高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用本章综合与测试同步达标检测题

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易混易错练

易错点1　忽视零点的概念和性质致错

1.()函数f(x)=2x+在定义域内的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

2.()函数f(x)=的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

易错点2　函数图象画不准确而致错

3.()已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　易错　)

A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1)

4.()函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=　　　　. 

5.()函数f(x)=x2-2x的零点个数为　　　　. 

6.(2018江苏沛县中学期中,)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,求实数m的取值范围.

易错点3　求参数的取值范围时考虑问题不全面而致错

7.()若关于x的方程x2+(a+1)x+2a=0的两个互异实数根均在(-1,1)内,则实数a的取值范围为(　　)

A.(0,3-2]

B.(0,3+2)

C.(0,3-2]∪[3+2,+∞)

D.(0,1)

8.()已知函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈,m为常数.

(1)设函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;

(2)设函数f(x)有两个互异的零点α,β,求实数m的取值范围,并求αβ的值.

易错点4　求函数最值时忽略实际情况对函数定义域的

限制而致错

9.()某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入R与销售量t的关系可用抛物线表示,如图.

(注:销售量的单位:百台,销售收入与纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元)

(1)写出销售收入R与销售量t之间的函数关系式;

(2)若销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与销售量的函数关系式,并求销售量是多少时,纯收益最大.

思想方法练

一、函数与方程思想在函数问题中的应用

1.()如图所示,开始时桶1中有a升水,t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1=ae-nt,桶2中的水量就是y2=(a-ae-nt)升,桶1与桶2的大小和形状相同,假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等,则桶1中的水量为 升时,需再经过　　　　分钟. 

2.()已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,求实数k的取值范围.

二、数形结合思想在解决函数零点问题中的应用

3.()函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是　　(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.0 B.1 C.2 D.3

4.()若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log4|x|的零点个数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

5.()若定义在R上的奇函数f(x),满足当x≥0时, f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为(　　)

A.2a-1 B.2-a-1

C.1-2-a D.1-2a

三、转化与化归思想在函数零点中的应用

6.()若x0是方程ax=logax(0<a<1)的解,则x0,1,a这三个数的大小关系是　　　　　. 

7.()已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是　　　　　. 

四、分类讨论思想在函数模型中的应用

8.(2020北京丰台高一上期中联考,)由历年市场行情知,从11月1日起的30天内,某商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P=日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(t≤30,t∈N*).

(1)设该商品的日销售额为y元,请写出y与t的函数关系式(商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量);

(2)求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大.

答案全解全析

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易混易错练

1.A　函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0,所以函数f(x)没有零点,故选A.

2.C　当x≤0时,令x2+2x-3=0,得x=-3(x=1舍去);

当x>0时,令-2+ln x=0,得x=e2.

所以函数f(x)=有2个零点.

3.D　作出函数f(x)的图象,如图所示,

因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,

所以a的取值范围为0<a<1,故选D.

易错警示　利用图象法解决此类问题,画函数图象时一定要准确.本题中易漏掉x<0时的图象.

4.答案　-2或1

解析　函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点即为方程lg(x+2)=的根,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)和y=的图象,如图所示,

由图可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k=-2或1.

5.答案　3

解析　求函数f(x)=x2-2x的零点个数,可转化为求y=x2和y=2x图象的交点个数,画出两个函数的图象,如图所示,

由图可知,两个函数的图象有3个交点,所以函数f(x)=x2-2x的零点个数是3.

6.解析　画出函数y=f(x)与y=m的图象,函数y=f(x)与y=m的图象的交点个数就是函数g(x)=f(x)-m的零点个数.因为函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,所以函数y=f(x)与y=m的图象有四个交点,由图可知,要使函数y=f(x)与y=m的图象有四个交点,实数m的取值范围是(0,1).

7.B　令y=x2+(a+1)x+2a,由题意可知,函数的两个不同的零点均在(-1,1)内,作出函数的大致图象,如图所示,

则

解得0<a<3-2,故选B.

8.解析　(1)令t=log2x,x∈,

令g(t)=t2+4t+m(t∈[-3,2]).

因为函数f(x)存在大于1的零点,

所以方程t2+4t+m=0在(0,2]上存在实根,由t2+4t+m=0,得m=-t2-4t,t∈(0,2],所以m∈[-12,0).

故实数m的取值范围为[-12,0).

(2)若函数f(x)有两个互异的零点α,β,

则函数g(t)=t2+4t+m在[-3,2]上有两个互异的零点t1,t2,

其中t1=log2α,t2=log2β,

所以解得3≤m<4,

所以实数m的取值范围为[3,4).

又t1+t2=-4,即log2α+log2β=-4,

所以log2(αβ)=-4,所以αβ=2-4=.

9.解析　(1)由题图可知R=a(t-5)2+,由t=0时,R=0,可得a=-,

所以R=-(0≤t≤5).

(2)设纯收益为y万元,

则y=-(0≤t≤5),当t==4.75时,y取得最大值,最大值约为10.78,故销售量是475台时,纯收益最大,最大值约为10.78万元.

思想方法练

1.答案　10

解析　由题意得ae-5n=a-ae-5n,解得e-n=.设再经过t0分钟,桶1中的水量为升,则a,即=3,解得t0=10.

2.解析　令f(x)=2kx2-2x-3k-2,要使方程f(x)=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,则函数f(x)的大致图象只能如图所示.

所以或

即或

解得k>0或k<-4.

故实数k的取值范围是k<-4或k>0.

3.B　令f(x)=0,即2x+x3-2=0,则2x-2=-x3.在同一平面直角坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象,如图所示.由图可知两个函数图象在区间(0,1)内只有一个交点,∴函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内只有一个零点.故选B.

4.D　由题意可知偶函数f(x)的周期为2.当x∈[0,1]时, f(x)=x,则作出函数f(x)的部分图象,如图.

函数y=f(x)-log4|x|的零点即为函数y=f(x)与y=log4|x|的图象的交点的横坐标,由图可知,交点有6个,故函数y=f(x)-log4|x|的零点有6个.

5.D　根据分段函数的解析式和奇函数图象的对称性作出函数f(x)在R上的图象和y=a(0<a<1)的图象,如图,

由图可知函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)共有5个零点,其中最左边两个零点之和为-6,最右边两个零点之和为6,中间一个零点x是方程log2(1-x)=a的根,解得x=1-2a,故所有零点之和为-6+1-2a+6=1-2a.

6.答案　a<x0<1

解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y1=ax和y2=logax(0<a<1)的图象,由图可以看出x0<1,logax0<1,

∴x0>a,

∴a<x0<1.

7.答案　x1<x2<x3

解析　令x+2x=0,得2x=-x.

令x+ln x=0,得ln x=-x.

在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=ln x,y=-x的图象,如图所示,由图可知x1<0<x2<1.

令h(x)=x--1=0,

则(-1=0,

解得(负值舍去),

所以x3=>1.

综上,x1<x2<x3.

8.解析　(1)由题意知y=P·Q=

即y=

(2)由(1)知

y=

当t<25,t∈N*时,ymax=900,此时t=10;

当25≤t≤30,t∈N*时,ymax=675,此时t=25.

故所求日销售额的最大值为900元,11月10日销售额最大.