高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布综合与测试精练

专题强化练4　超几何分布与二项分布

一、选择题

1.(★★☆)有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)等于(　　)

A. B. C. D.1

2.(2019河北廊坊高二期中,★★☆)已知某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,且各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,若D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=(　　)

A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.3

3.(★★☆)在10个排球中有6个正品,4个次品.若从中任意抽取4个,则抽到的正品数比次品数少的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.(★★☆)已知在10件产品中存在若干件次品,从中任意抽取2件进行检查,记其中的次品数为ξ,已知P(ξ=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为(　　)

A.10% B.20% C.30% D.40%

二、填空题

5.(★★☆)从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,设其中满足1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X,则P(X=2)=　　　　.(结果用式子表示即可) 

6.(★★☆)投掷一枚图钉,设钉尖向上的概率为p,连续掷一枚图钉3次,若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率,则p的取值范围为　　　　. 

7.(★★☆)现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,若其中至多有1本语文课本的概率是,则语文课本有

　　　　本. 

三、解答题

8.(2019北京东城高三上学期期末,★★☆)某中学有学生500人,学校为了了解学生的课外阅读时间,从中随机抽取了50名学生,获得了他们某一个月内课外阅读时间(单位:小时)的数据,并将数据分为5组:[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20],整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的x的值;

(2)试估计该校所有学生中,课外阅读时间不小于16小时的学生人数;

(3)已知课外阅读时间在[10,12)的学生样本中有3名女生,现从阅读时间在[10,12)的学生样本中随机抽取3人,记X为抽到女生的人数,求X的分布列.

9.(2019湖北荆州高二期中,★★☆)A和B两个盒子装有大小相同的黄乒乓球和白乒乓球,A盒装有2个黄乒乓球,2个白乒乓球;B盒装有2个黄乒乓球,n(n≥2且n∈N*)个白乒乓球.现从A、B两盒中各任取2个乒乓球.

(1)若n=3,求取到的4个乒乓球全是白球的概率;

(2)若取到的4个乒乓球中恰有2个黄球的概率为,求n的值.

答案全解全析

一、选择题

1.C　由题意,知X的所有可能取值为0,1,2,X服从超几何分布,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=,故选C.

2.C　由题意可知,X~B(10,p),

则D(X)=np×(1-p)=10p(1-p)=2.4,

解得p=0.4或p=0.6,又因为P(X=4)<P(X=6),所以p4(1-p)6<p6(1-p)4,即p2>(1-p)2,解得p>,所以p=0.6,故选C.

3.A　抽到的正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,

由超几何分布的概率公式可知,抽到0个正品4个次品的概率P1==,抽到1个正品3个次品的概率P2===,所以抽到的正品数比次品数少的概率为+=,故选A.

4.B　设10件产品中存在n(0<n≤10,且n∈N*)件次品,则由P(ξ=1)=,得=,化简得n2-10n+16=0,解得n=2或n=8.

又该产品的次品率不超过40%,∴n≤4,应取n=2,∴这10件产品的次品率为×100%=20%.故选B.

二、填空题

5.答案　

解析　由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数有=720(个).1,3,5都不相邻的6位偶数有=36(个),即先排好3个偶数,然后奇数在前面的3个空位中任排.如果1,3相邻,与5不相邻,有=72(个),即先将1,3捆绑起来,然后排好3个偶数,接着将1,3与5插到前面3个空位中的任意2个.由此求得1,3都不与5相邻的六位偶数有36+72=108(个),由超几何分布的概率计算公式得P(X=2)=.

6.答案　<p<1

解析　设P(Bk)=pk(1-p)3-k(k=0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉3次,出现k次钉尖向上”的概率,由题意得P(B2)<P(B3),即p2(1-p)<p3,∴3p2(1-p)<p3,

又∵0<p<1,∴解得<p<1,即p的取值范围为<p<1.

7.答案　4

解析　设语文课本有m(2≤m≤7,且m∈N*)本,任取的2本书中语文课本数为X,则X服从超几何分布,其中X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=k)=(k=0,1,2).

由题意得,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=×+=,∴m2-m-12=0,解得m=4或m=-3(舍去),即7本书中语文课本有4本.

三、解答题

8.解析　(1)由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x=1,可得x=0.15.

(2)0.10×2+0.05×2=0.30,即课外阅读时间不小于16小时的学生人数为500×0.30=150.

(3)课外阅读时间在[10,12)的学生的频率为0.08×2=0.16,易知50×0.16=8,即阅读时间在[10,12)的学生样本总人数为8,8名学生为3名女生,5名男生.

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)==;P(X=1)==;

P(X=2)==;P(X=3)==.

所以X的分布列为

9.解析　(1)设“取到的4个乒乓球全是白球”为事件A,

则P(A)=×=×=.

(2)设“取到的4个乒乓球中恰有2个黄球”为事件B,

则P(B)=++==,

化简,得5n2-27n+10=0,解得n=5或n=(舍去),所以n=5.