2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.4.2　对数函数的图象和性质(2)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.4.2　对数函数的图象和性质(2)，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．函数y＝2＋lg2x(x≥1)的值域为( C )
A．(2，＋∞)B．(－∞，2)
C．[2，＋∞)D．[3，＋∞)
解析：∵y＝lg2x在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x≥1时，lg2x≥lg21＝0，∴y＝2＋lg2x≥2.
2．函数y＝5x的反函数是( C )
A．y＝5－xB．y＝5eq \s\up6(\f(1,x))
C．y＝lg5xD．y＝lgeq \s\d9(\f(1,5))x
解析：函数y＝ax和y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
3．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg2x，则当x<0时，f(x)的解析式为( C )
A．－lg2xB．lg2(－x)
C．－lg2(－x)D．lgx2
解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝lg2(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－lg2(－x)．
4．已知函数f(x)＝x2＋lg2|x|，且f(lg2m)>f(1)，则实数m的取值范围是( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
C．(2，＋∞)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2＋lg2|－x|＝x2＋lg2|x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f(lg2m)>f(1)，则有|lg2m|>1，即lg2m<－1或lg2m>1，解得02，即m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．
5．设函数f(x)＝ln|x－1|－ln|x＋1|，则f(x)( B )
A．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增
B．是奇函数，且在(－1，1)上单调递减
C．是偶函数，且在(－∞，－1)上单调递增
D．是奇函数，且在(－∞，－1)上单调递减
解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，又f(－x)＝ln|x＋1|－ln|x－1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝lneq \f(x－1,x＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x＋1)))，随着x增大，1－eq \f(2,x＋1)增大，所以f(x)单调递增．当x∈(－1，1)时，f(x)＝lneq \f(1－x,x＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x＋1)－1))，随着x增大，eq \f(2,x＋1)－1减小，f(x)单调递减．故选B．
二、多项选择题
6. 任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f(x1)＋f(x2),2)恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是( BCD )
A．y＝2xB．y＝lg2x
C．y＝－x2D．y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
解析：根据题意：任取x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f(x1)＋f(x2),2)恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数，∴在函数y＝f(x)的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB(端点除外)总在f(x)图象的下方，∴函数f(x)为凸函数，分别作出四个函数的图象，如图所示：
观察y＝lg2x，y＝－x2，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))在其定义域上的图象，满足凸函数的概念，∴y＝lg2x，y＝－x2，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))是凸函数，故选BCD．
7．下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( AD )
A．y＝2x－2－xB．y＝3|x|
C．y＝lg3xD．y＝lg23x
解析：易知y＝2x－2－x在R上是增函数，又f(－x)＋f(x)＝(2－x－2x)＋(2x－2－x)＝0，∴y＝2x－2－x是增函数，且为奇函数．又y＝lg23x＝xlg23是奇函数且单调递增．显然B中y＝3|x|及C中y＝lg3x不是奇函数．
三、填空题
8. 函数f(x)＝lg(eq \r(x2＋1)＋x)的奇偶性为奇函数．
解析：f(x)的定义域为R．又f(－x)＋f(x)＝lg(eq \r(x2＋1)－x)＋lg(eq \r(x2＋1)＋x)＝lg[(eq \r(x2＋1)－x)(eq \r(x2＋1)＋x)]＝lg 1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数．
9. 不等式lgeq \s\d9(\f(1,2))(4x＋2x＋1)>0的解集为(－∞，lg2(eq \r(2)－1))．
解析：由lgeq \s\d9(\f(1,2))(4x＋2x＋1)>0，得4x＋2x＋1<1，即(2x)2＋2•2x<1，配方得(2x＋1)2<2，所以2x10．已知函数y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(x2－ax＋a)在区间(－∞，eq \r(2))上是增函数，则实数a的取值范围是[2eq \r(2)，2(eq \r(2)＋1)]．
解析：∵y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))t在(0，＋∞)上是减函数，又y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(x2－ax＋a)在(－∞，eq \r(2))上是增函数，因此t＝x2－ax＋a在(－∞，eq \r(2))上是减函数，且t>0恒成立，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≥\r(2)，,t(\r(2))＝(\r(2))2－\r(2)a＋a≥0，))
解得2eq \r(2)≤a≤2(eq \r(2)＋1)，故所求a的取值范围是[2eq \r(2)，2(eq \r(2)＋1)]．
四、解答题
11．讨论函数f(x)＝lga(3x2－2x－1)的单调性．
解：由3x2－2x－1>0得函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>1，或x<－\f(1,3))))).
则当a>1时，
若x>1，则u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数；
若x<－eq \f(1,3)，则u＝3x2－2x－1为减函数，∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数．
当0若x>1，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数；
若x<－eq \f(1,3)，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数．
12．已知f(x)为二次函数，若f(x)在x＝1处取得最小值－6，且f(x)的图象经过坐标原点．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(1＋lgeq \s\d9(\f(1,2))x)在区间]
上的最大值和最小值．
解：(1)由题意，设f(x)＝a(x－1)2－6(a>0)．
∵函数图象过坐标原点，
∴f(0)＝a－6＝0，解得a＝6，
∴f(x)＝6(x－1)2－6.
(2)由x∈]，得lgeq \s\d9(\f(1,2))x∈[－1，6]．
令t＝1＋lgeq \s\d9(\f(1,2))x，则t∈[0，7]，
∴y＝f(1＋lgeq \s\d9(\f(1,2))x)＝f(t)＝6(t－1)2－6，t∈[0，7]，
当t＝1，即x＝1时，y取得最小值－6；
当t＝7，即x＝eq \f(1,64)时，y取得最大值210.
13．已知函数f(x)＝3＋lg2x，x∈[1，4]，则g(x)＝f(x2)－[f(x)]2的值域为( B )
A．[－18，－2]B．[－11，－6]
C．[－18，－6]D．[－11，－2]
解析：因为x∈[1，4]，f(x)＝3＋lg2x，所以g(x)＝f(x2)－[f(x)]2，定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1≤x≤4，,1≤x2≤4，))解得x∈[1，2]，又g(x)＝f(x2)－[f(x)]2＝3＋lg2x2－(3＋lg2x)2＝－(lg2x)2－4lg2x－6，令t＝lg2x，则0≤t≤1，即y＝－t2－4t－6＝－(t＋2)2－2，t∈[0，1]，在[0，1]上是减函数，所以t＝0时，y有最大值为－6；t＝1时，y有最小值为－11，所以y∈[－11，－6]，所以g(x)＝f(x2)－[f(x)]2的值域为[－11，－6]，故选B．14.函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的值域是[－2，＋∞)．
解析：－x2＋3x＋4＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4)，所以有0<－x2＋3x＋4≤eq \f(25,4)，所以根据对数函数y＝lg0.4x的图象(图略)即可得到lg0.4(－x2＋3x＋4)≥lg0.4eq \f(25,4)＝－2.所以原函数的值域为[－2，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝lga(2＋3x)－lga(2－3x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；
(3)当0解：(1)根据题意，函数f(x)＝lga(2＋3x)－lga(2－3x)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋3x>0，,2－3x>0，))解得－eq \f(2,3)即函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3))).
(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))，定义域关于原点对称，f(－x)＝lga(2－3x)－lga(2＋3x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)≥0即lga(2＋3x)≥lga(2－3x)，
又由0