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人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数课堂检测
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数课堂检测，共30页。试卷主要包含了函数f=lga+1的图象恒过点，函数f=lg的大致图象是，函数f=lg0，下列各式中错误的是，8>30，已知函数f=lg3,若f在等内容，欢迎下载使用。
4.4.2 对数函数的图象和性质
基础过关练
题组一 对数函数的图象
1.(2020山西康杰中学高一上期中)为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x8的图象( )
A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位
2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
3.(2020四川蓉城名校联盟高一上期中联考)函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点( )
A.(1,1) B.(1,2)
C.(2,1) D.(2,2)
4.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )
题组二 对数函数的性质及其应用
5.函数y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上的单调性为( )
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
6.(2019天津和平高一上期中)函数f(x)=log0.6(2-x)的定义域为( )
A.[1,2) B.(1,2]
C.(1,2) D.(-∞,2)
7.(2019北京丰台高一上期中联考)下列各式中错误的是( )
A.30.8>30.7 B.log0.50.4>log0.50.6
C.log20.3<0.30.2 D.0.75-0.3<0.75-0.1
8.(2020福建厦外高一上期中)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为( )
A.(0,+∞) B.0,12
C.(1,2) D.(-∞,0)
9.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间是 .
10.(2020湖南醴陵一中高一上期中)若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是 .
11.函数f(x)=loga(x+x2+2a2)是奇函数,则a= .
12.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0
13.设函数f(x)=loga1-ax,其中0
(2)若f(x)>1,求x的取值范围.
14.已知函数f(x)=logamx+1x-1(a>0,a≠1)在定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)上是奇函数.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题
15.函数f(x)=log0.2(2x+1)的值域为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
16.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是( )
A.0
17.已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式log13(x-1)>log13(a-x);
(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.
18.已知函数f(x)=log2x.
(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;
(2)求y=log2(2x-1)在[2,14]上的最值.
题组四 对数函数与指数函数互为反函数
19.(2020北京西城高一上阶段测试)函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是( )
A.ab=1 B.a+b=1
C.a=b D.a-b=1
20.已知y=14x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-12,则x0=( )
A.-2 B.-1 C.2 D.12
21.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
22.设0
能力提升练
题组一 对数函数的图象
1.()函数y=ax与y=log1ax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是( )
2.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期中,)为了得到函数y=log4x-34的图象,只需把函数y=12log2x图象上所有的点( )
A.向左平移3个单位,再向上平移1个单位
B.向右平移3个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移3个单位,再向下平移1个单位
D.向左平移3个单位,再向下平移1个单位
3.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x||x|的图象是( )
4.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 .
题组二 对数函数单调性的应用
5.(2020山东日照高一上期末校际联考,) 已知a=1213,b=log213,c=log1213,则(深度解析)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
6.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0,a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是( )
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.[-1,1) D.(-3,-1]
7.(2020陕西西安中学高一上月考,)若函数y=log12(x2-ax+a)在(-∞,2)上是增函数,则实数a的取值范围是 .
8.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)已知函数f(x)=1x+lg4-xx.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在定义域内的单调性,并用定义法证明;
(3)解关于x的不等式f12x(3-x)-1-lg 3>0.
9.(2020安徽淮北第一中学高一月考,)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域;
(2)当a>1时,求关于x的不等式f(x)
题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题
10.()若函数f(x)=log2kx2+(2k-1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为 .
11.(2020河南周口高一上期末调研,)若函数f(x)=(2-a)x+2a,x<1,1+lnx,x≥1的值域为R,则实数a的取值范围是 .
12.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)已知函数f(x)=13x,函数g(x)=log3x.
(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在实数m,n,使得函数y=2x+log3f(x2)的定义域为[m,n],值域为[4m,4n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
题组四 对数函数的综合运用
13.(2019湖南岳阳一中高一上期中,)若指数函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过点(5,3),则f(6)=( )
A.5 B.10 C.25 D.125
14.(2019天津耀华中学高一上期中,)已知函数f(x)=ln(x+x2+1)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
15.(2020四川成都外国语学校高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数m满足f(log2m)+f(log12m)≤2f(1),则m的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.-∞,12
C.12,2 D.(0,2]
16.(多选)(2020山东泰安高一上期末,) 若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
(i)对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
(ii)f(1)=1;
(iii)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
就称f(x)为“A函数”,下列定义在[0,1]上的函数中,是“A函数”的有( 易错 )
A.f(x)=log12(x+1) B.f(x)=log2(x+1)
C.f(x)=x D.f(x)=2x-1
17.(2020山西长治二中高一上期中,)已知a∈R,函数f(x)=log21x+a.
(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好只有一个元素,求a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.A g(x)=log2x8=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x) =log2x8的图象向上平移3个单位,即可得到函数f(x)=log2x的图象,故选A.
2.C f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位得到的,过定点(1,1),g(x)=2-x+1=12x-1的图象是由y=12x的图象向右平移一个单位得到的,过定点(0,2),故只有C选项中的图象符合.
3.C 令x-1=1,即x=2,
得f(2)=loga1+1=1,因此f(x)的图象恒过点(2,1).
故选C.
4.B 解法一:由题可知,当x>0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x<0时, f(x)=lg(-x-1)=lg[-(x+1)],其图象可由函数y=lg x的图象先关于y轴做翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B正确.故选B.
解法二:由f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x)得, f(x)是偶函数,由此C,D错误.
又当x>0时, f(x)=lg(x-1)是(1,+∞)上的增函数,故选B.
5.C 当x>2时,函数y=log2|x-2|=log2(x-2).
又函数y=log2u是增函数,u=x-2在区间(2,+∞)上也是增函数,故y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上是一个增函数,故选C.
6.A 要使函数f(x)有意义,必有log0.6(2-x)≥0,∴0<2-x≤1,∴1≤x<2.故选A.
7.D 由函数y=3x单调递增得30.8>30.7,A正确;由函数y=log0.5x单调递减得log0.50.4>log0.50.6,B正确;由函数y=log2x单调递增得log20.30,所以log20.3<0.30.2,C正确;由函数y=0.75x单调递减得0.75-0.3>0.75-0.1,D错误.故选D.
8.B 设y=log3u,u=1-ax.
由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,∴-a<0,即a>0.
由1-ax>0得ax<1,又a>0,∴x<1a,
即f(x)的定义域为-∞,1a,
∴(-∞,2]⊆-∞,1a⇒2<1a,
结合a>0,得a<12,
因此a的取值范围是0,12,故选B.
9.答案 (-∞,-1)
解析 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3.
因此函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)=D.
设u=x2-2x-3,则y=log12u,y=log12u是减函数,
又u=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1]∩D=(-∞,-1).
10.答案 (1,2)
解析 ∵y=log0.5x是减函数,
∴log0.5(m-1)>log0.5(3-m)⇔m-1>0,3-m>0,m-1<3-m,即m>1,m<3,m<2.
∴1
解析 ∵函数f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,即loga2a2=0,
∴2a2=1,又a>0,∴a=22.
经验证, f(x)为奇函数.
12.解析 不等式0f(x2),
∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.
(2)∵loga1-ax>1,∴0<1-ax0,从而a
14.解析 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0在其定义域内恒成立,
即loga-mx+1-x-1+logamx+1x-1=loga1-m2x21-x2=0在其定义域内恒成立,
∴1-m2x2=1-x2对任意x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立.
∴m2=1,m=±1.
当m=-1时, f(x)=loga-x+1x-1无意义,舍去,∴m=1.
(2)当a>1时, f(x)在(1,+∞)上单调递减;
当0
设u=x+1x-1=1+2x-1,任取1
由x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,得u1-u2>0,即u1>u2.
因此当a>1时,logau1>logau2,即f(x1)>f(x2), f(x)在(1,+∞)上单调递减;
同理可得,当0
17.解析 (1)∵loga3>loga2,∴a>1,
∴y=logax在[a,2a]上为增函数,
∴loga(2a)-logaa=loga2=1,
∴a=2.
(2)依题意可知x-1<2-x,x-1>0,解得1
(3)g(x)=|log2x-1|,
∴当x=2时,g(x)=0,
则g(x)=1-log2x,02.
∴函数g(x)在(0,2]上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,
∴g(x)的单调递减区间为(0,2],单调递增区间为(2,+∞).
18.解析 函数f(x)=log2x的图象如图所示.
(1)∵f(x)=log2x为增函数,f(a)>f(2),
∴log2a>log22.
∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).
(2)∵2≤x≤14,
∴3≤2x-1≤27.
∴log23≤log2(2x-1)≤log227.
∴函数f(x)=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.
19.A 由函数y=1ax与y=logbx互为反函数得1a=b,化简得ab=1,故选A.
20.C ∵y=14x的反函数是f(x)=log14x,
∴f(x0)=log14x0=-12.
∴x0=14-12=122-12=2.
21.B f(x)=loga(x+b)的反函数的图象过点(2,8),因此函数f(x)的图象过点(8,2).
又f(x)过点(2,1),则2=loga(8+b),1=loga(2+b),所以a2-b=8,a-b=2,解得b=1,a=3或b=-4,a=-2.
又a>0,所以b=1,a=3,
所以a+b=4.
22.B 因为0
1.C 选项D中没有对数函数的图象,错误;由y=ax与y=log1ax的单调性相反,知选项A,B错误,选项C正确.故选C.
2.C y=log4x-34=12log2(x-3)-1.
因此将函数y=12log2x的图象向右平移3个单位,可以得到函数y=12log2(x-3)的图象;再将所得图象向下平移1个单位,可以得到函数y=log4x-34的图象,故选C.
3.B 当x>0时,y=xln|x||x|=ln x,排除C,D;
当x<0时,y=xln|x||x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.
4.答案 (3,+∞)
解析 由f(x)的图象可知,0
又f(a)=f(b),因此|lg a|=|lg b|,于是lg a=-lg b,则b=1a,所以a+2b=a+2a,
设g(a)=a+2a(0
5.C 由a=1213,知0log22=1.
所以c>1>a>0>b,即c>a>b,故选C.
解题模板 不同类型的数比较大小,常用0,1等特殊值界定,以达到比较大小的目的.
6.D 由f(0)<0得loga3<0,因此0
解得-3
设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,而0
7.答案 [22,22+2]
解析 令u=x2-ax+a,则y=log12u显然为减函数,则要使函数在区间(-∞,2)上是增函数,则u=x2-ax+a在区间(-∞,2)上应是减函数,且恒大于0.
则a2≥2,(2)2-2a+a≥0,解得22≤a≤22+2,故所求a的取值范围是[22,22+2].
8.解析 (1)要使函数f(x)有意义,必有4-xx>0,得0
证明:任取0
∵00,
4x2-x1x2>4x1-x1x2>0,∴4x2-x1x24x1-x1x2>1,
∴lg4x2-x1x24x1-x1x2>0,∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,4)上单调递减.
(3)∵f(1)=1+lg 3,
∴原不等式等价于f12x(3-x)>f(1).
由(2)知, f(x)在(0,4)上单调递减,
∴0<12x(3-x)<1.
由12x(3-x)>0得x(x-3)<0⇒0
∴原不等式的解集为(0,1)∪(2,3).
9.解析 (1)当a=12时, f(x)=log1212x-1,故12x-1>0,解得x<0,
故函数f(x)的定义域为(-∞,0).
(2)由题意知, f(x)=loga(ax-1)(a>1),其定义域为(0,+∞),易知f(x)为(0,+∞)上的增函数,
由f(x)0,x<1,∴不等式的解集为(0,1).
(3)设g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x∈[1,3],
设t=2x-12x+1=1-22x+1,x∈[1,3],
故2x+1∈[3,9],则t=1-22x+1∈13,79,故g(x)min=g13=log213.
又∵f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,
∴m
10.答案 0,14∪[1,+∞)
解析 设u=kx2+(2k-1)x+14的值域为A,y=log2u的定义域为B=(0,+∞),
当k=0时,u=-x+14,A=R,则A∩B=(0,+∞),函数f(x)的值域为R,符合题意;
当k≠0时,依题意得k>0,B⊆A,因此(2k-1)2-4×k×14≥0,解得k≤14或k≥1,
此时k的取值范围是0,14∪[1,+∞).
综上所述,实数k的取值范围为0,14∪[1,+∞).
11.答案 [-1,2)
解析 当x≥1时,ln x≥0,从而1+ln x≥1.
设x<1时,y=(2-a)x+2a的值域为B,则(-∞,1)⊆B.
因此2-a>0,(2-a)×1+2a≥1,解得-1≤a<2.
故a的取值范围是[-1,2).
12.解析 (1)由题意知mx2+2x+m>0对任意实数x恒成立,
∵m=0时显然不满足,
∴m>0,Δ=22-4m2<0,∴m>1.
∴实数m的取值范围为(1,+∞).
(2)当x∈[-1,1]时, f(x)∈13,3.
令f(x)=tt∈13,3,
则y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,
∴h(a)=28-6a9,a<13,3-a2,13≤a≤3,12-6a,a>3.
(3)存在.
∵y=2x+log3f(x2)=2x+log313x2=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴4n≤1,∴n≤14,
∴函数在[m,n]上单调递增,
∴2m-m2=4m,2n-n2=4n.
又∵m
∴f(6)=(35)6=(513)6=52=25.故选C.
14.B 设g(x)=ln(x+x2+1),则g(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
因此f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-1,
所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.
15.C 依题意得f(log2m)+f(log12m)≤2f(1)⇔f(log2m)+f(-log2m)≤2f(1)⇔f(log2m)≤f(1)⇔f(|log2m|)≤f(1)⇔|log2m|≤1⇔-1≤log2m≤1⇔log212≤log2m≤log22⇔12≤m≤2,故选C.
16.CD 选项A中, f(1)=log12(1+1)=-1, f(x)=log12(x+1)不是“A函数”.选项B中,若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1)+f(x2)=log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1x2+x1+x2+1)≥log2(x1+x2+1)=f(x1+x2),不满足(iii), f(x)=log2(x+1)不是“A函数”.选项C中,f(x)显然满足(i)(ii),又f(x1+x2)=x1+x2=f(x1)+f(x2),因此, f(x)=x是“A函数”.选项D中, f(x)显然满足(i)(ii).∵f(x1+x2)=2x1+x2-1, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2-2,∴f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1).又x1,x2∈[0,1],∴2x1-1≥0,2x2-1≥0.从而f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).因此, f(x)=2x-1是“A函数”.故选CD.
易错警示 解决与新定义性质有关的问题,要根据新定义的性质将各选项从简到繁逐一验证,先根据简单的性质排除错误的选项,减少运算;再根据复杂的性质验证其他选项是否符合题意.解题时要防止漏掉相关项目的验证,以免导致解题错误.
17.解析 (1)当a=5时,f(x)=log21x+5,
由f(x)>0,得log21x+5>0,即1x+5>1,则1x+4=4x+1x>0,即x>0或x<-14,
即不等式的解集为x|x>0或x<-14.
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0得log21x+a-log2[(a-4)x+2a-5]=0,
即log21x+a=log2[(a-4)x+2a-5],
因此1x+a=(a-4)x+2a-5>0,①
∴(x+1)[(a-4)x-1]=0,②
当a=4时,方程②的解为x=-1,代入①成立;
当a=3时,方程②的解为x1=x2=-1,代入①成立;
当a≠4且a≠3时,方程②的解为x=-1或x=1a-4,
若x=-1是方程①的解,则1x+a=a-1>0,即a>1,
若x=1a-4是方程①的解,则1x+a=2a-4>0,即a>2,
则要使方程①有且仅有一个解,需1
由题意得f(t)-f(t+1)≤1,
即log21t+a-log21t+1+a≤1,
log21t+a≤1+log21t+1+a
=log221t+1+a,
∴1t+a≤21t+1+a,
即a≥1t-2t+1=1-tt(t+1).
设1-t=r,则0≤r≤12.
因此1-tt(t+1)=r(1-r)(2-r)=rr2-3r+2,
当r=0时,rr2-3r+2=0,
当0
∴r+2r≥12+4=92,
∴rr2-3r+2=1r+2r-3≤192-3=23,
∴实数a的取值范围是23,+∞.
4.4.2 对数函数的图象和性质
基础过关练
题组一 对数函数的图象
1.(2020山西康杰中学高一上期中)为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x8的图象( )
A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位
2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
3.(2020四川蓉城名校联盟高一上期中联考)函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点( )
A.(1,1) B.(1,2)
C.(2,1) D.(2,2)
4.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )
题组二 对数函数的性质及其应用
5.函数y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上的单调性为( )
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
6.(2019天津和平高一上期中)函数f(x)=log0.6(2-x)的定义域为( )
A.[1,2) B.(1,2]
C.(1,2) D.(-∞,2)
7.(2019北京丰台高一上期中联考)下列各式中错误的是( )
A.30.8>30.7 B.log0.50.4>log0.50.6
C.log20.3<0.30.2 D.0.75-0.3<0.75-0.1
8.(2020福建厦外高一上期中)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为( )
A.(0,+∞) B.0,12
C.(1,2) D.(-∞,0)
9.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间是 .
10.(2020湖南醴陵一中高一上期中)若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是 .
11.函数f(x)=loga(x+x2+2a2)是奇函数,则a= .
12.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0
13.设函数f(x)=loga1-ax,其中0
(2)若f(x)>1,求x的取值范围.
14.已知函数f(x)=logamx+1x-1(a>0,a≠1)在定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)上是奇函数.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题
15.函数f(x)=log0.2(2x+1)的值域为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
16.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是( )
A.0
17.已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式log13(x-1)>log13(a-x);
(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.
18.已知函数f(x)=log2x.
(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;
(2)求y=log2(2x-1)在[2,14]上的最值.
题组四 对数函数与指数函数互为反函数
19.(2020北京西城高一上阶段测试)函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是( )
A.ab=1 B.a+b=1
C.a=b D.a-b=1
20.已知y=14x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-12,则x0=( )
A.-2 B.-1 C.2 D.12
21.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
22.设0
能力提升练
题组一 对数函数的图象
1.()函数y=ax与y=log1ax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是( )
2.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期中,)为了得到函数y=log4x-34的图象,只需把函数y=12log2x图象上所有的点( )
A.向左平移3个单位,再向上平移1个单位
B.向右平移3个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移3个单位,再向下平移1个单位
D.向左平移3个单位,再向下平移1个单位
3.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x||x|的图象是( )
4.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 .
题组二 对数函数单调性的应用
5.(2020山东日照高一上期末校际联考,) 已知a=1213,b=log213,c=log1213,则(深度解析)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
6.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0,a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是( )
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.[-1,1) D.(-3,-1]
7.(2020陕西西安中学高一上月考,)若函数y=log12(x2-ax+a)在(-∞,2)上是增函数,则实数a的取值范围是 .
8.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)已知函数f(x)=1x+lg4-xx.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在定义域内的单调性,并用定义法证明;
(3)解关于x的不等式f12x(3-x)-1-lg 3>0.
9.(2020安徽淮北第一中学高一月考,)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域;
(2)当a>1时,求关于x的不等式f(x)
题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题
10.()若函数f(x)=log2kx2+(2k-1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为 .
11.(2020河南周口高一上期末调研,)若函数f(x)=(2-a)x+2a,x<1,1+lnx,x≥1的值域为R,则实数a的取值范围是 .
12.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)已知函数f(x)=13x,函数g(x)=log3x.
(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在实数m,n,使得函数y=2x+log3f(x2)的定义域为[m,n],值域为[4m,4n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
题组四 对数函数的综合运用
13.(2019湖南岳阳一中高一上期中,)若指数函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过点(5,3),则f(6)=( )
A.5 B.10 C.25 D.125
14.(2019天津耀华中学高一上期中,)已知函数f(x)=ln(x+x2+1)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
15.(2020四川成都外国语学校高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数m满足f(log2m)+f(log12m)≤2f(1),则m的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.-∞,12
C.12,2 D.(0,2]
16.(多选)(2020山东泰安高一上期末,) 若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
(i)对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
(ii)f(1)=1;
(iii)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
就称f(x)为“A函数”,下列定义在[0,1]上的函数中,是“A函数”的有( 易错 )
A.f(x)=log12(x+1) B.f(x)=log2(x+1)
C.f(x)=x D.f(x)=2x-1
17.(2020山西长治二中高一上期中,)已知a∈R,函数f(x)=log21x+a.
(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好只有一个元素,求a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.A g(x)=log2x8=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x) =log2x8的图象向上平移3个单位,即可得到函数f(x)=log2x的图象,故选A.
2.C f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位得到的,过定点(1,1),g(x)=2-x+1=12x-1的图象是由y=12x的图象向右平移一个单位得到的,过定点(0,2),故只有C选项中的图象符合.
3.C 令x-1=1,即x=2,
得f(2)=loga1+1=1,因此f(x)的图象恒过点(2,1).
故选C.
4.B 解法一:由题可知,当x>0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x<0时, f(x)=lg(-x-1)=lg[-(x+1)],其图象可由函数y=lg x的图象先关于y轴做翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B正确.故选B.
解法二:由f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x)得, f(x)是偶函数,由此C,D错误.
又当x>0时, f(x)=lg(x-1)是(1,+∞)上的增函数,故选B.
5.C 当x>2时,函数y=log2|x-2|=log2(x-2).
又函数y=log2u是增函数,u=x-2在区间(2,+∞)上也是增函数,故y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上是一个增函数,故选C.
6.A 要使函数f(x)有意义,必有log0.6(2-x)≥0,∴0<2-x≤1,∴1≤x<2.故选A.
7.D 由函数y=3x单调递增得30.8>30.7,A正确;由函数y=log0.5x单调递减得log0.50.4>log0.50.6,B正确;由函数y=log2x单调递增得log20.3
8.B 设y=log3u,u=1-ax.
由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,∴-a<0,即a>0.
由1-ax>0得ax<1,又a>0,∴x<1a,
即f(x)的定义域为-∞,1a,
∴(-∞,2]⊆-∞,1a⇒2<1a,
结合a>0,得a<12,
因此a的取值范围是0,12,故选B.
9.答案 (-∞,-1)
解析 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3.
因此函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)=D.
设u=x2-2x-3,则y=log12u,y=log12u是减函数,
又u=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1]∩D=(-∞,-1).
10.答案 (1,2)
解析 ∵y=log0.5x是减函数,
∴log0.5(m-1)>log0.5(3-m)⇔m-1>0,3-m>0,m-1<3-m,即m>1,m<3,m<2.
∴1
解析 ∵函数f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,即loga2a2=0,
∴2a2=1,又a>0,∴a=22.
经验证, f(x)为奇函数.
12.解析 不等式0
∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.
(2)∵loga1-ax>1,∴0<1-ax
14.解析 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0在其定义域内恒成立,
即loga-mx+1-x-1+logamx+1x-1=loga1-m2x21-x2=0在其定义域内恒成立,
∴1-m2x2=1-x2对任意x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立.
∴m2=1,m=±1.
当m=-1时, f(x)=loga-x+1x-1无意义,舍去,∴m=1.
(2)当a>1时, f(x)在(1,+∞)上单调递减;
当0
设u=x+1x-1=1+2x-1,任取1
由x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,得u1-u2>0,即u1>u2.
因此当a>1时,logau1>logau2,即f(x1)>f(x2), f(x)在(1,+∞)上单调递减;
同理可得,当0
17.解析 (1)∵loga3>loga2,∴a>1,
∴y=logax在[a,2a]上为增函数,
∴loga(2a)-logaa=loga2=1,
∴a=2.
(2)依题意可知x-1<2-x,x-1>0,解得1
(3)g(x)=|log2x-1|,
∴当x=2时,g(x)=0,
则g(x)=1-log2x,0
∴函数g(x)在(0,2]上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,
∴g(x)的单调递减区间为(0,2],单调递增区间为(2,+∞).
18.解析 函数f(x)=log2x的图象如图所示.
(1)∵f(x)=log2x为增函数,f(a)>f(2),
∴log2a>log22.
∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).
(2)∵2≤x≤14,
∴3≤2x-1≤27.
∴log23≤log2(2x-1)≤log227.
∴函数f(x)=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.
19.A 由函数y=1ax与y=logbx互为反函数得1a=b,化简得ab=1,故选A.
20.C ∵y=14x的反函数是f(x)=log14x,
∴f(x0)=log14x0=-12.
∴x0=14-12=122-12=2.
21.B f(x)=loga(x+b)的反函数的图象过点(2,8),因此函数f(x)的图象过点(8,2).
又f(x)过点(2,1),则2=loga(8+b),1=loga(2+b),所以a2-b=8,a-b=2,解得b=1,a=3或b=-4,a=-2.
又a>0,所以b=1,a=3,
所以a+b=4.
22.B 因为0
1.C 选项D中没有对数函数的图象,错误;由y=ax与y=log1ax的单调性相反,知选项A,B错误,选项C正确.故选C.
2.C y=log4x-34=12log2(x-3)-1.
因此将函数y=12log2x的图象向右平移3个单位,可以得到函数y=12log2(x-3)的图象;再将所得图象向下平移1个单位,可以得到函数y=log4x-34的图象,故选C.
3.B 当x>0时,y=xln|x||x|=ln x,排除C,D;
当x<0时,y=xln|x||x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.
4.答案 (3,+∞)
解析 由f(x)的图象可知,0
又f(a)=f(b),因此|lg a|=|lg b|,于是lg a=-lg b,则b=1a,所以a+2b=a+2a,
设g(a)=a+2a(0
5.C 由a=1213,知0
所以c>1>a>0>b,即c>a>b,故选C.
解题模板 不同类型的数比较大小,常用0,1等特殊值界定,以达到比较大小的目的.
6.D 由f(0)<0得loga3<0,因此0
解得-3
设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,而0
7.答案 [22,22+2]
解析 令u=x2-ax+a,则y=log12u显然为减函数,则要使函数在区间(-∞,2)上是增函数,则u=x2-ax+a在区间(-∞,2)上应是减函数,且恒大于0.
则a2≥2,(2)2-2a+a≥0,解得22≤a≤22+2,故所求a的取值范围是[22,22+2].
8.解析 (1)要使函数f(x)有意义,必有4-xx>0,得0
证明:任取0
∵0
4x2-x1x2>4x1-x1x2>0,∴4x2-x1x24x1-x1x2>1,
∴lg4x2-x1x24x1-x1x2>0,∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,4)上单调递减.
(3)∵f(1)=1+lg 3,
∴原不等式等价于f12x(3-x)>f(1).
由(2)知, f(x)在(0,4)上单调递减,
∴0<12x(3-x)<1.
由12x(3-x)>0得x(x-3)<0⇒0
∴原不等式的解集为(0,1)∪(2,3).
9.解析 (1)当a=12时, f(x)=log1212x-1,故12x-1>0,解得x<0,
故函数f(x)的定义域为(-∞,0).
(2)由题意知, f(x)=loga(ax-1)(a>1),其定义域为(0,+∞),易知f(x)为(0,+∞)上的增函数,
由f(x)
(3)设g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x∈[1,3],
设t=2x-12x+1=1-22x+1,x∈[1,3],
故2x+1∈[3,9],则t=1-22x+1∈13,79,故g(x)min=g13=log213.
又∵f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,
∴m
10.答案 0,14∪[1,+∞)
解析 设u=kx2+(2k-1)x+14的值域为A,y=log2u的定义域为B=(0,+∞),
当k=0时,u=-x+14,A=R,则A∩B=(0,+∞),函数f(x)的值域为R,符合题意;
当k≠0时,依题意得k>0,B⊆A,因此(2k-1)2-4×k×14≥0,解得k≤14或k≥1,
此时k的取值范围是0,14∪[1,+∞).
综上所述,实数k的取值范围为0,14∪[1,+∞).
11.答案 [-1,2)
解析 当x≥1时,ln x≥0,从而1+ln x≥1.
设x<1时,y=(2-a)x+2a的值域为B,则(-∞,1)⊆B.
因此2-a>0,(2-a)×1+2a≥1,解得-1≤a<2.
故a的取值范围是[-1,2).
12.解析 (1)由题意知mx2+2x+m>0对任意实数x恒成立,
∵m=0时显然不满足,
∴m>0,Δ=22-4m2<0,∴m>1.
∴实数m的取值范围为(1,+∞).
(2)当x∈[-1,1]时, f(x)∈13,3.
令f(x)=tt∈13,3,
则y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,
∴h(a)=28-6a9,a<13,3-a2,13≤a≤3,12-6a,a>3.
(3)存在.
∵y=2x+log3f(x2)=2x+log313x2=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴4n≤1,∴n≤14,
∴函数在[m,n]上单调递增,
∴2m-m2=4m,2n-n2=4n.
又∵m
∴f(6)=(35)6=(513)6=52=25.故选C.
14.B 设g(x)=ln(x+x2+1),则g(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
因此f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-1,
所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.
15.C 依题意得f(log2m)+f(log12m)≤2f(1)⇔f(log2m)+f(-log2m)≤2f(1)⇔f(log2m)≤f(1)⇔f(|log2m|)≤f(1)⇔|log2m|≤1⇔-1≤log2m≤1⇔log212≤log2m≤log22⇔12≤m≤2,故选C.
16.CD 选项A中, f(1)=log12(1+1)=-1, f(x)=log12(x+1)不是“A函数”.选项B中,若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1)+f(x2)=log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1x2+x1+x2+1)≥log2(x1+x2+1)=f(x1+x2),不满足(iii), f(x)=log2(x+1)不是“A函数”.选项C中,f(x)显然满足(i)(ii),又f(x1+x2)=x1+x2=f(x1)+f(x2),因此, f(x)=x是“A函数”.选项D中, f(x)显然满足(i)(ii).∵f(x1+x2)=2x1+x2-1, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2-2,∴f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1).又x1,x2∈[0,1],∴2x1-1≥0,2x2-1≥0.从而f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).因此, f(x)=2x-1是“A函数”.故选CD.
易错警示 解决与新定义性质有关的问题,要根据新定义的性质将各选项从简到繁逐一验证,先根据简单的性质排除错误的选项,减少运算;再根据复杂的性质验证其他选项是否符合题意.解题时要防止漏掉相关项目的验证,以免导致解题错误.
17.解析 (1)当a=5时,f(x)=log21x+5,
由f(x)>0,得log21x+5>0,即1x+5>1,则1x+4=4x+1x>0,即x>0或x<-14,
即不等式的解集为x|x>0或x<-14.
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0得log21x+a-log2[(a-4)x+2a-5]=0,
即log21x+a=log2[(a-4)x+2a-5],
因此1x+a=(a-4)x+2a-5>0,①
∴(x+1)[(a-4)x-1]=0,②
当a=4时,方程②的解为x=-1,代入①成立;
当a=3时,方程②的解为x1=x2=-1,代入①成立;
当a≠4且a≠3时,方程②的解为x=-1或x=1a-4,
若x=-1是方程①的解,则1x+a=a-1>0,即a>1,
若x=1a-4是方程①的解,则1x+a=2a-4>0,即a>2,
则要使方程①有且仅有一个解,需1
由题意得f(t)-f(t+1)≤1,
即log21t+a-log21t+1+a≤1,
log21t+a≤1+log21t+1+a
=log221t+1+a,
∴1t+a≤21t+1+a,
即a≥1t-2t+1=1-tt(t+1).
设1-t=r,则0≤r≤12.
因此1-tt(t+1)=r(1-r)(2-r)=rr2-3r+2,
当r=0时,rr2-3r+2=0,
当0
∴r+2r≥12+4=92,
∴rr2-3r+2=1r+2r-3≤192-3=23,
∴实数a的取值范围是23,+∞.
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