高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精练

4.4.3　不同函数增长的差异

基础过关练

题组一　不同函数增长的差异

1.下列函数中,增长速度越来越慢的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.y=6x  B.y=log6x

C.y=x6  D.y=6x

2.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份(　　)

A.甲食堂的营业额较高

B.乙食堂的营业额较高

C.甲、乙两食堂的营业额相同

D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

3.(2020湖南醴陵一中高一上期中)已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,在区间(0,+∞)上一定存在x0,当x>x0时(　　)

A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x

C.log2x>2x>x2 D.log2x>x2>2x

4.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4≤x≤10)时,奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7)(　　)

A.y=0.4x B.y=lg x+1

C.y= D.y=1.125x

题组二　图象信息迁移问题

5.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是(　　)

6.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所走的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是(　　)

7.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下叙述:

①第4个月时,残留量就会低于;

②每月减少的有害物质量都相等;

③若残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.

其中所有正确叙述的序号是　　　　. 

8.函数f(x)=2x和g(x)=x3的大致图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;

(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.

题组三　函数模型的选择

9.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:

对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是(　　)

A.y=2x-2 B.y=

C.y=log2x D.y=(x2-1)

10.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:

则对x,y最适合的拟合函数是(　　)

A.y=2x B.y=x2-1

C.y=2x-2 D.y=log2x

11.(2020福建宁德高一上期末)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如下表所示:

根据上表数据,下列函数中适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是(　　)

A.y=0.5(x+1)

B.y=log3x+1.5

C.y=2x-1

D.y=2

12.某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:

地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可得a=　　　　,b=　　　　.(取lg 2=0.3进行计算) 

13.某汽车制造商在2020年年初公告:公司计划2020年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:

如果我们分别将2017,2018,2019,2020定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?

14.(2020福建厦外高一上期中)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元~1 600万元的投资收益,现准备制订一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即设奖励方案函数模型为y=f(x)时,公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1 600]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤75恒成立;③f(x)≤恒成立

(1)判断函数f(x)=+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由;

(2)已知函数g(x)=a-5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.B　D中增长速度不变,A,C中增长速度越来越快,只有B符合题意.

2.A　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可知,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=.

因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2.

故本年5月份甲食堂的营业额较高.

3.A　由于指数函数增长最快,对数函数增长最慢,因此当x很大时,指数函数值最大,对数函数值最小.

即在区间(0,+∞)上一定存在x0,当x>x0时,2x>x2>log2x,故选A.

4.B　A选项中,当x=10时,y=4,超过2万元,不符;

B选项中,y=lg x+1在[4,10]上是增函数,x=10时,ymax=2,结合图象知,lg x+1<在x∈[4,10]上恒成立.故B符合;

C选项中,当x=10时,y=>2,超过2万元,不符;

D选项中,当x=10时,y=,

设=a,

则lg a=10(lg 9-lg 8)=10(2lg 3-3lg 2)≈0.6.

因此a≈100.6>>2,超过2万元,不符.故选B.

5.B　水深h为自变量,随着h的增大,A项中V的增长速度越来越快,C项中先慢后快再慢,D项中增长速度不变,只有B项中V的增长速度越来越慢.

6.B　乌龟保持匀速前进,兔子在中间一段时间内路程是不变的,且当乌龟到达终点时兔子还未到达终点,结合图象可知B正确.

7.答案　①③

解析　根据题意,函数的图象经过点,即=a2,∴a=,

∴y=.易知①③正确.

8.解析　(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.

(2)∵f(1)=2>g(1)=1,f(2)=4<g(2)=8,f(9)=512<g(9)=729,f(10)=1 024>g(10)=1 000,

∴1<x1<2,9<x2<10,

∴x1<6<x2,2 019>x2.

由题图可以看出,当x1<x<x2时,

f(x)<g(x),∴f(6)<g(6).

当x>x2时,f(x)>g(x),

∴f(2 019)>g(2 019).

又g(2 019)>g(6),

∴f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).

9.D　解法一:相邻的自变量之差从左到右依次大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,抛物线拟合程度最好,故选D.

解法二:可以采用特殊值代入法,取某个x的值代入,再比较函数值是否与表中数据相符.可取x=4,经检验易知选D.

10.D　将x=0.50代入计算,可以排除A;将x=2.01代入计算,可以排除B,C.故选D.

11.B　由题表知,当自变量增加1个单位时,函数值依次增加0.55,0.40,0.16,0.14,0.20,因此A,C不符合题意;当x取1,4时,y=2的值分别为2,4,与题表中的数据相差较大,故选B.

12.答案　;

解析　由模拟函数及散点图得

两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2,

所以alg 2=0.2,解得a=,

所以b=5-lg 1.6=5-(4lg 2-1)=5-×=.

13.解析　建立年产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).

①构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

将点的坐标代入,可得

解得

则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1万辆.

②构造指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),

将点的坐标代入,可得解得

则g(x)=·-42,

故g(4)=×-42=44.4,

与计划误差为1.4万辆.

由①②可得,二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.

14.解析　(1)不符合,理由:对于函数模型f(x)=+10,

当x∈[25,1 600]时, f(x)是单调递增函数,则f(x)≤f(1 600)≤75,显然恒成立,若函数f(x)≤恒成立,即+10≤,解得x≥60.

∴f(x)≤不一定成立.

综上所述,函数模型f(x)=+10满足基本要求①②,但是不满足③,

故函数模型f(x)=+10不符合要求.

(2)当x∈[25,1 600]时,g(x)=a-5(a≥1)单调递增,

∴最大值g(1 600)=a-5=40a-5≤75,∴a≤2.

设g(x)=a-5≤恒成立,

则a2x≤恒成立,即a2≤+2+.

∵+≥2,当且仅当x=25时取等号,∴a2≤2+2=4.

∵a≥1,∴1≤a≤2,

故a的取值范围为[1,2].