物理必修 第一册第3章 力与相互作用本章综合与测试学案设计

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共点力平衡的综合分析

[学习目标]　1.进一步熟练掌握平衡问题的解法.2.会利用解析法和图解法分析动态平衡问题.3.会用整体法和隔离法分析多个物体的平衡问题．

一、静态平衡问题
物体处于静态平衡时指的是物体受到力的大小、方向不随时间的变化而变化．
平衡条件的四个常用结论
(1)二力作用平衡时，二力等大、反向、共线．
(2)三力作用平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线．
(3)多力作用平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向、共线．
(4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零．
(2020·安庆市期末)如图1所示，质量为m1＝2 kg的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2＝10 kg的物体乙相连，当轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝45°，物体乙恰好处于静止状态．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.试求：

图1
(1)轻绳OA的拉力大小；
(2)物体乙与地面间的动摩擦因数μ.
答案　(1)20 N　(2)0.2
解析　(1)对结点O受力分析，如图甲，根据共点力平衡得：

TA·cos θ＝m1g
解得：TA＝20 N
(2)由共点力平衡得：TB＝m1g
对乙受力分析如图乙，则有TB＝f＝μm2g

联立解得：μ＝0.2.
二、动态平衡问题
1．动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类题型．
2．基本方法：解析法、图解法和相似三角形法．
3．处理动态平衡问题的一般步骤
(1)解析法：
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式．
②根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况．
(2)图解法：
①适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化．
②一般步骤：a.首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出构成一个三角形(先画出大小方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均变化的力)，由题意改变方向变化的力的方向．由动态图解可知力的大小变化情况．
质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图2所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)

图2
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
答案　A
解析　解法一　解析法
以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA与竖直方向的夹角θ变大，由共点力的平衡条件知：

T＝，F＝mgtan θ，所以F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确．
解法二　图解法
先画出重力，再画拉力F，最后画出绳的拉力

T构成一个矢量三角形．由题意知T的方向与竖直方向夹角增大，改变绳子拉力T的方向，由图可知F增大，T增大．
针对训练　(多选)用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，

图3
悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图3所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况是(　　)
A．OA绳上的拉力逐渐减小
B．OA绳上的拉力先减小后增大
C．OB绳上的拉力逐渐增大
D．OB绳上的拉力先减小后增大
答案　AD
解析　将AO绳、BO绳的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变OB绳拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小，故A、D正确．

(2020·吉林市期中)如图4，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切．穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N.在运动过程中(　　)

图4
A．F增大，N增大
B．F减小，N减小
C．F增大，N减小
D．F减小，N增大
答案　C
解析　对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示，

根据共点力平衡条件有：
N＝mgcos θ，
F＝mgsin θ，
其中θ为支持力N与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故N减小，F增大．
三、整体法和隔离法在平衡问题中的应用
1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．
2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．
注意　隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快．
(多选)(2020·佛山市高一上期末)如图5所示，斜面体质量为M，倾角为θ，小方块质量为m，在水平推力F作用下，斜面体和小方块整体向左做匀速直线运动，各接触面之间的动摩擦因数都为μ，重力加速度为g，则(　　)

图5
A．斜面体对小方块的支持力为mgcos θ
B．地面对斜面体的支持力大小为(M＋m)g
C．斜面体对小方块的摩擦力大小为μmgcos θ
D．地面对斜面体的摩擦力大小为μMg
答案　AB
解析　以整体为研究对象，地面对斜面体的支持力大小为(M＋m)g，根据摩擦力的计算公式可得地面对斜面体的摩擦力大小为f1＝μ(M＋m)g，故D错误，B正确；斜面体对小方块的摩擦力为静摩擦力，摩擦力大小为f2＝mgsin θ，故C错误．斜面体对小方块的支持力等于小方块的重力垂直斜面的分力，大小为mgcos θ，故A正确．
有一个固定直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图6所示)．现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F和摩擦力f的变化情况是(　　)

图6
A．F变小，f变大 B．F不变，f变小
C．F变大，f变大 D．F变大，f变小
答案　B
解析　对小环Q受力分析，受到重力mg、支持力N和拉力T，如图甲所示，根据平衡条件得T＝，N＝mgtan θ(也可用图解法分析)，再对P、Q整体受力分析，受到总重力2mg、AO杆的支持力F、向右的静摩擦力f、OB杆的支持力N，如图乙所示，根据共点力平衡条件，有N＝f，F＝2mg，当P环向左移一小段距离，θ变小，N变小，则静摩擦力f变小，AO杆的支持力F不变，故选项B正确．


1．(静态平衡问题)如图7所示，重物的质量为m，轻细绳OA的A端与轻细绳OB的B端是固定的，平衡时AO水平，BO与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，则绳AO的拉力大小是(　　)

图7
A．F＝mgcos θ B．F＝mgtan θ
C．F＝mgsin θ D．F＝
答案　B
解析　对重物进行受力分析，
如图，将力FA、FB合成，由平衡条件得

FBcos θ＝mg，FBsin θ＝FA，可知AO的拉力FA＝mgtan θ，B正确，A、C、D错误．
2．(动态平衡问题)如图8所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B，开始板A处于竖直位置，现使其下端绕O沿逆时针方向缓缓转至水平位置，斜面对球的支持力和挡板对球的弹力的变化情况是(　　)

图8
A．斜面对小球的支持力逐渐减小，挡板对小球的弹力也逐渐减小
B．斜面对小球的支持力逐渐变大，挡板对小球的弹力则逐渐减小
C．斜面对小球的支持力逐渐减小，挡板对小球的弹力先变小后变大
D．斜面对小球的支持力逐渐减小，挡板对小球的弹力先变大后变小
答案　C
解析　分析球的受力，受到重力mg、挡板对球的弹力FA及斜面对球的支持力FB，如图所示，球处于静止状态，弹力FA与FB的合力F的大小等于重力大小，方向竖直向上．当挡板下端绕O沿逆时针方向缓慢转至水平位置的过程中，可以看出表示弹力FA的边的长度先变小后变大，即弹力FA先变小后变大；表示支持力FB的边的长度一直变短，说明FB一直变小．

3.(整体法与隔离法)(2021·广州外国语学校高一上段考)用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图9所示．对小球a持续施加一个水平向左的恒力，并对小球b持续施加一个水平向右的同样大小的恒力，最后达到平衡状态．下列选项中表示平衡状态的图可能是(　　)

图9

答案　A
解析　将两球及两球之间的细线看成一个整体，对整体受力分析如图所示，整体达到平衡状态．根据平衡条件可知整体受到a球上方的细线的拉力F线的大小等于a、b的重力大小之和，方向沿竖直方向，故此细线必定沿竖直方向，故A正确．

4．(整体法与隔离法)(多选)如图10所示，在粗糙水平面上放一质量为M的斜面体，质量为m的木块在竖直向上的力F作用下沿斜面匀速下滑，此过程中斜面体保持静止，重力加速度为g，则地面对斜面体(　　)

图10
A．无摩擦力
B．有水平向左的摩擦力
C．支持力大小为(M＋m)g
D．支持力小于(M＋m)g
答案　AD
解析　对木块和斜面体整体受力分析，受到拉力F、重力(M＋m)g、支持力N，根据共点力平衡条件，竖直方向上有N＋F－(M＋m)g＝0，解得N＝(M＋m)g－F＜(M＋m)g；水平方向上不受力，故没有摩擦力，选项A、D正确．


1．(多选)(2020·淄博市期末)如图1甲所示，笔记本电脑底座一般设置有四个卡位用来调节角度，某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1调至卡位4(如图乙)，电脑始终处于静止状态，则(　　)

图1
A．电脑受到的支持力变大
B．电脑受到的摩擦力变大
C．散热底座对电脑的作用力的合力不变
D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力
答案　AC
解析　对电脑受力分析，如图所示，电脑受到的支持力N＝mgcos θ，由原卡位1调至卡位4，θ减小，故N增大，故A正确；电脑受到的摩擦力f＝mgsin θ，θ减小，f减小，故B错误；由平衡条件知，底座对电脑的作用力的合力与电脑受到的重力等大反向，故C正确；电脑受到的支持力与摩擦力两力矢量和与其重力大小相等，但电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力，故D错误．

2.(2020·宿州市十三所重点中学高一上期末)如图2所示，一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A运动到B的过程中(　　)

图2
A．树枝对小鸟的合力先减小后增大
B．树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大
C．树枝对小鸟的弹力先减小后增大
D．树枝对小鸟的弹力保持不变
答案　B
解析　树枝对小鸟的合力是支持力和摩擦力的合力，由二力平衡得，合力与小鸟所受的重力等大反向，因小鸟所受重力不变，所以树枝对小鸟的合力不变，A项错误．对小鸟进行受力分析如图所示，则树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大，对小鸟的弹力先增大后减小，所以B项正确，C、D项错误．

3.如图3所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点，由于长期使用，导致两根支架向内发生了微小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高，座椅静止时所受合力的大小用F表示，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，则(　　)

图3
A．F不变，F1变小
B．F不变，F1变大
C．F变小，F1变小
D．F变大，F1变大
答案　A
解析　对座椅受力分析如图所示，座椅静止，则合力F＝0，不变．因两悬挂点等高，则F2＝F1＝，支架内倾，θ变小，则F1变小，A正确．

4．(2020·鹤岗一中高一上期末)如图4所示，用绳索将重球挂在墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，则绳对球的拉力F1和墙对球的支持力F2的变化情况是(　　)

图4
A．F1增大，F2减小
B．F1减小，F2增大
C．F1和F2都减小
D．F1和F2都增大
答案　C
解析　由图解法可知F1减小，墙对球的支持力F2减小，C正确．

5．(2020·唐山市质检)光滑斜面上固定着一根刚性圆弧形细杆，小球通过轻绳与细杆相连，此时轻绳处于水平方向，球心恰好位于圆弧形细杆的圆心处，如图5所示．将悬点A缓慢沿杆向上移动，直到轻绳处于竖直方向，在这个过程中，轻绳的拉力(　　)

图5
A．逐渐增大 B．大小不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
答案　C
解析　以小球为研究对象，分析受力情况：小球受到重力、斜面的支持力N和绳子的拉力T，如图所示．由平衡条件得知，N和T的合力与G大小相等、方向相反，在将A点向上缓慢移动，使绳绕圆心逆时针转动的过程中，作出力的合成图，由图得出，T先减小后增大，C正确．

6.如图6所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对小球的压力大小为N1，木板对小球的支持力大小为N2.以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中(　　)

图6
A．N1始终减小，N2始终增大
B．N1始终减小，N2始终减小
C．N1先增大后减小，N2始终减小
D．N1先增大后减小，N2先减小后增大
答案　B
解析　小球受重力G、墙面对球的压力N1、木板对小球的支持力N2而处于平衡状态．由平衡条件知N1、N2的合力与G等大反向，θ增大时，画出多个平行四边形，如图，由图可知在θ增大的过程中，N1始终减小，N2始终减小．选项B正确．

7．物体C置于水平地面上，A、B由轻绳通过固定在C上的光滑定滑轮相连，C的上表面水平，连接B的轻绳水平，整个系统处于静止状态，如图7所示．下列说法正确的是(　　)

图7
A．B与C之间的接触面一定是粗糙的
B．B与C之间的接触面可以是光滑的
C．C与地面之间的接触面一定是粗糙的
D．C所受摩擦力的方向一定水平向右
答案　A
解析　B受到C对它向右的静摩擦力作用，故B、C之间一定是粗糙的，A对，B错；对A、B、C及定滑轮整体，系统无运动趋势，C与地面间无摩擦力作用，故不能确定C与地面之间的接触面粗糙与否，C、D错．
8.如图8，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力F作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则A与B的质量之比为(　　)

图8
A. B.　C. D.
答案　B
解析　B刚好不下滑时，以滑块B为研究对象，μ1F＝mBg.A恰好不滑动，以A、B整体为研究对象，则F＝μ2(mAg＋mBg)，所以＝，选项B正确．
9．(2021·山东师大附中高一期中)如图9所示，倾角为30°、重力为80 N的斜面体静止在水平地面上，一根弹性轻杆的一端垂直固定在斜面体上，杆的另一端固定一个重力为2 N的小球，小球处于静止状态时，下列说法正确的是(　　)

图9
A．斜面体有向左运动的趋势
B．地面对斜面体的支持力为80 N
C．弹性轻杆对小球的作用力为2 N，方向竖直向下
D．弹性轻杆对小球的作用力为2 N，方向垂直斜面向上
答案　C
解析　斜面体、小球和杆组成的整体受到重力和地面的支持力而处于静止状态，根据二力平衡，可得地面对斜面体的支持力为82 N，斜面体没有运动趋势，选项A、B错误；小球受到重力和杆的作用力，因为小球处于静止状态，所以杆对小球的作用力竖直向上，大小为2 N，选项C正确，D错误．

10．(多选)如图10所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角．则关于m1所受支持力N和摩擦力f，下列选项正确的是(　　)

图10
A．N＝m1g＋m2g－Fsin θ
B．N＝m1g＋m2g－Fcos θ
C．f＝Fcos θ
D．f＝Fsin θ
答案　AC
解析　将m1、m2和弹簧看成一个整体，受力分析如图所示．

根据平衡条件得f＝Fcos θ
N＋Fsin θ＝(m1＋m2)g
则N＝(m1＋m2)g－Fsin θ
故选项A、C正确．

11．(多选)(2021·泰安一中期中)如图11所示，物体m通过定滑轮牵引粗糙水平面上的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面体始终静止，斜面体质量为M，重力加速度为g，则水平地面对斜面体(　　)

图11
A．支持力为(M＋m)g
B．没有摩擦力
C．支持力小于(M＋m)g
D．有水平向右的摩擦力
答案　CD
解析　设绳子上的拉力为T，选M和m组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件可以判断，M必受到沿水平面向右的摩擦力；假设斜面的倾角为θ，则：N＋Tsin θ＝(M＋m)g，所以N小于(M＋m)g，故C、D正确，A、B错误．

12．(2020·安庆市期末)一小车放在水平地面上，其上用轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直．现将水平力F作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，小车始终保持静止状态，如图12所示．则在这一过程中(　　)

图12
A．水平拉力F变小
B．细线的拉力不变
C．地面对小车的支持力变大
D．小车所受地面的摩擦力变大
答案　D
解析　对小球受力分析如图甲，可知在小球慢慢运动的过程中F逐增大，T也逐渐增大，故A、B错误；对小球与小车构成的系统受力分析如图乙，可得：N＝(M＋m)g，所以地面对小车的支持力不变，C错误；f＝F，小车所受地面的摩擦力变大，故D正确．
　
　　　　　　 甲　　　　　　　乙
13．(2021·莆田市第六中学高一期中)如图13所示，放在粗糙斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻质弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻质弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的OC段与竖直方向的夹角θ＝53°，斜面倾角α＝37°，物块A和B的质量分别为mA＝0.5 kg、mB＝0.3 kg，弹簧的劲度系数k＝200 N/m，重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：

图13
(1)弹簧的伸长量x；
(2)物块A受到的摩擦力．
答案　(1)0.02 m　(2)2 N，方向沿斜面向下
解析　(1)以结点O为研究对象，受力分析并正交分解，如图甲，

据平衡条件有：x方向：Fsin 53°－kx＝0
y方向：Fcos 53°－mBg＝0
联立解得：F＝5 N，x＝0.02 m
(2)假设物块A受到的摩擦力沿斜面向下，则对物块A受力分析如图乙所示，

轻绳各处张力大小相等，据平衡条件有：
F－mAgsin 37°－f＝0
解得：f＝2 N，方向沿斜面向下．