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数学六年级上册一 长方体和正方体综合与测试学案设计
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这是一份数学六年级上册一 长方体和正方体综合与测试学案设计，文件包含单元重难点优选讲义苏教版六年级上册第1单元长方体正方体学生版doc、单元重难点优选讲义苏教版六年级上册第1单元长方体正方体教师版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共35页， 欢迎下载使用。
①长方体展开图.
②正方体的展开图：一共冇以下4类11种图形，如做旅转戒翻折后，方向会不同，但相对位置不变。分别是1-4-1、231、2-2-2（楼梯型）、3-3（“L”型）
③找正方体对面数字：解决这类问题我们可以借助比较形象的口诀“隔一步，跳一跳，没有位置跳换个方向跳”
1、（2021春•肥东县期中）下列图形中，不能折成正方体的是（ ）
A．B． C．
【解答】解：不能折成正方体。故选：C。
2、（2019•防城港模拟）我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A．只有三个面 B．只能看到三个面 C．最多只能看到三个面
【解答】解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．选：C．
3、一个正方体的6个面分别写着1、2、3、4、5、6六个数字，下图是从三个不同角度所看到的图形，这个正方体正确的展开图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图
一个正方体的6个面分别写着1、2、3、4、5、6六个数字，下图是从三个不同角度所看到的图形，这个正方体正确的展开图是：
．故选：D．
4、如图是一个无盖正方体的展开图，A面的对面应该是（ ）
A．B面B．C面C．D面D．E面
【解答】解：如图，
把它折成正方体时，A面与E面相对，B面与D面相对，C面是底面；故选：D．
1、（2020•长沙）如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由分析可知，如图所示的立方体，如果把它展开，是D；故选D．
2、一个方块的六个面上分别写着1﹣6，下面是这个方块不同角度的视图．由图可知，1的对面是 ，3的对面是 ．
【解答】解：如图，
根据图1、图2可以看出1的对面是5，由图2、图3可以看出3的对面是4．
故答案为：5，4．
重点2：长方体和正方体的棱长和应用
①长方体棱长和：长方体有3组棱分别称为长、宽、高，3组对面，每组面有4条棱。棱长和为所有棱长总和，棱长和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4
②正方体棱长和：正方体12条棱大小相等，因此只要知道一条棱长度便可以求出棱长总和，所以棱长和=棱长×12
③棱长和应用：在这类问题中往往喜欢考查的是礼带打结问题，这类问题求解时注意先按3个方向分别求各自所用长度，记得最后加上礼带打结处长度。
1、（2021春•路北区期中）用一根56cm长的铁丝可以焊成个长6cm、宽5cm、高（ ）cm的长方体教具。
A．4 B．3C．2
【解答】解：56÷4＝14（厘米）
14﹣6﹣5＝3（厘米）故选：B。
2、（2020春•江北区期末）一根铁丝长36厘米，如果做一个正方体框架，棱长是 厘米；如果做一个高和宽都是2厘米的长方体框架，长是 厘米．
【解答】解：36÷12＝3（厘米），
36÷4﹣（2+2）
＝9﹣4
＝5（厘米），
答：正方体棱长是3厘米，长方体的长是5厘米．
故答案为：3，5．
3、如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
【解答】解：5×2+3×4+3×6+2，
＝10+12+18+2，
＝42（分米）；
答：一共要用绳子42分米．
1、如图是一个铁丝做成的长方体框架（单位：分米），一只蚂蚁从它的一个顶点出发，沿着它的棱爬行，爬过的棱不能重复，那么这只蚂蚁最多能爬 分米．
【解答】解：10+6+10+6+4+10+6+10+6，
＝16+16+20+16，
＝68（分米）；
答：最长路程是68分米；
故答案为：68．
2、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等．长方体的长宽高分别是6分米，5分米，4分米，那么正方体的棱长是多少分米，它们的体积相等吗？
【解答】解：（6+5+4）×4÷12
＝15×4÷12
＝60÷12
＝5（分米）；
5×5×5＝125（立方分米）；
6×5×4＝120（立方分米），
125立方分米＞120立方分米，
答：正方体的棱长是5分米，它们体积的不相等，正方体的体积大．
3、用丝带捆扎一个长25cm、宽20cm、8cm的长方体礼品盒（如图）．接头处的丝带长40cm，捆扎这个盒子至少需要多长的丝带？
【解答】解：25×2+20×2+8×4+40
＝50+40+32+40
＝162（厘米），
答：捆扎这个盒子至少需要162厘米长的丝带．
重点3：长方体正方体表面积应用
①无盖物体：例如鱼缸、无盖纸盒等，求其表面积注意只有5个面的面积，此事不能完全套用公式，先分组去求面积。
②通风管类：通风管物体比如水管、烟囱，它们表面积等于4个侧面的面积
③叠加立体图形表面积；解决这类问题很多学生不知道如何下手，会容易数重或数漏，因此要掌握好技巧从三个方向分别去求面积，最后再相加
④挖孔立体图形表面积（拓展）：挖孔立体图形要分3个方向去求表面积。顶点处挖：表面积不变；棱上挖：每挖一个正方体增加2个面；面上挖：每挖一个正方体增加4个面
1、（2021春•未央区月考）给棱长为0.9米的无盖正方体木箱的外面涂上油漆，涂油漆部分的总面积是（ ）
A．0.81平方米B．4.05平方米C．4.86平方米
【解答】解：0.9×0.9×5
＝0.81×5
＝4.05（平方米）
答：涂油漆部分的总面积是4.05平方分米。故选：B。
2、（2021春•项城市期中）王师傅要做5节同样的长方体铁皮通风管，每节长2m，侧面是边长为2dm的正方形，至少需要（ ）m2的铁皮。
A．8B．4C．2
【解答】解：2分米＝0.2米
0.2×4×2×5＝8（平方米）
答：至少需要8平方米的铁皮。
故选：A。
3、要把7本长20厘米，宽10厘米，高1厘米的数学课本包装在一起，下面组合方法最节省包装纸的是（ ）
A． B． C．
【解答】解：A组合的表面积是：（140×10+140×1+10×1）×2
＝（1400+140+10）×2
＝1550×2
＝3100（cm2）；
B组合的表面积是：（7×20+7×10+20×10）×2
＝（140+70+200）×2
＝410×2
＝820（cm2）；
C组合的表面积是：（70×20+70×1+20×1）×2
＝（1400+70+20）×2
＝1490×2
＝2980（cm2）；
因为820＜2980＜3100，
所以组合后，表面积最小的是B，即最节省包装纸的是B．
故选：B．
4、如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积 ．
【解答】解：3×2×4+2×2×2+（2÷2）×（2÷2）×2
＝24+8+2
＝34（平方厘米）
答：它的表面积是34平方厘米．
故答案为：34平方厘米．
5、如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？
【解答】解：42×6+22×4+12×4
＝96+16+4
＝116（平方厘米）；
答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米．
1、（2021春•肥东县期中）将一个长方体铜块锻造成一个正方体铜块，长方体铜块和正方体铜块相比（ ）
A．体积相等，表面积不相等
B．体积和表面积都不相等
C．表面积相等，体积不相等
【解答】解：把一个长方体铜块锻造成一个正方体铜块，只是形状改变了，也就是它的表面积变了，但是体积没有变。
故选：A。
2、（2020秋•滨湖区校级期中）有一个长方体玻璃鱼缸，长40厘米，宽25厘米，高22厘米．这个鱼缸前面的玻璃破损，需重配一块 平方厘米的玻璃；这个鱼缸最多能注 升的水．
【解答】解：玻璃的面积：40×22＝880（平方厘米）
能注水的立方厘米数：40×25×22＝22000（立方厘米）
22000立方厘米＝22升
答：需重配一块880平方厘米的玻璃；这个鱼缸最多能注22升的水．
故答案为：880，22．
3、李兵用棱长为1厘米的小正方体摆成一个长方形，下边分别是他从不同的方向看到的图形，摆这个长方体一共用了 个小正方体，这个长方体的表面积为 平方厘米．
【解答】解：由从正面看和从上面看得到的图形，可知长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，
4×3×2＝24（个）
（4×3+4×2+3×2）×2
＝（12+8+6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
答：摆这个长方体一共用了24个小正方体，这个长方体的表面积为52平方厘米．
故答案为：24，52．
4、（2020春•廉江市月考）一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
【解答】解：（20+15）×2×30
＝35×60
＝2100（平方厘米）
答：这张商标纸的面积是2100平方厘米．
5、有一个棱长为4厘米的正方体橡皮泥．
（1）求这个正方体橡皮泥的表面积；
（2）在正方体橡皮泥上面正中向下挖一个棱长为2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，最终剩下的橡皮泥如右图所示．若橡皮泥每立方厘米约重4克，则最终剩下的橡皮泥约有多少克？
（3）求第二问中最终剩下的橡皮泥的表面积．
【解答】解：（1）4×4×6＝96（平方厘米）；
答：这个正方体的表面积是96平方厘米．
（2）4×4×4﹣2×2×2﹣1×1×1，
＝64﹣8﹣1，
＝55（立方厘米），
4×55＝220（克），
答：最终剩下的橡皮泥约有220克．
（3）96+2×2×4+1×1×4，
＝96+16+4，
＝116（平方厘米）；
答：最终剩下的橡皮泥的表面积116平方厘米．
难点1：长方体正方体表面积变化
（1）拼接：每两个长方体（正方体）拼接一次表面减少2个面，n个长方体（正方体）拼接，表面积减少2（n-1）个面
（2）切割：长方体（正方体）切割一次表面积增加2个面，长方体（正方体）切割成n段，表面积增加2（n-1）个面
（3）高的变化：高增加，表面积增加4个侧面；高减少，表面积减少4个侧面
（4）涂色方块的涂色面个数：解决这类问题一般有这几个：假设正方体每条棱分成n份
①总个数：n×n×n
②涂3面个数：8个
③涂2面个数（看棱）：（n-2）×12
④图1个面个数（看面）：（n-2）×（n-2）×6
⑤图0个面个数：总个数-涂3面个数-涂2面个数-涂1面个数
1、（2021春•卧龙区期中）用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．108B．126C．180
【解答】解：正方体一个面的面积：
36÷4＝9（平方厘米）
9×（6×3﹣4）
＝9×14
＝126（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是126平方厘米。
故选：B。
2、如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2．原来长方体的表面积是 cm2．
【解答】解：30÷4×（6×3﹣4）
＝7.5×14
＝105（平方厘米）
30÷2×（6×3﹣4）
＝15×14
＝210（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米；
故答案为：105或210．
3、（2019春•黄骅市期末）体积相等的两个长方体，它们的表面积不一定相等． （判断对错）
【解答】解：假设长方体的体积为24立方厘米，
则长方体的长、宽、高可以为4厘米、2厘米和3厘米，
也可以为2厘米、2厘米、6厘米，
所以其表面积分别为：
（4×2+2×3+3×4）×2
＝（8+6+12）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）；
（2×2+2×6+×6×2）×2
＝（4+12+12）×2
＝28×2
＝56（平方厘米）
因此它们的表面积不一定相等．
故答案为：√．
4、给下面两个排在一起的正方体表面涂色，一共可以涂几个面？
【解答】解：2×2+2+1×2
＝4+2+2
＝8（个）
答：一共可以涂8个面．
1、（2021春•未央区月考）把一个棱长3cm的正方体分成两个完全一样的长方体后（如图），表面积增加了
A．9cm2B．18cm2C．27cm2
【解答】解：3×3×2
＝9×2
＝18（平方厘米）
答：表面积增加了18平方厘米。
故选：B。
2、把3个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是 立方厘米，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少 平方厘米．
【解答】解：4×4×4×3
＝16×4×3
＝64×3
＝192（立方厘米），
4×4×4
＝16×4
＝64（平方厘米），
答：这个长方体的体积是192立方厘米，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少64平方厘米．故答案为：192、64．
3、如图的机器零件是由4个棱长是3cm的小正方体组成的，现在要在其表面全部涂上防锈漆，涂油漆的面积是多少？
【解答】解：（5+3+5+5）×（3×3）
＝18×9
＝162（平方厘米）
答：涂油漆的面积是162平方厘米．
难点2：长方体正方体等体积变化
1、铁块在沉入水中问题
①如果全部沉没在水中，则用铁块的体积÷大容器的底面积=水上升（下降）的高度
②如果没有全部沉没在水中，则用（大容器的底面积×水深）÷（大容器的底面积-小铁块的底面积），又分为两种情况
2、这类问题一般在锻造、铸造、熔铸中经常运用到，解决这类问题只要明白形状改变，体积不变。
1、（2021春•聊城期中）一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加3.2平方分米，这根钢材原来的体积是（ ）立方分米。
A．1.6B．16C．0.32
【解答】解：2米＝20分米
3.2÷4×20
＝0.8×20
＝16（立方分米）
答：这根钢材原来的体积是16立方分米。
故选：B。
2、（2019春•黄骅市期末）一个长方体，长、宽、高都扩大到原来的3倍，体积扩大为原来的 倍，表面积扩大到原来的 倍．
【解答】解：长方体的长宽高各扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的3×3×3＝27倍；
它的表面积扩大到原来的3×3＝9倍；
故答案为：27；9．
3、（2021•衡阳县模拟）将2升水倒入图中的两个长方体水槽中，使它们水面高度相等，这个高度是多少？（单位：厘米，图中数据为水槽内尺寸）
【解答】解：2升＝2000立方厘米，
设高为x厘米，
12×10×x+8×5×x＝2000，
120x+40x＝2000，
160x＝2000，
160x÷160＝2000÷160，
x＝12.5；
答：这个高是12.5厘米．
4、将一个长8厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是多少？
【解答】解：3×3×3＝27（立方厘米）；
答：这个正方体的体积是27立方厘米．
1、正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍． ．（判断对错）
【解答】解：正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大2×2×2＝8倍．
因此，正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．这种说法是正确的．
故答案为：√．
2、（2020秋•射阳县期中）一个长方体，如果高增加2厘米就变成一个正方体．这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？
【解答】解：48÷4÷2＝6（厘米），
6×6×（6﹣2）
＝36×4
＝144（立方厘米），
答：原来长方体的体积是144立方厘米．
3、一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体．这时表面积比原来增加了96平方厘米．原来的长方体的体积是多少立方厘米？
【解答】解：底面周长：96÷3＝32（厘米）；
长方体的底面边长：32÷4＝8（厘米）；
长方体的高：8﹣3＝5（厘米）；
体积：8×8×5＝320（立方厘米）；
答：原来这个长方体的体积是320立方厘米．
4、（2021春•连平县期中）在一个从里面量长为13厘米、宽为8厘米，高为6厘米的纸箱中，最多可以放多少个棱长为2厘米的小正方体？
【解答】解：13÷2＝6（个）…1（厘米）
8÷2＝4（个）
6÷2＝3（层）
6×4×3＝72（个）
答：最多可以放72个棱长为2厘米的小正方体．
5、（2020春•乐清市期末）珊瑚石的体积是多少？
【解答】解；（1）珊瑚石的体积：8×8×（7﹣6）＝64（立方厘米）．
（2）珊瑚石的体积：8×8×7﹣8×8×6＝64（立方厘米）．
答：珊瑚石的体积是64立方厘米．
6、把1块棱长8厘米的正方体钢材，熔化后铸成一个底面积是32平方厘米的长方体零件，铸成的零件高多少厘米？
【解答】解：8×8×8÷32
＝512÷32
＝16（厘米）
答：铸成的零件高16厘米．
课后巩固
1、（2021•深圳模拟）下列图形中，不是正方体的展开图。（ ）
A．B．C．
【解答】解：不是正方体的展开图。故选：B。
2、（2021春•肥乡区期中）一个长方体水池，长20米，宽16米，深2米，里面放了1.5米的水，水的体积是（ ）立方米。
A．640B．480C．320
【解答】解：20×16×1.5
＝320×1.5
＝480（立方米）
答：水的体积是480立方米。
故选：B。
3、（2019•长沙县）如果长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大（ ）
A．3B．9C．6D．27
【解答】解：V1＝abh；
长、宽、高都扩大3倍，
V2＝（a×3）×（b×3）×（h×3）＝27abh，
即体积扩大了27倍．故选：D．
4、（2019•怀化模拟）把三个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了 平方厘米，它的体积是 立方厘米．
【解答】解：①4×4×4＝64（平方厘米）；
②4×4×4×3，
＝64×3，
＝192（立方厘米）．
故答案为：①64；②192．
5、如图，把这个展开图折成一个长方体，
（1）如果A面在底部，那么 面在上面．
（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么 面在上面．
【解答】解：由图可知，“C”与面“E”相对．则
（1）因为面“A”与面“F”相对，
所以A面是长方体的底部时，F面在上面；
（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“C”面在下面，
因为面“E”与面“C”相对，当AF向上折，E会在上面，当AF向下折，C面会在上面；
故答案为：F，E或C．
6、有55个棱长为1分米的正方体木块，在地面上摆成如图所示的形式，要在表面涂刷油漆，如果与地面接触的面不涂油漆，干后将小木块分开，则涂油漆的表面积与未涂油漆表面积的比是 ．
【解答】解：55个正方体共有面：55×6＝330（个）；
被涂漆面共有：5+11+17+23+29＝85（个）；
85：（330﹣85）＝85：245＝17：49．
故答案为：17：49．
7、（2021春•沁阳市期中）一个棱长为6cm的正方体的表面积与它的体积相等． （判断对错）
【解答】解：表面积：6×6×6＝216（平方厘米）
体积：6×6×6＝216（立方厘米）
因为表面积和体积不是同类量，无法进行比较．故答案为：×．
8、一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积就扩大到原来的64倍． ．（判断对错）
【解答】解：根据正方体的体积公式v＝a3
一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的4×4×4＝64倍
故答案为：√．
9、（2020秋•射阳县期中）如图，有一个长6分米、宽和高都是2分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳多长？
【解答】解：6×2+2×4+2×6+2
＝12+8+12+2
＝34（分米），
答：一共用绳34分米．
10、（2019春•洛阳期末）把一根长2.4米的长方体木料锯成5段，表面积比原来增加了96平方厘米，这根木料原来的体积是多少立方厘米？
【解答】解：2.4米＝240厘米，
96÷（2×4）×240
96÷8×240
＝12×240
＝2880（立方厘米）
答：这根木料原来的体积是2880立方厘米．
11、（2019春•滨州期末）在一个长20米，宽8米，深1.5米的长方体蓄水池里面贴瓷砖，瓷砖是边长为0.2米的正方形，贴完共需瓷砖多少块？
【解答】解：（20×8+20×1.5×2+8×1.5×2）÷（0.2×0.2）
＝（160+60+24）÷0.04
＝244÷0.04
＝6100（块）；
答：贴完共需瓷砖6100块．
12、有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水．如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？
【解答】解：20×16×7÷（16×10）
＝2240÷160，
＝14（厘米）；
答：水的高度是14厘米．
13、将一个长方体的高减少6厘米，正好变成一个正方体，同时表面积减少了48平方厘米，这个长方体的表面积是多少？
【解答】解：减少的面的宽（剩下正方体的棱长）48÷4÷6＝2（厘米）
原长方体的高6+2＝8（厘米）
长方体的表面积为：
2×2×2+8×2×4
＝8+64
＝72（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是72平方厘米．
14、一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
【解答】解：（20×30+15×30）×2+30×4，
＝（600+450）×2+120，
＝2100+120，
＝2220（平方厘米）；
答：这张商标纸的面积是2220平方厘米．
15、小华放学回家，看见桌上放着两个金鱼缸，小华爸爸在留言条上写着：“小华回家后，请将A鱼缸中的水倒入B鱼缸，直到两个鱼缸中的水深一样为止．”请将小华计算一下，这两个鱼缸的水深多少厘米？
【解答】解：设此时A、B鱼缸内的水深是x厘米，
50×20×x+50×40×x＝50×20×24
1000x+2000x＝24000
3000x＝24000，
x＝8；
答：两个鱼缸的水深是8厘米．
16、如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2分米，3分米，4分米．现要在模型的表面涂刷油漆，大正方体的底面不用涂油漆，则整个模型需要涂刷油漆的面积是多少平方分米？
【解答】解：2×2×4+3×3×4+4×4×5
＝16+36+80
＝132（平方分米）．
答：整个模型需要涂刷油漆的面积是132平方分米．
17、有一块棱长是8分米的正方体的铁块，现在要把它溶铸成一个横截面积是2平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？
【解答】解：8×8×8÷2，
＝512÷2，
＝256（分米）．
答：这个长方体的长是256分米．
18、如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少？
【解答】解：大正方体的表面还剩的面积为：4×4×6﹣1×1×6＝90平方厘米；
六个小孔的表面积为1×1×6×6﹣1×1×6＝30平方厘米；
因此所求的表面积为90+30＝120平方厘米；
答：此图的表面积为120平方厘米．
①长方体展开图.
②正方体的展开图：一共冇以下4类11种图形，如做旅转戒翻折后，方向会不同，但相对位置不变。分别是1-4-1、231、2-2-2（楼梯型）、3-3（“L”型）
③找正方体对面数字：解决这类问题我们可以借助比较形象的口诀“隔一步，跳一跳，没有位置跳换个方向跳”
1、（2021春•肥东县期中）下列图形中，不能折成正方体的是（ ）
A．B． C．
【解答】解：不能折成正方体。故选：C。
2、（2019•防城港模拟）我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A．只有三个面 B．只能看到三个面 C．最多只能看到三个面
【解答】解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．选：C．
3、一个正方体的6个面分别写着1、2、3、4、5、6六个数字，下图是从三个不同角度所看到的图形，这个正方体正确的展开图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图
一个正方体的6个面分别写着1、2、3、4、5、6六个数字，下图是从三个不同角度所看到的图形，这个正方体正确的展开图是：
．故选：D．
4、如图是一个无盖正方体的展开图，A面的对面应该是（ ）
A．B面B．C面C．D面D．E面
【解答】解：如图，
把它折成正方体时，A面与E面相对，B面与D面相对，C面是底面；故选：D．
1、（2020•长沙）如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由分析可知，如图所示的立方体，如果把它展开，是D；故选D．
2、一个方块的六个面上分别写着1﹣6，下面是这个方块不同角度的视图．由图可知，1的对面是 ，3的对面是 ．
【解答】解：如图，
根据图1、图2可以看出1的对面是5，由图2、图3可以看出3的对面是4．
故答案为：5，4．
重点2：长方体和正方体的棱长和应用
①长方体棱长和：长方体有3组棱分别称为长、宽、高，3组对面，每组面有4条棱。棱长和为所有棱长总和，棱长和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4
②正方体棱长和：正方体12条棱大小相等，因此只要知道一条棱长度便可以求出棱长总和，所以棱长和=棱长×12
③棱长和应用：在这类问题中往往喜欢考查的是礼带打结问题，这类问题求解时注意先按3个方向分别求各自所用长度，记得最后加上礼带打结处长度。
1、（2021春•路北区期中）用一根56cm长的铁丝可以焊成个长6cm、宽5cm、高（ ）cm的长方体教具。
A．4 B．3C．2
【解答】解：56÷4＝14（厘米）
14﹣6﹣5＝3（厘米）故选：B。
2、（2020春•江北区期末）一根铁丝长36厘米，如果做一个正方体框架，棱长是 厘米；如果做一个高和宽都是2厘米的长方体框架，长是 厘米．
【解答】解：36÷12＝3（厘米），
36÷4﹣（2+2）
＝9﹣4
＝5（厘米），
答：正方体棱长是3厘米，长方体的长是5厘米．
故答案为：3，5．
3、如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
【解答】解：5×2+3×4+3×6+2，
＝10+12+18+2，
＝42（分米）；
答：一共要用绳子42分米．
1、如图是一个铁丝做成的长方体框架（单位：分米），一只蚂蚁从它的一个顶点出发，沿着它的棱爬行，爬过的棱不能重复，那么这只蚂蚁最多能爬 分米．
【解答】解：10+6+10+6+4+10+6+10+6，
＝16+16+20+16，
＝68（分米）；
答：最长路程是68分米；
故答案为：68．
2、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等．长方体的长宽高分别是6分米，5分米，4分米，那么正方体的棱长是多少分米，它们的体积相等吗？
【解答】解：（6+5+4）×4÷12
＝15×4÷12
＝60÷12
＝5（分米）；
5×5×5＝125（立方分米）；
6×5×4＝120（立方分米），
125立方分米＞120立方分米，
答：正方体的棱长是5分米，它们体积的不相等，正方体的体积大．
3、用丝带捆扎一个长25cm、宽20cm、8cm的长方体礼品盒（如图）．接头处的丝带长40cm，捆扎这个盒子至少需要多长的丝带？
【解答】解：25×2+20×2+8×4+40
＝50+40+32+40
＝162（厘米），
答：捆扎这个盒子至少需要162厘米长的丝带．
重点3：长方体正方体表面积应用
①无盖物体：例如鱼缸、无盖纸盒等，求其表面积注意只有5个面的面积，此事不能完全套用公式，先分组去求面积。
②通风管类：通风管物体比如水管、烟囱，它们表面积等于4个侧面的面积
③叠加立体图形表面积；解决这类问题很多学生不知道如何下手，会容易数重或数漏，因此要掌握好技巧从三个方向分别去求面积，最后再相加
④挖孔立体图形表面积（拓展）：挖孔立体图形要分3个方向去求表面积。顶点处挖：表面积不变；棱上挖：每挖一个正方体增加2个面；面上挖：每挖一个正方体增加4个面
1、（2021春•未央区月考）给棱长为0.9米的无盖正方体木箱的外面涂上油漆，涂油漆部分的总面积是（ ）
A．0.81平方米B．4.05平方米C．4.86平方米
【解答】解：0.9×0.9×5
＝0.81×5
＝4.05（平方米）
答：涂油漆部分的总面积是4.05平方分米。故选：B。
2、（2021春•项城市期中）王师傅要做5节同样的长方体铁皮通风管，每节长2m，侧面是边长为2dm的正方形，至少需要（ ）m2的铁皮。
A．8B．4C．2
【解答】解：2分米＝0.2米
0.2×4×2×5＝8（平方米）
答：至少需要8平方米的铁皮。
故选：A。
3、要把7本长20厘米，宽10厘米，高1厘米的数学课本包装在一起，下面组合方法最节省包装纸的是（ ）
A． B． C．
【解答】解：A组合的表面积是：（140×10+140×1+10×1）×2
＝（1400+140+10）×2
＝1550×2
＝3100（cm2）；
B组合的表面积是：（7×20+7×10+20×10）×2
＝（140+70+200）×2
＝410×2
＝820（cm2）；
C组合的表面积是：（70×20+70×1+20×1）×2
＝（1400+70+20）×2
＝1490×2
＝2980（cm2）；
因为820＜2980＜3100，
所以组合后，表面积最小的是B，即最节省包装纸的是B．
故选：B．
4、如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积 ．
【解答】解：3×2×4+2×2×2+（2÷2）×（2÷2）×2
＝24+8+2
＝34（平方厘米）
答：它的表面积是34平方厘米．
故答案为：34平方厘米．
5、如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？
【解答】解：42×6+22×4+12×4
＝96+16+4
＝116（平方厘米）；
答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米．
1、（2021春•肥东县期中）将一个长方体铜块锻造成一个正方体铜块，长方体铜块和正方体铜块相比（ ）
A．体积相等，表面积不相等
B．体积和表面积都不相等
C．表面积相等，体积不相等
【解答】解：把一个长方体铜块锻造成一个正方体铜块，只是形状改变了，也就是它的表面积变了，但是体积没有变。
故选：A。
2、（2020秋•滨湖区校级期中）有一个长方体玻璃鱼缸，长40厘米，宽25厘米，高22厘米．这个鱼缸前面的玻璃破损，需重配一块 平方厘米的玻璃；这个鱼缸最多能注 升的水．
【解答】解：玻璃的面积：40×22＝880（平方厘米）
能注水的立方厘米数：40×25×22＝22000（立方厘米）
22000立方厘米＝22升
答：需重配一块880平方厘米的玻璃；这个鱼缸最多能注22升的水．
故答案为：880，22．
3、李兵用棱长为1厘米的小正方体摆成一个长方形，下边分别是他从不同的方向看到的图形，摆这个长方体一共用了 个小正方体，这个长方体的表面积为 平方厘米．
【解答】解：由从正面看和从上面看得到的图形，可知长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，
4×3×2＝24（个）
（4×3+4×2+3×2）×2
＝（12+8+6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
答：摆这个长方体一共用了24个小正方体，这个长方体的表面积为52平方厘米．
故答案为：24，52．
4、（2020春•廉江市月考）一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
【解答】解：（20+15）×2×30
＝35×60
＝2100（平方厘米）
答：这张商标纸的面积是2100平方厘米．
5、有一个棱长为4厘米的正方体橡皮泥．
（1）求这个正方体橡皮泥的表面积；
（2）在正方体橡皮泥上面正中向下挖一个棱长为2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，最终剩下的橡皮泥如右图所示．若橡皮泥每立方厘米约重4克，则最终剩下的橡皮泥约有多少克？
（3）求第二问中最终剩下的橡皮泥的表面积．
【解答】解：（1）4×4×6＝96（平方厘米）；
答：这个正方体的表面积是96平方厘米．
（2）4×4×4﹣2×2×2﹣1×1×1，
＝64﹣8﹣1，
＝55（立方厘米），
4×55＝220（克），
答：最终剩下的橡皮泥约有220克．
（3）96+2×2×4+1×1×4，
＝96+16+4，
＝116（平方厘米）；
答：最终剩下的橡皮泥的表面积116平方厘米．
难点1：长方体正方体表面积变化
（1）拼接：每两个长方体（正方体）拼接一次表面减少2个面，n个长方体（正方体）拼接，表面积减少2（n-1）个面
（2）切割：长方体（正方体）切割一次表面积增加2个面，长方体（正方体）切割成n段，表面积增加2（n-1）个面
（3）高的变化：高增加，表面积增加4个侧面；高减少，表面积减少4个侧面
（4）涂色方块的涂色面个数：解决这类问题一般有这几个：假设正方体每条棱分成n份
①总个数：n×n×n
②涂3面个数：8个
③涂2面个数（看棱）：（n-2）×12
④图1个面个数（看面）：（n-2）×（n-2）×6
⑤图0个面个数：总个数-涂3面个数-涂2面个数-涂1面个数
1、（2021春•卧龙区期中）用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．108B．126C．180
【解答】解：正方体一个面的面积：
36÷4＝9（平方厘米）
9×（6×3﹣4）
＝9×14
＝126（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是126平方厘米。
故选：B。
2、如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2．原来长方体的表面积是 cm2．
【解答】解：30÷4×（6×3﹣4）
＝7.5×14
＝105（平方厘米）
30÷2×（6×3﹣4）
＝15×14
＝210（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米；
故答案为：105或210．
3、（2019春•黄骅市期末）体积相等的两个长方体，它们的表面积不一定相等． （判断对错）
【解答】解：假设长方体的体积为24立方厘米，
则长方体的长、宽、高可以为4厘米、2厘米和3厘米，
也可以为2厘米、2厘米、6厘米，
所以其表面积分别为：
（4×2+2×3+3×4）×2
＝（8+6+12）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）；
（2×2+2×6+×6×2）×2
＝（4+12+12）×2
＝28×2
＝56（平方厘米）
因此它们的表面积不一定相等．
故答案为：√．
4、给下面两个排在一起的正方体表面涂色，一共可以涂几个面？
【解答】解：2×2+2+1×2
＝4+2+2
＝8（个）
答：一共可以涂8个面．
1、（2021春•未央区月考）把一个棱长3cm的正方体分成两个完全一样的长方体后（如图），表面积增加了
A．9cm2B．18cm2C．27cm2
【解答】解：3×3×2
＝9×2
＝18（平方厘米）
答：表面积增加了18平方厘米。
故选：B。
2、把3个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是 立方厘米，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少 平方厘米．
【解答】解：4×4×4×3
＝16×4×3
＝64×3
＝192（立方厘米），
4×4×4
＝16×4
＝64（平方厘米），
答：这个长方体的体积是192立方厘米，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少64平方厘米．故答案为：192、64．
3、如图的机器零件是由4个棱长是3cm的小正方体组成的，现在要在其表面全部涂上防锈漆，涂油漆的面积是多少？
【解答】解：（5+3+5+5）×（3×3）
＝18×9
＝162（平方厘米）
答：涂油漆的面积是162平方厘米．
难点2：长方体正方体等体积变化
1、铁块在沉入水中问题
①如果全部沉没在水中，则用铁块的体积÷大容器的底面积=水上升（下降）的高度
②如果没有全部沉没在水中，则用（大容器的底面积×水深）÷（大容器的底面积-小铁块的底面积），又分为两种情况
2、这类问题一般在锻造、铸造、熔铸中经常运用到，解决这类问题只要明白形状改变，体积不变。
1、（2021春•聊城期中）一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加3.2平方分米，这根钢材原来的体积是（ ）立方分米。
A．1.6B．16C．0.32
【解答】解：2米＝20分米
3.2÷4×20
＝0.8×20
＝16（立方分米）
答：这根钢材原来的体积是16立方分米。
故选：B。
2、（2019春•黄骅市期末）一个长方体，长、宽、高都扩大到原来的3倍，体积扩大为原来的 倍，表面积扩大到原来的 倍．
【解答】解：长方体的长宽高各扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的3×3×3＝27倍；
它的表面积扩大到原来的3×3＝9倍；
故答案为：27；9．
3、（2021•衡阳县模拟）将2升水倒入图中的两个长方体水槽中，使它们水面高度相等，这个高度是多少？（单位：厘米，图中数据为水槽内尺寸）
【解答】解：2升＝2000立方厘米，
设高为x厘米，
12×10×x+8×5×x＝2000，
120x+40x＝2000，
160x＝2000，
160x÷160＝2000÷160，
x＝12.5；
答：这个高是12.5厘米．
4、将一个长8厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是多少？
【解答】解：3×3×3＝27（立方厘米）；
答：这个正方体的体积是27立方厘米．
1、正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍． ．（判断对错）
【解答】解：正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大2×2×2＝8倍．
因此，正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．这种说法是正确的．
故答案为：√．
2、（2020秋•射阳县期中）一个长方体，如果高增加2厘米就变成一个正方体．这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？
【解答】解：48÷4÷2＝6（厘米），
6×6×（6﹣2）
＝36×4
＝144（立方厘米），
答：原来长方体的体积是144立方厘米．
3、一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体．这时表面积比原来增加了96平方厘米．原来的长方体的体积是多少立方厘米？
【解答】解：底面周长：96÷3＝32（厘米）；
长方体的底面边长：32÷4＝8（厘米）；
长方体的高：8﹣3＝5（厘米）；
体积：8×8×5＝320（立方厘米）；
答：原来这个长方体的体积是320立方厘米．
4、（2021春•连平县期中）在一个从里面量长为13厘米、宽为8厘米，高为6厘米的纸箱中，最多可以放多少个棱长为2厘米的小正方体？
【解答】解：13÷2＝6（个）…1（厘米）
8÷2＝4（个）
6÷2＝3（层）
6×4×3＝72（个）
答：最多可以放72个棱长为2厘米的小正方体．
5、（2020春•乐清市期末）珊瑚石的体积是多少？
【解答】解；（1）珊瑚石的体积：8×8×（7﹣6）＝64（立方厘米）．
（2）珊瑚石的体积：8×8×7﹣8×8×6＝64（立方厘米）．
答：珊瑚石的体积是64立方厘米．
6、把1块棱长8厘米的正方体钢材，熔化后铸成一个底面积是32平方厘米的长方体零件，铸成的零件高多少厘米？
【解答】解：8×8×8÷32
＝512÷32
＝16（厘米）
答：铸成的零件高16厘米．
课后巩固
1、（2021•深圳模拟）下列图形中，不是正方体的展开图。（ ）
A．B．C．
【解答】解：不是正方体的展开图。故选：B。
2、（2021春•肥乡区期中）一个长方体水池，长20米，宽16米，深2米，里面放了1.5米的水，水的体积是（ ）立方米。
A．640B．480C．320
【解答】解：20×16×1.5
＝320×1.5
＝480（立方米）
答：水的体积是480立方米。
故选：B。
3、（2019•长沙县）如果长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大（ ）
A．3B．9C．6D．27
【解答】解：V1＝abh；
长、宽、高都扩大3倍，
V2＝（a×3）×（b×3）×（h×3）＝27abh，
即体积扩大了27倍．故选：D．
4、（2019•怀化模拟）把三个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了 平方厘米，它的体积是 立方厘米．
【解答】解：①4×4×4＝64（平方厘米）；
②4×4×4×3，
＝64×3，
＝192（立方厘米）．
故答案为：①64；②192．
5、如图，把这个展开图折成一个长方体，
（1）如果A面在底部，那么 面在上面．
（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么 面在上面．
【解答】解：由图可知，“C”与面“E”相对．则
（1）因为面“A”与面“F”相对，
所以A面是长方体的底部时，F面在上面；
（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“C”面在下面，
因为面“E”与面“C”相对，当AF向上折，E会在上面，当AF向下折，C面会在上面；
故答案为：F，E或C．
6、有55个棱长为1分米的正方体木块，在地面上摆成如图所示的形式，要在表面涂刷油漆，如果与地面接触的面不涂油漆，干后将小木块分开，则涂油漆的表面积与未涂油漆表面积的比是 ．
【解答】解：55个正方体共有面：55×6＝330（个）；
被涂漆面共有：5+11+17+23+29＝85（个）；
85：（330﹣85）＝85：245＝17：49．
故答案为：17：49．
7、（2021春•沁阳市期中）一个棱长为6cm的正方体的表面积与它的体积相等． （判断对错）
【解答】解：表面积：6×6×6＝216（平方厘米）
体积：6×6×6＝216（立方厘米）
因为表面积和体积不是同类量，无法进行比较．故答案为：×．
8、一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积就扩大到原来的64倍． ．（判断对错）
【解答】解：根据正方体的体积公式v＝a3
一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的4×4×4＝64倍
故答案为：√．
9、（2020秋•射阳县期中）如图，有一个长6分米、宽和高都是2分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳多长？
【解答】解：6×2+2×4+2×6+2
＝12+8+12+2
＝34（分米），
答：一共用绳34分米．
10、（2019春•洛阳期末）把一根长2.4米的长方体木料锯成5段，表面积比原来增加了96平方厘米，这根木料原来的体积是多少立方厘米？
【解答】解：2.4米＝240厘米，
96÷（2×4）×240
96÷8×240
＝12×240
＝2880（立方厘米）
答：这根木料原来的体积是2880立方厘米．
11、（2019春•滨州期末）在一个长20米，宽8米，深1.5米的长方体蓄水池里面贴瓷砖，瓷砖是边长为0.2米的正方形，贴完共需瓷砖多少块？
【解答】解：（20×8+20×1.5×2+8×1.5×2）÷（0.2×0.2）
＝（160+60+24）÷0.04
＝244÷0.04
＝6100（块）；
答：贴完共需瓷砖6100块．
12、有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水．如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？
【解答】解：20×16×7÷（16×10）
＝2240÷160，
＝14（厘米）；
答：水的高度是14厘米．
13、将一个长方体的高减少6厘米，正好变成一个正方体，同时表面积减少了48平方厘米，这个长方体的表面积是多少？
【解答】解：减少的面的宽（剩下正方体的棱长）48÷4÷6＝2（厘米）
原长方体的高6+2＝8（厘米）
长方体的表面积为：
2×2×2+8×2×4
＝8+64
＝72（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是72平方厘米．
14、一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
【解答】解：（20×30+15×30）×2+30×4，
＝（600+450）×2+120，
＝2100+120，
＝2220（平方厘米）；
答：这张商标纸的面积是2220平方厘米．
15、小华放学回家，看见桌上放着两个金鱼缸，小华爸爸在留言条上写着：“小华回家后，请将A鱼缸中的水倒入B鱼缸，直到两个鱼缸中的水深一样为止．”请将小华计算一下，这两个鱼缸的水深多少厘米？
【解答】解：设此时A、B鱼缸内的水深是x厘米，
50×20×x+50×40×x＝50×20×24
1000x+2000x＝24000
3000x＝24000，
x＝8；
答：两个鱼缸的水深是8厘米．
16、如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2分米，3分米，4分米．现要在模型的表面涂刷油漆，大正方体的底面不用涂油漆，则整个模型需要涂刷油漆的面积是多少平方分米？
【解答】解：2×2×4+3×3×4+4×4×5
＝16+36+80
＝132（平方分米）．
答：整个模型需要涂刷油漆的面积是132平方分米．
17、有一块棱长是8分米的正方体的铁块，现在要把它溶铸成一个横截面积是2平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？
【解答】解：8×8×8÷2，
＝512÷2，
＝256（分米）．
答：这个长方体的长是256分米．
18、如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少？
【解答】解：大正方体的表面还剩的面积为：4×4×6﹣1×1×6＝90平方厘米；
六个小孔的表面积为1×1×6×6﹣1×1×6＝30平方厘米；
因此所求的表面积为90+30＝120平方厘米；
答：此图的表面积为120平方厘米．
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