新教材数学苏教版必修第一册第8章 8.2 8.2.2　函数的实际应用 课件

8.2.2　函数的实际应用

知识点　函数的实际应用

1．常见的函数模型

(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；

(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；

(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；

(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；

(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；

(7)分段函数模型；

(8)对勾函数模型：f(x)＝x＋(a为正常数)．

“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质

①该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．

②当x>0时，x＝时取最小值2；

当x<0时，x＝－时取最大值－2．

2．解决实际问题的一般流程

―→―→―→

其中建立数学模型是关键．

3．用函数模型解决实际问题的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质． (　　)

(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性． (　　)

(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．

现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的    (　　)

A．y＝log2x　　　　　 B．y＝2x

C．y＝x2     D．y＝2x

B　[逐个检验可得答案为B．]

类型1　利用已知函数模型解实际问题

【例1】　通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公式：

f(x)＝

(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？

(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？

[解]　(1)当0<x≤10时，

f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43

＝－0.1(x－13)2＋59.9．

故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为

f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；

当16<x≤30时，f(x)单调递减，

f(x)<－3×16＋107＝59．

因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min．

(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，

f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．

因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．

(3)当0<x≤10时，令f(x)＝55，

则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49．

所以x＝20或x＝6，但0<x≤10，

故x＝6．

当16<x≤30时，令f(x)＝55，

则－3x＋107＝55．

所以x＝17．

因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11<13(min)，

所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．

已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.

1．科学家发现某种特别物质的温度y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21－x(0≤x≤4，m＞0)．

(1)若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5 ℃；

(2)如果该物质温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．

[解]　(1)由题意知，当m＝2时，2·2x＋21－x＝5，

解得x＝1或x＝－1，又x≥0，所以x＝1．

故经过1 min，该物质的温度为5 ℃．

(2)由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立，

则由2x＞0，得m≥－，

令t＝2－x，则≤t≤1，

则－＝f(t)＝－2t2＋2t＝－2喔喔2＋，

当t＝时取得最大值为，所以m≥．故m的取值范围为．

类型2　自建确定性函数模型解决实际问题

【例2】　牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．

(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值．

[解]　(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0<x<m，x∈N*)．

(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)

＝－2＋，即当x＝时，y取得最大值．

[母题探究]

1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x的函数解析式？

[解]　根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝(0<x<m)．

2．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．

[解]　由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m．

因为当x＝时，ymax＝，所以0<＋<m，解得－2<k<2．又因为k>0，所以0<k<2．

自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.

求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.,设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.,列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.,限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.

2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了．

(1)求函数关系式p(t)；

(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少需要过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)

[解]　(1)根据题意，得p0＝p0e－k，

∴e－k＝，∴p(t)＝p0．

(2)由p(t)＝p0≤p0，得≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30．

因此至少需要过滤30个小时．

类型3　拟合数据构建函数模型解决实际问题

【例3】　某企业常年生产一种出口产品，自2017年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2017年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：

(1)画出2017～2020年该企业年产量的散点图；

(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；

(3)2022年(即x＝6)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2022年的年产量为多少？

[解]　(1)画出散点图，如图所示．

(2)由散点图知，可选用一次函数模型．

设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得

∴f(x)＝1.5x＋2.5．

检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，

f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．

∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．

(3)根据所建的函数模型，预计2022年的年产量为f(6)＝1.5×6＋2.5＝11.5(万件)，又年产量减少30%，即11.5×70%＝8.05(万件)，即2022年的年产量为8.05万件．

函数拟合与预测的一般步骤

1根据原始数据、表格，绘出散点图.

2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.

3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.

4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.)

3．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：

(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？

[解]　(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．

根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．

取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：

用计算器算得a≈2，b≈1.02．

这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x．

将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．

(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98．由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以这个男生偏胖．

1．已知：

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)

A．y＝a＋　　　　 B．y＝a＋bx

C．y＝a＋logb x     D．y＝a·bx

D　[由表知x可以取“0”，排除A，C．

对于B：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，

当x＝1时，y＝a＋b＝2.02，b可以取1，

当x＝2时，y＝1＋2＝3；

当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有D正确．]

2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)

A　　　B　　　C　　　D

[答案]　B

3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝0.957 6

B．y＝(0.957 6)100x

C．y＝

D．y＝1－0.042 4

A　[由题意可知y＝(95.76%)，

即y＝0.957 6．]

4．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________．

1.0211　[设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx，

∴k＝1.0211．]

5．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．

860　[依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，

由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，

可得k＝－10，b＝9 000，

即y＝－10x＋9 000，

将y＝400代入得x＝860(元)．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．什么是数据拟合？

[提示]　数据拟合是研究变量之间的关系，并给出一种近似数学表达式的一种方法．

2．用数据拟合法如何建立函数模型？

[提示]　一般是先作出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．

3．函数模型的应用举例主要包括哪些方面？

[提示]　(1)利用给定的函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．