高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布综合与测试同步测试题

专题强化练6　均值与方差

一、选择题

1.(2019安徽舒城中学高二期末,★★☆)已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表所示,则m的值为(　　)

A.   B.   C.  D.

2.(2019浙江宁波高三上学期期末,★★☆)已知ξ是离散型随机变量,则下列结论错误的是(　　)

A.P≤P

B.(E(ξ))2≤E(ξ2)

C.D(ξ)=D(1-ξ)

D.D(ξ2)=D((1-ξ)2)

3.(2019河南南阳中学高二月考,★★☆)设0<p<1,已知随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时(　　)

A.E(ξ)减小,D(ξ)减小 B.E(ξ)减小,D(ξ)增大

C.E(ξ)增大,D(ξ)减小 D.E(ξ)增大,D(ξ)增大

二、填空题

4.(2019河北卓越联盟高二下学期第三次月考,★★☆)小张同学拿到一个随机变量ξ的分布列,然后要计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能判定这两个“?”处的数值相同.据此,小张给出了正确答案E(ξ)=　　　　. 

5.(2019江西上饶高二上学期月考,★★☆)某人共有五发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击立即停止,记他总的射击次数为随机变量X,则E(X)=　　　　. 

三、解答题

6.(2019河北枣强中学高二上学期期末,★★☆)某校高二年级组织成语听说大赛,每班选10名同学参赛,要求每位同学回答5个成语,各位同学的得分总和算作本班成绩,其中一班的张明同学参赛,他每道题答对的概率均为,且每道题答对与否互不影响.计分规则为答对不超过3道题时,每答对1道得一分,超过3道题时,每多答对1道得两分,答错不得分.

(1)求张明至少答对3道题的概率;

(2)设张明答完5道题的总得分为ξ,求ξ的分布列和数学期望.

7.(2019山东临沂高二期末,★★☆)甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校的音乐社团、美术社团,游戏规则如下:

①先将一个圆八等分(如图),再将8个等分点A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8分别标注在8个相同的小球上,并将这8个小球放入一个不透明的盒子里,每个人从盒内随机摸出两个小球,然后用摸出的两个小球上标注的等分点与圆心O构造三角形.若能构成直角三角形,则两个社团都参加;若能构成锐角三角形,则只参加美术社团;若能构成钝角三角形,则只参加音乐社团;若不能构成三角形,则两个社团都不参加.

②前一个同学摸出两个小球并记录下结果后,把两个小球都放回盒内,下一个同学再从盒中随机摸取两个小球.

(1)求甲能参加音乐社团的概率;

(2)记甲、乙、丙3人中能参加音乐社团的人数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差.

答案全解全析

一、选择题

1.A　由题意得,η=12ξ+7且E(η)=34,

则E(ξ)==,

即E(ξ)=1×+2m+3n+4×=,又因为+m+n+=1,所以m=,故选A.

2.D　P=P≤P=P,故A中结论正确;由数学期望的性质得(E(ξ))2≤E(ξ2),故B中结论正确;由方差的性质得D(ξ)=D(1-ξ),故C中结论正确;D((1-ξ)2)=4D(ξ)+D(ξ2)≠D(ξ2),故D中结论错误.故选D.

3.A　由题意得E(ξ)=0×+1×+2×=1-,∴当p在(0,1)内增大时,E(ξ)减小.D(ξ)=×+×+×=-p2-p+1=-(p+1)2+,∴当p在(0,1)内增大时,D(ξ)减小.故选A.

二、填空题

4.答案　4

解析　设“?”处数值为x,“!”处数值为y,由离散型随机变量的分布列的性质可得2x+y=1.

∴E(ξ)=2x+4y+6x=4(2x+y)=4.故答案为4.

5.答案　

解析　由题意可得X的所有可能取值为1,2,3,4,5,P(X=1)=,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

P(X=4)==,

P(X=5)=×1=,

故X的分布列为

所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=.

三、解答题

6.解析　(1)设“张明至少答对3道题”为事件A,则P(A)=×+××+=.

(2)由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,5,7,

P(ξ=0)==,

P(ξ=1)=·=,

P(ξ=2)==,

P(ξ=3)==,

P(ξ=5)=×=,

P(ξ=7)==.

所以ξ的分布列为

故ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×+5×+7×=.

7.解析　(1)从盒中随机摸出两个小球,即从8个等分点中随机选取2个不同的等分点,共有=28种取法,其中与圆心O构成直角三角形的取法有8种:A1A3O,A2A4O,A3A5O,A4A6O,A5A7O,A6A8O,A7A1O,A8A2O,与圆心O构成钝角三角形的取法有8种:A1A4O,A2A5O,A3A6O,A4A7O,A5A8O,A6A1O,A7A2O,A8A3O.所以甲能参加音乐社团的概率为=.

(2)由题意可知,X~B,X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)==;

P(X=1)==;

P(X=2)==;

P(X=3)==.

所以X的分布列为

数学期望E(X)=3×=,方差D(X)=3××=.