eq \r(4)＝9.
答案 9
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．(2011·宿迁联考)某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
(1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；
(2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
(总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费)
解 (1)t＝eq \f(5×100,50x－100)＝eq \f(10,x－2).
(2)设总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费．
y＝125tx＋100x＋60×(500＋100t)
＝125·x·eq \f(10,x－2)＋100x＋30 000＋eq \f(60 000,x－2)
＝1 250·eq \f(x－2＋2,x－2)＋100(x－2＋2)＋30 000＋eq \f(60 000,x－2)
＝31 450＋100(x－2)＋eq \f(62 500,x－2)
≥31 450＋2eq \r(100×62 500)＝36 450.
当且仅当100(x－2)＝eq \f(62 500,x－2)，即x＝27时，y有最小值36 450.
8．(2011·泰州调研)某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格p＝50－|x－6|(元/百斤)，一农户在第x天(1≤x≤20)农产品A的销售量q＝40＋|x－8|(百斤)．
(1)求该农户在第7天销售农产品A的收入；
(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？
解 (1)由已知得第7天的销售价格p＝50－|7－6|＝
49(元/百斤)，销售量q＝40＋|7－8|＝41(百斤)．
∴第7天的销售收入W7＝49×41＝2 009(元)．
(2)设第x天的销售收入为Wx，
则Wx＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(44＋x48－x，1≤x≤6，,2 009，x＝7，,56－x32＋x，8≤x≤20.))
当1≤x≤6时，
Wx＝(44＋x)(48－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(44＋x＋48－x,2)))2＝2 116(当且仅当x＝2时取等号)，
∴当x＝2时取最大值W2＝2 116元；
当8≤x≤20时，
Wx＝(56－x)(32＋x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(56－x＋32＋x,2)))2＝1 936(当且仅当x＝12时取等号)，
∴当x＝12时取最大值W12＝1 936元．∵W2>W7>W12，
∴第2天该农户的销售收入最大．
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1．(2013·泰州期末)已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝________.
解析 由t＝a＋b≥2eq \r(ab)，可得ab≤eq \f(t2,4)(t>0)，则eq \f(t2,4)＝2(t>0)，解得t＝2eq \r(2).
答案 2eq \r(2)
2．(2012·南京、盐城三模)若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则k的最大值为________．
解析 由4x2＋9y2≥2kxy(x>0，y>0)，得2k≤eq \f(4x,y)＋eq \f(9y,x).因为eq \f(4x,y)＋eq \f(9y,x)≥2 eq \r(\f(4x,y)·\f(9y,x))＝12，所以2k≤12，所以k≤3，即kmax＝3.
答案 3
3．(2013·泰州模拟)已知正实数x，y，z满足2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,y)＋\f(1,z)))＝yz，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,z)))的最小值为________．
解析 因为x2＋eq \f(x,y)＋eq \f(x,z)＝eq \f(yz,2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,z)))＝x2＋eq \f(x,y)＋eq \f(x,z)＋eq \f(1,yz)
＝eq \f(yz,2)＋eq \f(1,yz)≥2 eq \r(\f(yz,2)·\f(1,yz))＝eq \r(2).
答案 eq \r(2)
4．(2012·南通调研)若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10 000，则eq \f(x,y)＋eq \f(z,t)的最小值为________．
解析 因为1≤x≤y≤z≤t≤10 000，所以eq \f(x,y)＋eq \f(z,t)≥eq \f(1,z)＋eq \f(z,10 000)≥2 eq \r(\f(1,z)·\f(z,10 000))＝eq \f(1,50).当且仅当x＝1，y＝z＝100，t＝10 000时等号成立．
答案 eq \f(1,50)
5.(2012·苏北四市二模)如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇，现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城，已知OC＝(eq \r(2)＋eq \r(6))km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，设OA＝x km，OB＝y km.
(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2)试确定点A、B的位置，使△AOB的面积最小．
解 (1)因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以eq \f(1,2)x(eq \r(2)＋eq \r(6))sin 45°＋eq \f(1,2)y(eq \r(2)＋eq \r(6))·sin 30°＝eq \f(1,2)xysin 75°.
即eq \f(\r(2),2)x(eq \r(2)＋eq \r(6))＋eq \f(1,2)y(eq \r(2)＋eq \r(6))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)xy，
所以y＝eq \f(2\r(2)x,x－2)(x>2)．
(2)△AOB的面积S＝eq \f(1,2)xysin 75°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),8)xy＝eq \f(\r(3)＋1,2)·eq \f(x2,x－2)＝eq \f(\r(3)＋1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2＋\f(4,x－2)＋4))≥eq \f(\r(3)＋1,2)·8＝4(eq \r(3)＋1)．
当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4eq \r(2).故OA＝4 km，OB＝4eq \r(2) km时，△AOB面积的最小值为4(eq \r(3)＋1)km2.
6．(2011·湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20再由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x200－x，20当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋200－x,2)))2＝eq \f(10 000,3)，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值eq \f(10 000,3).
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值eq \f(10 000,3)≈3 333，
即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.