数学人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念学案

这是一份数学人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念学案，共11页。

结合三角函数的定义，分析同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？
知识点 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系
①公式：sin2α＋cs2α＝1.
②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
(2)商数关系
①公式：eq \f(sin α,cs α)＝tan_αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)).
②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
对任意的角α，sin22α＋cs22α＝1是否成立？
[提示] 成立．平方关系中强调的同一个角是任意的，与角的表达形式无关．
同角三角函数的基本关系解读
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cs2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝eq \f(sin α,cs α)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α)
B．cs α＝－eq \r(1－sin2 α)
C．sin α＝－eq \r(1－cs2 α)
D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)
B [由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B正确．]
2.已知cs α＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________.
－eq \f(3,5) eq \f(3,4) [∵cs α＝－eq \f(4,5)，α为第三象限角，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(16,25))＝－eq \f(3,5).
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(3,5),－\f(4,5))＝eq \f(3,4).]
类型1 直接应用同角三角函数关系求值
【例1】 (对接教材P183例题)(1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，则cs α＝________.
(2)已知cs α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值．
(1)－eq \f(\r(5),5) [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝2，①,sin2α＋cs2α＝1，②))
由①得sin α＝2cs α代入②得4cs2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(1,5)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以cs α＜0，
所以cs α＝－eq \f(\r(5),5).]
(2)[解] ∵cs α＝－eq \f(8,17)＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))2)＝eq \f(15,17)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq \f(15,8).
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8).
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cs θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cs θ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．
[解] ∵sin α＋3cs α＝0，
∴sin α＝－3cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，
∴(－3cs α)2＋cs2α＝1，
即10cs2α＝1，
∴cs α＝±eq \f(\r(10),10).
又由sin α＝－3cs α，
可知sin α与cs α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3,10)eq \r(10)；
当角α的终边在第四象限时，cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3,10)eq \r(10).
类型2 应用同角三角函数关系式
化简证明
【例2】 (对接教材P183例题)(1)化简eq \f(2sin2α－1,1－2cs2α)＝________.
(2)求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α).
[解] (1)1 [原式＝eq \f(2sin2α－1,1－21－sin2α)＝eq \f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1.]
(2)[证明] 法一：(切化弦)
左边＝eq \f(sin2α,sin α－sin αcs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)，
右边＝eq \f(sin α＋sin αcs α,sin2α)＝eq \f(1＋cs α,sin α).
因为sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)，
所以eq \f(sin α,1－cs α)＝eq \f(1＋cs α,sin α)，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝eq \f(tan2α－sin2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α1－cs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2αsin2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)
＝左边，
所以原等式成立．
1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证eq \f(左边,右边)＝1.
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．(1)化简tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角．
(2)求证：eq \f(1＋2sin xcs x,cs2x－sin2x)＝eq \f(1＋tan x,1－tan x).
(1)[解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0.
故tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \f(－cs α,sin α)＝－1.
(2)[证明] 左边＝eq \f(sin2x＋cs2x＋2sin xcs x,cs2x－sin2x)
＝eq \f(sin x＋cs x2,cs x＋sin xcs x－sin x)
＝eq \f(sin x＋cs x,cs x－sin x)
＝eq \f(1＋tan x,1－tan x)＝右边．
所以原等式成立．
类型3 灵活应用同角三角函数关系式求值
【例3】 (1)已知sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，计算下列各式的值．
①eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)；
②sin2α－2sin αcs α＋1.
(1)sin α±cs α，sin αcs α之间存在怎样的内在联系？
(2)你能从“tan α＝eq \f(sin α,cs α)”中体会到怎样的变换技巧？
(1)－eq \f(12,5) [法一：(构建方程组)
因为sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，①
所以sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(49,169)，
即2sin αcs α＝－eq \f(120,169).
因为α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin α＞0，cs α＜0.
所以sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \f(17,13).②
由①②解得sin α＝eq \f(12,13)，cs α＝－eq \f(5,13)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(12,5).
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcs α＝－eq \f(60,169)，eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝－eq \f(60,169)，eq \f(tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(60,169)，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，
解得tan α＝－eq \f(5,12)或tan α＝－eq \f(12,5).
由sin α＋cs α＝eq \f(7,13)＞0知|sin α|＞|cs α|，
故tan α＝－eq \f(12,5).]
(2)[解] 由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，化简，
得sin α＝3cs α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝eq \f(3×3cs α－cs α,2×3cs α＋3cs α)＝eq \f(8cs α,9cs α)＝eq \f(8,9).
法二(弦化切)原式＝eq \f(3tan α－1,2tan α＋3)＝eq \f(3×3－1,2×3＋3)＝eq \f(8,9).
②原式＝eq \f(sin2α－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋1
＝eq \f(tan2α－2tan α,tan2α＋1)＋1＝eq \f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq \f(13,10).
将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？
[解] 由例(1)求出2sin αcs α＝－eq \f(120,169)，
因为α∈(－π，0)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
所以sin α＜0，cs α＞0，
所以sin α－cs α＝－eq \r(sin α－cs α2)
＝－eq \r(1－2sin αcs α)＝－eq \f(17,13).
与sin α＋cs α＝eq \f(7,13)联立解得
sin α＝－eq \f(5,13)，cs α＝eq \f(12,13)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12).
1．sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cs α)2＝1±2sin_αcs_α.
2．已知tan α，求关于sin α和cs α齐次式的值的基本方法
已知角α的正切值，求由sin α和cs α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值．
(1)形如eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)的分式，可将分子、分母同时除以cs_α；形如eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的分式，可将分子、分母同时除以cs2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cs2α，转化为形如eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,sin2α＋cs2α)的分式求解．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．若sin αcs α＝－eq \f(1,8)，α∈(0，π)，则cs α－sin α＝________.
－eq \f(\r(5),2) [因为sin αcs α＝－eq \f(1,8)＜0，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α－sin α＜0，
cs α－sin α＝－eq \r(1－2sin αcs α)
＝－eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))))＝－eq \f(\r(5),2).]
1．已知sin α＝eq \f(2,3)，tan α＝eq \f(2\r(5),5)，则cs α＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(5),3)
C．eq \f(\r(7),3) D．eq \f(\r(5),5)
B [因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以cs α＝eq \f(sin α,tan α)＝eq \f(\f(2,3),\f(2\r(5),5))＝eq \f(\r(5),3).]
2．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)的值是( )
A．eq \f(4,3)B．3
C．－eq \f(4,3) D．－3
A [因为tan α＝－eq \f(1,2)，
所以eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α－1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2－1)＝eq \f(4,3).]
3．化简eq \r(1－sin2\f(3π,5))的结果是( )
A．cseq \f(3π,5) B．sineq \f(3π,5)
C．－cseq \f(3π,5)D．－sineq \f(3π,5)
C [因为eq \f(3π,5)是第二象限角，
所以cseq \f(3π,5)＜0，
所以eq \r(1－sin2\f(3π,5))＝eq \r(cs2\f(3π,5))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,5)))＝－cseq \f(3π,5).]
4．已知α是第二象限角，tan α＝－eq \f(1,2)，则cs α＝________.
－eq \f(2\r(5),5) [因为eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)，且sin2α＋cs2α＝1，
又因为α是第二象限角，所以cs α＜0，
所以cs α＝－eq \f(2\r(5),5).]
5．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)的结果是________．
sin α [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)＝eq \f(1－cs2α,sin α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．sin α、cs α、tan α间存在怎样的等量关系？
[提示] sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcs α，….
2．如何实现“sin α＋cs α”“sin α－cs α”及sin α·cs α之间的互化？
[提示] 借助(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α实现三者之间的转化．
3．常用哪些方法证明三角恒等式？
[提示] (1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明eq \f(M,N)＝eq \f(P,Q)，则可证MQ＝NP，或证eq \f(Q,N)＝eq \f(P,M)等．
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数．
事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝eq \r(x2＋y2)，则r>0，此时
(1)称eq \f(r,x)为α的正割，记作sec α，即
sec α＝eq \f(r,x)；
(2)称eq \f(r,y)为α的余割，记作csc α，即
csc α＝eq \f(r,y)；
(3)称eq \f(x,y)为α的余切，记作ct α，即
ct α＝eq \f(x,y).
由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，ct α，csc α没有意义．
同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨．
正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即
sec α＝eq \f(1,cs α)，
csc α＝eq \f(1,sin α)，
ct α＝eq \f(1,tan α).
另外，由于
tan2α＋1＝eq \f(sin2α,cs2α)＋1
＝eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)
＝eq \f(1,cs2α)＝sec2α，
因此
tan2α＋1＝sec2α.
类似地，还能得到
ct2α＋1＝csc2α.
习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为1，即
cs αsec α＝1，
sin αcsc α＝1，
tan αct α＝1.
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2 α＋cs2α＝1等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．
2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.