高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数课后测评

4.4.2　对数函数的图象和性质

基础过关练

题组一　对数(型)函数的图象

1.(2020山西康杰中学期中)为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2的图象(　　)

A.向上平移3个单位长度

B.向下平移3个单位长度

C.向左平移3个单位长度

D.向右平移3个单位长度

2.(2020河南省实验中学期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的图象大致是(　　)

3.(2022福建厦门外国语学校月考)若函数f(x)=ax-1的图象经过点(4,2),则函数g(x)=loga的图象大致是(　　)

4.(2022广东惠州惠阳中山中学质检)函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过点P,P在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=　　　　. 

5.(2021吉林长春外国语学校月考)已知函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为　　　　. 

题组二　对数函数的性质及其应用

6.(2021河北石家庄正定一中期中)函数f(x)=的定义域是(　　)

A.(0,e)　　　　　　B.(0,e]

C.[e,+∞)　　　　　　D.(e,+∞)

7.(2022山西太原五中月考)设a=log54,b=lo,c=0.5-0.2,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a<b<c　　　　　　B.b<a<c

C.c<b<a　　　　　　D.c<a<b

8.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间为(　　)

A.(-∞,1)　　　　　　B.(2,+∞)

C.(-∞,0)　　　　　　D.(1,+∞)

9.(2020湖南醴陵一中期中)若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是　　　　. 

10.函数f(x)=loga(x+)是奇函数,则a=　　　　. 

11.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0<f(1-2x)-f(x)<1.

12.已知函数f(x)=log2.

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)判断函数f(x)的奇偶性;

(3)解不等式f(x)<0.

题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题

13.(2021河北石家庄正定一中期中)函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为(　　)

A.[0,+∞)　　　　　　B.[1,+∞)

C.R　　　　　　D.[2,+∞)

14.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在[1,4]上的最大值与最小值的和是2,则a的值为　　　　. 

15.(2022安徽合肥六中月考)已知函数f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的图象过点(9,4)和(1,2).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若f(x)的定义域为[1,81],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.

16.(2021吉林长春外国语学校月考)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若函数f(x)的最小值是0,求实数a的值;

(3)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

题组四　反函数

17.函数y=与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是(　　)

A.ab=1　　　　　　B.a+b=1

C.a=b　　　　　　D.a-b=1

18.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是(　　)

A.-e　　　　　B.-　　　　　C.e　　　　　D.

19.已知函数f(x)=log2x的反函数为g(x),则y=g(1-x)的图象大致为(　　)

能力提升练

题组一　对数函数的图象

1.已知函数y=ax-2+loga(x-1)+3(a>0且a≠1)的图象过定点P,点P在幂函数f(x)的图象上,则f(4)=(　　)

A.17　　　　　B.16　　　　　C.15　　　　　D.14

2.函数y=的图象大致是(　　)

3.(2022河南南阳一中月考)已知=log3m,3n=lon,=lok,则m,n,k的大小关系是(　　)

A.m>n>k　　　　　　B.m<n<k

C.n<m<k　　　　　　D.n<k<m

4.(多选)(2020山东菏泽期末)对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象不可能是(　　)

题组二　对数函数单调性的应用

5.(2022北京大学附属实验学校期中)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a>b>c　　　　　　B.b>a>c

C.c>b>a　　　　　　D.c>a>b

6.(2020福建厦门外国语学校期中)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为(　　)

A.(0,+∞)　　　　　　B.

C.(1,2)　　　　　　D.(-∞,0)

7.(多选)已知函数f(x)=log2(mx2+4x+8),m∈R,则下列说法正确的是(　　)

A.若函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),则m的取值范围是

B.若函数f(x)的值域为[2,+∞),则m=2

C.若函数f(x)在区间[-3,+∞)上为增函数,则m的取值范围是

D.若m=0,则f(x)<15的解集为

8.已知函数f(x)=(a>0,a≠1)在定义域内单调递减,若|f(2m)|>f(a),求实数m的取值范围.

9.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).

(1)当a=时,求函数f(x)的定义域;

(2)当a>1时,求关于x的不等式f(x)<f(1)的解集;

(3)当a=2时,若不等式f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.

题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题

10.(2020山东泰安期末)若函数f(x)=在(-∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为(　　)

A.[0,17]　　　　　　B.(-∞,17]

C.[1,17]　　　　　　D.[1,+∞)

11.(2022四川成都七中期中)已知函数f(x)=ln(ax2+2ax+1)的定义域为R.

(1)求a的取值范围;

(2)若a≠0,函数f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0,求实数a的值.

12.(2022广东八校期中)设f(x)=lo为奇函数,a为常数.

(1)求a的值;

(2)证明:f(x)在(1,+∞)内单调递增;

(3)若对于任意x∈[3,4],不等式f(x)>+m恒成立,求实数m的取值范围.

题组四　对数函数的综合运用

13.已知函数f(x)=ln(x+)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于(　　)

A.1　　　　　B.0　　　　　C.-1　　　　　D.-2

14.(多选)(2022广东惠州惠阳中山中学质检)已知a>b>1>c>0,则(　　)

A.>

B.logc(a-c)>logc(b-c)

C.(a-c)c-1<(b-c)c-1

D.(1-c)a-c<(1-c)b-c

15.已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是　　　　. 

16.(2022广东广州一中期中)已知f(x)=若f(a)=f(b),则+的最小值为　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.A　g(x)=log2=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x)=log2的图象向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2x的图象,故选A.

2.B　解法一:由题可知,当x>0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位长度得到;当x<0时, f(x)=lg(-x-1)=lg[-(x+1)],其图象可由函数y=lg x的图象先关于y轴做翻折变换,再向左平移1个单位长度得到,结合选项可知B正确.故选B.

解法二:易知f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),

又f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此C,D错误.当x>0时, f(x)=lg(x-1),是(1,+∞)上的增函数,故选B.

3.D　由题意可知f(4)=2,即a3=2,所以a=.

所以g(x)=log=-log(x+1),

易知函数g(x)的定义域为(-1,+∞),且函数g(x)在定义域内单调递减,故选D.

解题模板　函数图象的辨识可从以下方面入手:根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点,排除不符合要求的图象.

4.答案　27

解析　对于函数y=loga(2x-3)+8,令2x-3=1,解得x=2,此时y=8,

因此函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过点P(2,8).

设幂函数f(x)=xα,∵P在幂函数f(x)的图象上,

∴8=2α,解得α=3,因此f(x)=x3,

∴f(3)=33=27.

5.答案　

解析　∵函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,∴解得<a<1.

6.B　要使函数f(x)=有意义,需满足解得0<x≤e.

因此函数的定义域为(0,e],故选B.

7.B　c=0.5-0.2==>20=1,

b=lo=log53<log54=a<1,

所以b<a<c.故选B.

8.C　解不等式x2-2x>0,可得x<0或x>2,

所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).

易知u=x2-2x在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(2,+∞)上为增函数,

y=lou在(0,+∞)上为减函数,

由复合函数的单调性可知,函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间为(-∞,0).故选C.

9.答案　(1,2)

解析　∵y=log0.5x是定义域内的减函数,

∴log0.5(m-1)>log0.5(3-m)⇔

即∴1<m<2,即m的取值范围是(1,2).

10.答案　

解析　易知函数f(x)的定义域为R,∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即loga=0,

∴=1,又a>0,∴a=.

经验证,当a=时, f(x)为奇函数,∴a=.

11.解析　不等式0<f(1-2x)-f(x)<1即0<lg(2-2x)-lg(x+1)

=lg <1,

所以解得-<x<,

故不等式的解集为.

12.解析　(1)要使函数f(x)=log2有意义,需满足>0,解得-1<x<1,即函数的定义域为(-1,1).

(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,对任意x∈(-1,1),都有f(-x)=log2=-log2=-f(x),

故函数f(x)为奇函数.

(3)f(x)=log2=log2,

易知t=-1在(-1,1)上单调递减,且t>0,

又y=log2t在(0,+∞)上单调递增,

所以f(x)在(-1,1)上单调递减.

不等式f(x)<0即log2<log21,

所以0<<1,解得0<x<1,

故不等式f(x)<0的解集为(0,1).

13.B　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,

∴f(x)=log2(x2-2x+3)≥log22=1,

因此,函数f(x)的值域是[1,+∞),故选B.

14.答案　2

解析　①当a>1时, f(x)=logax在(0,+∞)上为增函数,

所以f(x)=logax在[1,4]上的最大值为loga4,最小值为loga1=0,所以loga4+0=2,解得a=2;

②当0<a<1时, f(x)=logax在(0,+∞)上为减函数,

所以f(x)=logax在[1,4]上的最大值为loga1=0,最小值为loga4,所以0+loga4=2,所以a=2(舍去).

综上,a=2.

解后反思　本题中函数f(x)=logax是单调函数,故其最大值与最小值分别在区间端点处取得,可直接得loga1+loga4=2,进而求得a的值.

15.解析　(1)由题意得所以

所以f(x)=2+log3x(x>0).

(2)由(1)知y=[f(x)]2+f(x2)=+2+log3x2 =+2+2log3x=+6log3x+6=-3.

因为函数f(x)的定义域为[1,81],

所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,

需满足所以1≤x≤9,所以0≤log3x≤2,

所以当log3x=2,即x=9时,y取得最大值,且ymax=22.

所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为22,y取最大值时x的值为9.

16.解析　(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,∴a+5=4,

即a=-1,∴f(x)=log4(-x2+2x+3),

由-x2+2x+3>0,

解得-1<x<3,

∴f(x)的定义域为(-1,3).

∵函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,

而y=log4t是定义域上的增函数,

∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).

(2)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0,

∴函数t=ax2+2x+3有最小值1,

∴解得a=.

(3)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的值域为R,

∴函数t=ax2+2x+3能够取到大于0的所有实数,

则a=0或∴0≤a≤.

17.A　由函数y=与y=logbx互为反函数得=b,故ab=1,故选A.

18.B　∵函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=ln x,又函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)=ln(-x).∵f(m)=-1,∴ln(-m)=-1,解得m=-,故选B.

19.C　由题意可得g(x)=2x,则g(1-x)=21-x.由复合函数的单调性可知y=g(1-x)在R上单调递减,故排除A,B;当x=1时,g(0)=21-1=1,故排除D.故选C.

能力提升练

1.B　在函数y=ax-2+loga(x-1)+3中,令x=2,得y=4,

所以函数y=ax-2+loga(x-1)+3(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,4),

设幂函数f(x)=xα,因为点P在幂函数f(x)=xα的图象上,所以2α=4,解得α=2,所以f(x)=x2,因此f(4)=42=16,故选B.

解题模板　解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a0=1,logb1=0,由此确定定点坐标.

2.B　当x>0时,y==ln x,排除C,D;

当x<0时,y==-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.

3.D　在同一平面直角坐标系中画出y=,y=log3x,y=3x,y=lox的图象,如图所示:

根据图象知n<k<m.故选D.

4.BCD　对于选项A,B,由题中对数函数的图象得a>1,则二次函数中二次项系数a-1>0,其对应方程的两个根为0,,选项A中,由图象得>1,从而1<a<2,选项A可能;选项B中,由图象得<0,与a>1相矛盾,选项B不可能.

对于选项C,D,由题中对数函数的图象得0<a<1,则a-1<0,二次函数图象开口向下,D不可能;选项C中,由图象与x轴的交点的位置得>1,与0<a<1相矛盾,选项C不可能.

故选BCD.

解题模板　确定含参数的函数的图象,要分析函数中参数的几何意义,对各个选项逐一进行判断.对于二次函数,要从图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点位置等方面进行分析.

5.D　因为a=log2e>log22=1,0<b=ln 2<ln e=1,c=lo=log23>log2e=a,

所以a,b,c的大小关系为c>a>b,故选D.

6.B　设y=log3u,u=1-ax.

由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,

∴-a<0,即a>0.

由1-ax>0得ax<1,

又a>0,∴x<,

即f(x)的定义域为,

∴(-∞,2]⊆⇒2<,

结合a>0,得0<a<,

因此a的取值范围是,故选B.

易错警示　求含对数函数的复合函数的单调性时,既要考虑到内、外两层函数的单调性,还要考虑到函数的定义域,即单调区间是函数定义域的子集,要防止因忽略定义域导致解题错误.

7.AC　对于A,由题意知mx2+4x+8>0对任意x∈R恒成立,

当m=0时,不等式4x+8>0不恒成立,所以m≠0,

当m≠0时,有解得m>,所以A正确;

对于B,若函数f(x)的值域为[2,+∞),则f(x)min=2,显然m不为0,由y=log2t在(0,+∞)上单调递增可知,若f(x)可取到最小值2,则m>0,且函数y=mx2+4x+8的最小值为4,

当x=-时,ymin=m+4×+8=4,解得m=1,所以B错误;

对于C,若函数f(x)在区间[-3,+∞)上为增函数,则y=mx2+4x+8在[-3,+∞)上为增函数,且在[-3,+∞)内的函数值为正,

所以解得<m≤,所以C正确;

对于D,若m=0,则不等式f(x)<15即log2(4x+8)<15,

则0<4x+8<215,解得-2<x<213-2,所以D不正确.

故选AC.

8.解析　由函数f(x)在定义域内单调递减,

可知即

由m≥1得2m≥2,故f(2m)=-2m+2,

由0<a<1得f(a)=logaa+m=1+m,

∴|f(2m)|>f(a)⇔|-2m+2|>m+1,

又m≥1,∴-2m+2≤0,

∴2m-2>m+1,解得m>3,

故m的取值范围是(3,+∞).

9.解析　(1)当a=时, f(x)=lo,故-1>0,解得x<0,

故函数f(x)的定义域为(-∞,0).

(2)由题意知, f(x)=loga(ax-1)(a>1),其定义域为(0,+∞),易知f(x)为(0,+∞)上的增函数,

由f(x)<f(1)得∴不等式的解集为(0,1).

(3)设g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log2,x∈[1,3],

设t==1-,易知t=1-为增函数,又y=log2t为定义域内的增函数,∴g(x)在[1,3]上单调递增,故g(x)min=g(1)=log2.

∵f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,

∴m<g(x)min=log2,即m∈.

10.C　易知f1(x)=2x+2在(-∞,1]上单调递增, f2(x)=log2(x-1)在(1,+∞)上单调递增.作出f(x)的大致图象,如图所示.

由图可知, f(1)=4, f(17)=4,所以a的取值范围为[1,17].

11.解析　(1)∵函数f(x)=ln(ax2+2ax+1)的定义域为R,

∴ax2+2ax+1>0对任意x∈R恒成立,

当a=0时,可得1>0,满足题意;

当a≠0时,要使ax2+2ax+1>0对任意x∈R恒成立,

则解得0<a<1.

综上可得,a的取值范围是[0,1).

(2)由(1)及题意知0<a<1.

令u=ax2+2ax+1,

易知y=ln u是定义域内的增函数,

函数u=ax2+2ax+1(0<a<1)在[-2,-1)上单调递减,在(-1,1]上单调递增,故f(x)在[-2,-1)上单调递减,在(-1,1]上单调递增,

∴f(x)max=f(1)=ln(3a+1), f(x)min=f(-1)=ln(1-a),

∵f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0,

∴ln(3a+1)+ln(1-a)=0,即ln[(3a+1)(1-a)]=0,

可得(3a+1)(1-a)=1,解得a=0(舍去)或a=,

故实数a的值为.

12.解析　(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),

∴lo=-lo,即=,故1-a2x2=1-x2,解得a=±1.

经检验a=1不符合题意,∴a=-1.

(2)证明:由(1)知f(x)=lo,任取x1,x2∈(1,+∞),且x2<x1,则x1-1>x2-1>0,∴0<<,∴0<1+<1+,即0<<,

∴lo>lo,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在(1,+∞)内单调递增.

(3)若对任意x∈[3,4],不等式f(x)>+m恒成立,则f(x)->m在x∈[3,4]上恒成立,

令g(x)=f(x)-,x∈[3,4],只需g(x)min>m,

易知g(x)=f(x)-在[3,4]上是增函数,

∴g(x)min=g(3)=-,∴m<-,即实数m的取值范围为.

13.B　设g(x)=ln(x+),易知其定义域为R,且g(-x)=ln(-x+)=ln=-ln(x+)=-g(x),所以g(x)为奇函数.因为f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-g(-a)=-1,所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.

14.CD　A选项,由题意知a-c>b-c>0,由y=在(0,+∞)上单调递减,得<,故错误.

B选项,因为0<c<1,所以y=logcx在(0,+∞)上单调递减,又a-c>b-c>0,所以logc(a-c)<logc(b-c),故错误.

C选项,由题意知a-c>b-c>0,c-1<0,所以y=xc-1在(0,+∞)上单调递减,所得(a-c)c-1<(b-c)c-1,故正确.

D选项,由题意知,0<1-c<1,所以y=(1-c)x在R上单调递减,又a-c>b-c,所以(1-c)a-c<(1-c)b-c,故正确.故选CD.

15.答案　(3,+∞)

解析　f(x)的图象如图所示,

因为f(a)=f(b),b>a>0,所以结合图象可得0<a<1<b,于是lg a=-lg b,则b=,所以a+2b=a+,

设g(a)=a+(0<a<1).

易知g(a)在(0,1)上为减函数,所以g(a)>g(1)=3,即a+>3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞).

16.答案　1+

解析　易知分段函数f(x)在两段区间内都是单调函数,所以若f(a)=f(b),则a,b必然分属两段区间,

不妨设0<a≤1,b>1,则f(a)=1-ln a, f(b)=-1+ln b,

则1-ln a=-1+ln b⇒ln a+ln b=ln(ab)=2⇒ab=e2.

故+=+=.

令h(a)=,a∈(0,1],易知h(a)在区间(0,1]上单调递减,

所以h(a)min=h(1)=1+,此时a=1,b=e2,符合题意.

故+的最小值为1+.