高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试课后练习题

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知a,b,c,d∈R,则下列不等式恒成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.若a>b,c>d,则ac>bd

B.若a>b,则ac2>bc2

C.若a>b>0,则(a-b)c>0

D.若a>b,则a-c>b-c

2.关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是⌀,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)

C.(0,3) D.(-∞,0)∪(3,+∞)

3.设0<a<b,则下列不等式正确的是(　　)

A.a<b< B.a<<b

C.a< D.<b

4.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

5.已知x>0,y>0,且,则x+y的最小值为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

6.不等式组的解集为(　　)

A.{x|-1<x<1} B.{x|0<x<3}

C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<3}

7.若正数a,b满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y的最大值是(　　)

A.12 B.-12 C.16 D.-16

8.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,的最大值是(　　)

A.0 B.1 C. D.3

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)

A.a>0 B.b>0

C.c>0 D.a+b+c>0

10.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列不等式错误的有(　　)

A.ac2<bc2 B.

C. D.ab>b2

11.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<.其中能成为x>y的充分条件的是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

12.若关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数,则m的取值可以是(　　)

A.-1-2 B.-1+2

C.1.9 D.1.99

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.已知a>b,a-同时成立,则ab应满足的条件是　　　　　　　. 

14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a=　　　　,c=　　　　.(本小题第一个空2分,第二个空3分) 

15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是　　　　. 

16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知命题p:A={x|x2-4x+3≤0},q:B={x|(x-a)(x-a2-1)≤0}.

(1)若a=-1,求集合B;

(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

18.(本小题满分12分)(1)已知x>2,求3x+的最小值;

(2)已知a>0,b>0,且=2,求a+b的最小值.

19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0.命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.

(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;

(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;

(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.

20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB的长为3米,AD的长为2米.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?

(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.

21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.

(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;

(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R).

22.(本小题满分12分)某厂家拟在2020年对某产品举行促销活动,经调查,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?

答案全解全析

本章达标检测

一、单项选择题

1.D　当c<0,b>0时,A不一定成立;当c=0时,B不成立;当c≤0时,C不成立;由不等式的性质知D成立.故选D.

2.A　原不等式变形得x2-2x-a2+2a+4≤0,∵原不等式的解集为⌀,

∴Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.

3.B　因为0<a<b,所以,

因为a2-()2=a(a-b)<0,

所以a<.

由b2-()2=b(b-a)>0得<b.

又b->0,所以<b.

综上可得a<<b.

4.B　由一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立,知a>0且Δ=b2-4ac<0.

反之,当a>0时,ax2+bx+c>0不一定恒成立.故选B.

5.A　∵x>0,∴x+1>0,

由,得y=,

∴x+y=x++1≥2+1=5,

当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,

∴x+y的最小值为5.

6.C　由得所以0<x<1,即原不等式组的解集为{x|0<x<1}.

7.A　∵ab=2(a+b)+5,∴a+b=,

∵a>0,b>0,

∴a+b=≥2,当且仅当a=b=5时,等号成立,解得ab≥25,

∵y=(a+b-4)(12-a-b)

=

=-(ab-21)2+16,

∴ymax=12.故选A.

8.B　由题意得≤=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.

二、多项选择题

9.BCD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,所以相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有>0,又a<0,所以b>0,c>0,故B,C正确;因为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.

10.ABC　当c2=0时,ac2<bc2不成立,故A中不等式错误;

因为a<b<0,所以>1,

所以,故B,C中不等式错误;

因为a<b<0,所以|a|>|b|,所以ab=|a||b|>|b|2=b2,即ab>b2,故D中不等式正确.

故选ABC.

11.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,

因此xt2>yt2是x>y的充分条件.

②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xt>yt不是x>y的充分条件.

③令x=-2,y=1,满足x2>y2,但x<y,因此x2>y2不是x>y的充分条件.

④由0<可得,x>0,y>0,<0,即<0,所以y-x<0,所以x>y.因此0<是x>y的充分条件.故选AD.

12.BCD　若方程的两根为正数,则∴

解得-1+2≤m<2.故选BCD.

三、填空题

13.答案　ab<-1或ab>0

解析　因为a-,所以>0.

又a>b,即a-b>0,所以>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.

14.答案　-6;-1

解析　由题意知a<0,且不等式对应方程的两个根分别为,根据根与系数的关系得解得

15.答案　{m|1≤m<19}

解析　①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.

若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0;

若m=1,则y=3>0恒成立.

②当m2+4m-5≠0时,根据题意得,

∴解得1<m<19.

综上可知,1≤m<19.

16.答案　2

解析　已知不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,

当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合题意;

当a≠0时,依题意知⇒

又存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,

∴4-4ab≥0⇒ab≤1,

因此ab=1,又a>0,∴b>0.

又∵a-b>0,∴≥2,当且仅当a-b=,即a=时,等号成立.

四、解答题

17.解析　(1)当a=-1时,B={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2}.(3分)

(2)A={x|(x-1)(x-3)≤0}={x|1≤x≤3}.(4分)

∵a2+1-a=>0,∴a2+1>a,

∴B={x|a≤x≤a2+1}.(5分)

∵p是q的充分不必要条件,

∴A是B的真子集,(6分)

∴或(8分)

解得a≤-.(10分)

18.解析　(1)∵x>2,∴x-2>0,∴3x++6≥2+6,(4分)

当且仅当x=+2时,等号成立,(5分)

所以3x+的最小值为2+6.(6分)

(2)因为=2,所以=1,(7分)

所以a+b=(a+b)+1≥,(10分)

当且仅当a=时,等号成立,

所以a+b的最小值为.(12分)

19.解析　(1)若命题p为真命题,则x2>3-2m恒成立,因此3-2m<0,解得m>.

因此,实数m的取值范围是.(4分)

(2)若命题q为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m2-m-2>0,解得m<-1或m>2.因此,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>2}.(8分)

(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m∈∪{m|m<-1或m>2}=.(12分)

20.解析　(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.

∵,∴AM=,∴=AN·AM=.由S矩形AMPN>32,得>32,(3分)

又x>0,∴3x2-20x+12>0,

解得0<x<或x>6,(5分)

即DN的长的取值范围是0,∪(6,+∞)米.(6分)

(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y=+12≥2+12=24,(8分)

当且仅当3x=,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y取得最小值24.(10分)

故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米.(12分)

21.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立.

当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;(3分)

当a≠0时,由题意得

解得a≥.(5分)

所以实数a的取值范围是.(6分)

(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0.

当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1};(7分)

当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,所以不等式的解集为;(8分)

当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,

①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};(9分)

②当-1<a<0时,->1,不等式的解集为;(10分)

③当a<-1时,-<1,不等式的解集为.(11分)

综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为.(12分)

22.解析　(1)由题意知,当m=0时,x=1,

∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-,(2分)

每件产品的销售价格为1.5×(万元),

∴y=1.5x·-8-16x-m

=-+29(m≥0).(6分)

(2)∵m≥0,∴+(m+1)≥2=8,

当且仅当=m+1,即m=3时,等号成立,(8分)

∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.(10分)

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.(12分)