2021学年第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案设计

　　　　　　　　　　　　　　　初速度为零的匀变速直线运动常用的结论

[学习目标]　1.掌握初速度为零的匀变速直线运动比例式的推导及应用.2.进一步加深学生逆向思维的灵活运用．

一、初速度为零的匀加速直线运动的比例式

1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：

(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.

(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：

x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.

(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为：

x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．

2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式

(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.

(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.

(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：

t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．

质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为(　　)

A．1∶4∶9   B．1∶3∶5

C．1∶8∶27   D．1∶2∶3

答案　C

解析　初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确．

针对训练1　(多选)一物体由静止开始做匀加速直线运动，第4 s内的位移是14 m，下列说法中正确的是(　　)

A．第5 s内的位移为18 m

B．前4 s内的位移为32 m

C．物体的加速度为4 m/s2

D．物体在前2 s内的平均速度为2 m/s

答案　ABC

解析　物体做初速度为零的匀加速直线运动，x1∶x2∶x3∶x4∶x5＝1∶3∶5∶7∶9，x5＝x4＝18 m，故A正确；x1＝x4＝2 m，x1＝at12，a＝4 m/s2，故C正确；同理，x2＝6 m，x3＝10 m，前4 s内位移x＝x1＋x2＋x3＋x4＝32 m，故B正确；物体在前2 s内的平均速度＝＝ m/s＝4 m/s，故D错误．

(多选)(2021·扬州中学月考)如图1所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是(　　)

图1

A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2

B．通过各段所用的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶∶∶2

C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2

D．下滑全程的平均速度＝vB

答案　ACD

解析　物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝，A正确；通过各段所用时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)，B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确．

二、逆向思维法

匀减速直线运动可看成逆向的匀加速直线运动．特别是对于末速度为零的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速度时间关系式和位移时间关系式变为v＝at，x＝at2，计算更为简便．

(多选)水球可以挡住高速运动的子弹．中央电视台《国家地理频道》实验证实：如图2所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹可视为在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)(　　)

图2

A．子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1

B．子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1

C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1

D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝∶∶1

答案　BD

解析　把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝∶∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左通过每个水球的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故B正确，A错误．

针对训练2　(多选)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s刚好停止运动，那么在汽车运动过程中，连续3个1 s内的初速度之比和在连续的3个1 s内通过的位移之比分别为(　　)

A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1

B．v1∶v2∶v3＝∶∶1

C．x1∶x2∶x3＝3∶2∶1

D．x1∶x2∶x3＝5∶3∶1

答案　AD

1．质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移之比为(　　)

A．1∶4∶25   B．2∶8∶7

C．1∶3∶9   D．2∶2∶1

答案　C

2．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(　　)

A．第3 s内的平均速度是3 m/s

B．第1 s内的位移是0.6 m

C．前3 s内的位移是6 m

D．第2 s内的平均速度是1.8 m/s

答案　ABD

解析　第3 s内的平均速度为：3＝ m/s＝3 m/s，故A正确；由比例式关系xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5，xⅢ＝3 m．则xⅠ＝0.6 m，xⅡ＝1.8 m，前3 s内的位移x3＝xⅠ＋xⅡ＋xⅢ＝5.4 m，故B正确，C错误；第2 s内的平均速度2＝＝1.8 m/s，故D正确．

3．(多选)如图1所示，水平地面上固定有两块木板AB、BC，两块木板紧挨在一起，木板AB的长度是BC的3倍．一颗子弹以初速度v0从A端水平射入木板，并恰能从C端射出，经历的时间为t，子弹在木板中的运动可以看成匀减速直线运动，则下列说法中正确的是(　　)

图1

A．子弹到B点的速度为

B．子弹到B点的速度为

C．子弹从A到B的时间为

D．子弹从A到B的时间为

答案　BD

解析　利用逆向思维法，末速度为零的匀减速过程可以看作逆向的初速度为零的匀加速过程．对于初速度为零的匀加速过程，第一个时间T和第二个时间T内的位移之比为1∶3，据此可以证明子弹从A到B的时间等于从B到C的时间，所以子弹从A到B的时间为，子弹到B点的速度等于从A到C的平均速度，即.故选项B、D正确．

4．一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，到达顶端时速度为零，历时3 s，位移为9 m，则第1 s内小球的位移大小为________ m.

答案　5

解析　采用逆向思维法，x1∶x2∶x3＝1∶3∶5

x＝x1＋x2＋x3＝9 m

知x3＝5 m，即第1 s内小球的位移大小为5 m.

5．物体从光滑的斜面顶端由静止开始匀加速下滑，在最后1 s内通过了全部路程的一半，则下滑的总时间为______s.

答案　2＋

解析　通过连续相同的位移所用时间之比为t1∶t2＝1∶(－1)＝(＋1)∶1

t2＝1 s，则t1＝(＋1) s

t＝t1＋t2＝(2＋) s.

6．(多选)如图2所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是(　　)

图2

A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2

B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶

C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶

D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(＋1)∶1

答案　BD

解析　初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(－1)＝(＋1)∶1，C错误，D正确；通过前x、前2x的位移时的瞬时速度之比为1∶，A错误，B正确．

7．(2020·香河一中期末)小物块以一定初速度滑上光滑固定斜面，沿斜面向上依次有A、B、C三点，物块在A、B间的平均速度为B、C间平均速度的3倍，到达C点时速度为0，则xAC∶xBC为(　　)

A．3∶1   B．4∶1

C．5∶1   D．7∶1

答案　B

解析　采用逆向思维法，

设小物块在A点的速度为vA，B点的速度为vB，由题意知，

∶＝3∶1

得vA∶vB＝2∶1

由v2＝2ax得x＝

则xAC∶xBC＝4∶1，故B正确．

8．(多选)(2021·唐山一中月考)一辆汽车在平直公路上匀速行驶，行驶过程中司机看到前方有事故发生立即刹车(不计反应时间)，经5 s停车，在停车前的最后1 s内行驶的距离是2 m，若汽车刹车后做匀减速运动，以下说法正确的是(　　)

A．汽车刹车后的加速度大小为2 m/s2

B．汽车刹车后共滑行了50 m

C．汽车开始刹车时的速度大小为10 m/s

D．汽车刹车后的平均速度大小为10 m/s

答案　BD

解析　利用逆向思维法，在最后1 s内x1＝at12

得a＝＝4 m/s2，故A错误；

初速度为0的匀加速直线运动，在T内、2T内、…、nT内位移之比为x1∶x2∶…∶xn＝1∶22∶…∶n2，则x总＝52x1＝50 m，故B正确；

5 s内的平均速度＝ m/s＝10 m/s，刹车时的速度v＝2＝20 m/s，故C错误，D正确．

9．(多选)水平面上一物体从静止开始，沿直线先做匀加速直线运动，3 s后接着又做匀减速直线运动，再经9 s停止．在加速和减速的两个过程中，下列说法正确的是(　　)

A．两过程的位移大小之比为1∶1

B．两过程的平均速度大小之比为1∶1

C．在第1 s内和9～12 s内的位移大小之比为1∶3

D．第3 s末和第9 s末的速度大小之比为2∶1

答案　BC

解析　设两个过程最大速度均为v，由＝，故平均速度大小之比为1∶1，B正确；由x＝t，两个过程位移大小之比等于时间之比，即1∶3，A错误；利用逆向思维法，将匀减速过程看为初速度为0的匀加速运动，并结合比例式将两过程各分为三段相等时间，对应位移之比即是两过程时间之比，即1∶3，C正确；第9 s末的速度大小与第1 s末的速度大小相等，根据比例式可知v3∶v1＝3∶1，故D错误．