数学必修12.1.2指数函数及其性质巩固练习

这是一份数学必修12.1.2指数函数及其性质巩固练习，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．下列以x为自变量的函数中是指数函数的是( )
A．y＝3x＋1 B．y＝－3x
C．y＝(eq \f(1,3))－x D．y＝(2x＋1)x
解析：A为y＝3×3x，不是指数函数；B为y＝－1×3x，故不是指数函数；D中底数中含自变量x，故不是指数函数，答案选C.
答案：C
2．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( )
A．AB B．A⊆B
C．AB D．A＝B
解析：由A＝{y|y>0}，B＝{y|y≥0}得AB.
答案：A
3．函数f(x)＝(eq \f(1,2)) eq \s\up15( eq \f (1,x)) 的定义域，值域依次是( )
A．R，R
B．R，(0，＋∞)
C．{x∈R|x≠0}，{y∈R|y≠1}
D．{x∈R|x≠0}，{y>0|y≠1}
解析：注意x≠0，eq \f(1,x)≠0，∴y≠(eq \f(1,2))0＝1.
答案：D
4．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0,1) B．(1,1)
C．(2,0) D．(2,2)
解析：当x＝2时，ax－2＝1，因此函数恒过(2,2)．
答案：D
5．方程2x＋x＝0的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝－x的图象，如图1所示．则函数y＝2x和函数y＝－x的图象仅有一个交点，所以方程仅有一个实数解．
图1
答案：B
6．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(eq \f(1,2))－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，
y3＝(eq \f(1,2))－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44，
∴y1>y3>y2.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．若函数y＝(2a－1)x为指数函数，则实数a的取值范围是_____．
解析：函数y＝(2a－1)x为指数函数，则
2a－1>0且2a－1≠1，
∴a>eq \f(1,2)且a≠1.
答案：a>eq \f(1,2)且a≠1
8．设23－2x<0.53x－4，则x的取值范围是________．
解析：原不等式等价于23－2x<24－3x，
∴3－2x<4－3x，解得x<1.
答案：(－∞，1)
9．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
解析：当x<0时，不等式f(a)<1可化为(eq \f(1,2))a－7<1，即(eq \f(1,2))a<8，
即(eq \f(1,2))a<(eq \f(1,2))－3.
所以a>－3，此时－3当x≥0时，不等式f(a)<1可化为eq \r(a)<1，则a<1，此时0≤a<1.
综上，a的取值范围是(－3,0)∪[0,1)＝(－3,1)．
答案：(－3,1)
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，eq \f(1,2))，其中a>0，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象过点(2，eq \f(1,2))，所以a2－1＝eq \f(1,2)，则a＝eq \f(1,2).
(2)f(x)＝(eq \f(1,2))x－1(x≥0)，由x≥0得，x－1≥－1，
于是0<(eq \f(1,2))x－1≤(eq \f(1,2))－1＝2.
故所求的函数值域为(0,2]．
11．(15分)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有且仅有两个公共点，求a的取值范围．
解：在同一平面直角坐标系中作出y＝2a与y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的大致图象．
当a>1时，如图2(1)所示．
由图知两函数的图象若要有两个公共点，则0<2a<1，得01矛盾，不合题意；当0综上，a的取值范围是0图2
[创新应用]
12．(15分)已知函数f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1)(x∈R)，a为实数．
(1)试证明对任意实数a, f(x)为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
解：(1)任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝(a－eq \f(2,2x1＋1))－(a－eq \f(2,2x2＋1))
＝eq \f(22x1－2x2,2x1＋12x2＋1).
∵x1又∵2x>0，∴2x1＋1>0,2x2＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故对任意实数a, f(x)为增函数．
(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
即a－eq \f(2,2－x＋1)＝－a＋eq \f(2,2x＋1)，
变形得2a＝eq \f(2·2x,2x＋1)＋eq \f(2,2x＋1)＝2.
∴a＝1，即当a＝1时， f(x)为奇函数．