人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案设计

　　　　　　　　　　　　　　　　　　自由落体运动规律的综合运用

[学习目标]　1.进一步加深对自由落体运动性质的理解.2.能够灵活运用自由落体规律解决滴水、物体过窗等复杂问题．

一、自由落体规律的应用(多物体)

在离地面7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端，如图1所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)求：

图1

(1)两小球落地的时间差；

(2)B球落地时A球的速度大小．

答案　(1)0.2 s　(2)10 m/s

解析　(1)设B球落地所需时间为t1，A球落地所需时间为t2，

因为h1＝gt12，

所以t1＝＝ s＝1 s，

由h2＝gt22得t2＝＝ s＝1.2 s

所以两小球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝0.2 s.

(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等．

即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s.

二、自由落体运动中的滴水问题

小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图2所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，请问：

图2

(1)滴水的时间间隔是多少？

(2)此屋檐离地面多高？(尝试用多种方法求解)

答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m

解析　方法一　公式法

(1)设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T.

由h＝gt2得

第2滴水下落的位移h2＝g(3T)2

第3滴水下落的位移h3＝g(2T)2

且h2－h3＝1 m

解得T＝0.2 s

(2)屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m.

方法二　比例法

(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两水滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，

由题意知，窗高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m，

屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m.

设滴水的时间间隔为T，由s＝gT2得T＝＝0.2 s.

方法三　平均速度法

(1)(2)设滴水的时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为＝，其中h＝1 m.

雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，

由于v2.5＝，所以＝2.5gT，解得T＝0.2 s

屋檐高H＝g(4T)2＝3.2 m.

方法四　速度位移关系

(1)设滴水的时间间隔为T，则第2滴的速度v2＝g·3T，

第3滴v3＝g·2T，h＝1 m，

由v2－v＝2ax，得v－v＝2gh

解得T＝0.2 s

(2)由v2＝2gH，v＝at得v＝g·4T＝8 m/s

H＝＝3.2 m.

三、雨滴(杆)过窗问题

如图3所示，直杆长l1＝0.5 m，圆筒高l2＝3.7 m．直杆位于圆筒正上方H＝0.8 m处．直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取10 m/s2)，求：

图3

(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间；

(2)直杆穿越圆筒所用的时间．

答案　(1)0.4 s　(2)0.6 s

解析　(1)设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，直杆上端离开圆筒下端的时间为t2，根据自由落体运动规律有

H＝gt12，解得t1＝＝ s＝0.4 s.

(2)根据自由落体运动规律有l1＋H＋l2＝gt22，

解得t2＝＝ s＝1 s，

则直杆穿越圆筒所用的时间t＝t2－t1＝0.6 s.

四、自由落体多过程问题

跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以大小为14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2.问：

(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？

(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)

答案　(1)305 m　(2)9.85 s

解析　(1)设运动员自由下落的高度为h1，打开伞前瞬间的速度为v1，有v12＝2gh1

打开降落伞后做匀减速运动时满足：v22－v12＝2ah2

联立解得h1＝180 m

所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m

(2)设第一过程经过的时间是t1，有h1＝gt12

第二过程经过的时间是t2＝

所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85 s.

1.(多选)小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图1中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列判断正确的是(　　)

图1

A．位置1是小球释放的初始位置

B．小球做匀加速直线运动

C．小球下落的加速度为

D．小球在位置3的速度为

答案　BCD

解析　小球做自由落体运动，从静止开始运动的连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7…，而题图中位移之比为2∶3∶4∶5…，故位置1不是小球释放的初始位置，选项A错误，B正确．由a＝得a＝，选项C正确．小球在位置3的速度v3＝＝，选项D正确．

2.(多选)如图2所示，竖直方向上的线段AE被分成四段长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE.一物体从A点由静止释放，不计空气阻力，下列结论正确的是(　　)

图2

A．物体通过每一部分的过程中速度增量相等

B．物体到达各点的速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2

C．物体从A点运动到E点的全过程平均速度＝vB

D．物体经过各段的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶3∶5∶7

答案　BC

解析　自由落体运动是匀加速直线运动，故通过相等位移对应的时间不相等，所以物体通过每一部分的过程中速度增量不相等，A错误；由v2＝2gh得vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，B正确；因为hAB∶hBE＝1∶3，且物体做初速度为零的匀变速直线运动，所以B点对应AE的中间时刻，所以物体从A点运动到E点的全过程平均速度＝vB，C正确；tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)，D错误．

3．(多选)一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底(g＝10 m/s2)，则(　　)

A．第1个小球落至井底时的速度为50 m/s

B．第1个小球落至井底时的速度为25 m/s

C相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s

D．第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m

答案　ACD

解析　第1个小球自由下落的时间t＝＝ s＝5 s，根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此空中有9个小球在下落，并存在10个相等的时间间隔Δt，故Δt＝＝0.5 s，根据vt＝，得vt＝50 m/s，第9个小球下落的高度为h9＝×10×(0.5×2)2 m＝5 m，第7个小球下落的高度为h7＝×10×(0.5×4)2 m＝20 m，故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故选A、C、D.

4.(1)如图3，从屋檐上每隔时间T，滴下一滴水，若第5滴水正欲滴下时，第1滴水恰好到达地面，则第1滴、第2滴……第4滴水此时的速度之比：v1∶v2∶v3∶v4＝            .

它们之间的距离之比：x1∶x2∶x3∶x4＝            .

图3

(2)若此时第3滴水的速度为v3，屋檐的高度h＝      .

答案　(1)4∶3∶2∶1　7∶5∶3∶1　(2)4v3T

5.(多选)如图4所示，在一个水平桌面上方有三个金属小球a、b、c，高度分别为h1、h2、h3，且h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后由静止依次释放小球a、b、c，三小球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则(　　)

图4

A．三小球到达桌面时的速度大小之比是3∶2∶1

B．三小球运动时间之比为∶∶1

C．小球b与a开始下落的时间差小于小球c与b开始下落的时间差

D．小球b与a开始下落的时间差大于小球c与b开始下落的时间差

答案　BC

解析　由v2＝2gh，得v＝，则三小球落到桌面时的速度大小之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，A错误；又由h＝gt2，得t＝，则三小球运动时间之比t1∶t2∶t3＝∶∶1，B正确；设小球b与a开始下落的时间差为Δt1，小球c与b开始下落的时间差为Δt2，则由B选项的分析可得Δt1∶Δt2＝(－)∶(－1)，比值小于1，因此小球b与a开始下落的时间差小于小球c与b开始下落的时间差，C正确，D错误．

6．(2021·潍坊市高一检测)特技跳伞要求队员在2 200 m的高度离开飞机，在不开伞自由落体的情况下完成规定表演动作．跳伞中某队员自由落体速度达到最大速度70 m/s后，调整姿势匀速下落，在距地面1 000 m时打开降落伞匀减速下落，落地速度恰好为零．g取10 m/s2，求：

(1)匀速下落的距离；

(2)匀减速过程的加速度大小；

(3)跳伞过程的总时间．

答案　(1)955 m　(2)2.45 m/s2　(3)49.2 s

解析　(1)自由落体运动过程，由v＝gt1

得h1＝gt12

从刚离开飞机到落地过程中

由h＝h1＋h2＋h3

解得h2＝955 m.

(2)在匀减速直线运动过程中，由0－v2＝－2ah3

代入数据得a＝2.45 m/s2.

(3)t3＝＝ s≈28.6 s

t2＝＝ s≈13.6 s

t＝t1＋t2＋t3

解得t＝49.2 s.

7．一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)(　　)

A．0.3 s   B．0.4 s

C．0.7 s   D．1.2 s

答案　B

解析　悬链下端下落20 m时开始经过该点，下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt＝－＝0.4 s，B正确．

8.如图5所示，一滴雨滴从离地面20 m 高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：

图5

(1)雨滴落地时的速度大小；

(2)雨滴落地前最后1 s内的位移大小；

(3)屋檐离窗的上边框的距离．

答案　(1)20 m/s　(2)15 m　(3)4.05 m

解析　(1)设雨滴自由下落时间为t，根据h＝gt2得t＝2 s.

则雨滴落地时的速度v＝gt＝20 m/s.

(2)雨滴在第1 s内的位移为h1＝gt12＝5 m

则雨滴落地前最后1 s内的位移大小为h2＝h－h1＝15 m.

(3)由题意知窗口的高度为h3＝2 m，设屋檐距窗的上边框为h0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框时间为t0，则

h0＝gt02.

又h0＋h3＝g(t0＋Δt)2

联立解得h0＝4.05 m.