数学必修4第一章 三角函数综合与测试一课一练

第一章　三角函数

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.与2 019°角终边相同的角是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.37° B.141° C.-37° D.-141°

2.135°化为弧度等于(　　)

A. B.   C. D.

3.一个扇形的面积是1 cm2,它的半径是1 cm,则该扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A. B.1 C.2 D.2sin 1

4.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cos α=-,则m的值为(　　)

A.- B. C.- D.

5.点A(sin 2 019°,cos 2 019°)位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限    C.第三象限 D.第四象限

6.若α是第三象限的角,则π-是(　　)

A.第一或第二象限的角  B.第二或第三象限的角

C.第一或第三象限的角   D.第二或第四象限的角

7.已知sin(π-α)=-,且α∈,则tan(2π-α)的值为(　　)

A. B.-   C.± D.

8.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴方程为(　　)

A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)

C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)

9.函数y=cos x|tan x| 的图象是(　　)

10.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为(　　)

A.y=sinx B.y=sin       C.y=sin D.y=sin

11.将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)

A.在区间上单调递增   B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增     D.在区间上单调递减

12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到的图象对应的函数g(x)为偶函数.下列判断正确的是(　　)

A.函数g(x)的最小正周期为2π

B.函数g(x)的图象关于点,π对称

C.函数g(x)的图象关于直线x=-对称

D.函数g(x)在,π上单调递增

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.sin+cos=　　　　. 

14.设符号f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),令函数I(n)=sin,L(n)=cosi×+,则I(2 017)+L(2 018)=　　　　. 

15.下图为函数f(x)=Asin(2x+φ)的部分图象,对于任意的x1,x2∈[a,b],都有f(x1 )=f(x2 ),且f(x1+x2 )=,则φ等于　　　　. 

16.对任意两实数a、b,定义运算“max{a,b}”如下:max{a,b}=则关于函数f(x)=max{sin x,cos x},下列命题中:

①函数f(x)的值域为;②函数f(x)图象的对称轴为x=kπ+,k∈Z;③函数f(x)是周期函数;④当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值1; ⑤当2kπ<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)<0.正确的是　　　　　　　　.(填序号) 

三、解答题(共70分)

17.(10分)在△ABC中,已知sin A+cos A=,求tan A的值.

18.(12分)已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.

(1)若α=90°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

(2)若扇形的周长是定值C(C>0),则当α为多少弧度时,该扇形的面积最大?

19.(12分)已知sin θ、cos θ是方程25x2-5x+k=0的两个实数根.

(1)求实数k的值;

(2)若θ是第二象限角,求tan θ的值.

20.(12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若方程f(x)=a在上有两个不相等的实数根,试求a的取值范围.

21.(12分)(2020福建泉州高一上期末)已知函数f(x)=sin x+3|sin x|.

(1)用分段函数形式写出f(x)在x∈[0,2π]的解析式,并画出其图象;

(2)求出f(x)(x∈R)的最小正周期及其单调递增区间.

22.(12分)用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一个周期内的图象时,某同学列表并填入的数据如下:

(1)求x1,x2,x3的值及函数f(x)的表达式;

(2)已知函数g(x)=f(a>0),若函数g(x)在区间上是增函数,求a的最大值.

答案全解全析

第一章　三角函数

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一、选择题

1.D　设与2 019°角的终边相同的角是α,则α=2 019°+k·360°,k∈Z,

当k=-6时,α=-141°.故选D.

2.C　因为1°=,所以135°=135×=,故选C.

3.C　设扇形的弧长为l cm,由题意可得l×1=1,∴l=2,

则该扇形的圆心角的弧度数是=2.

故选C.

4.B　因为角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),所以r= ,cos α==- ,解得m=(负值舍去),故选B.

5.C　∵2 019°=5×360°+219°,

∴2 019°为第三象限角,则sin 2 019°<0,cos 2 019°<0,

∴点A(sin 2 019°,cos 2 019°)位于第三象限,故选C.

6.C　由题意可得,2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),则kπ+<<kπ+(k∈Z),

∴-kπ-<-<-kπ-(k∈Z),

∴-kπ+<π-<-kπ+(k∈Z).

当k为偶数时,π-是第一象限角,当k为奇数时,π-是第三象限角.

综上可得,π-是第一或第三象限的角.

故选C.

7.A　因为sin(π-α)=-,

所以sin α=-,

因为α∈-,0,

所以cos α==.

tan(2π-α)=-tan α=-=-=.故选A.

8.B　将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin的图象,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,即平移后的函数图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,故选B.

9.C　当0≤x< 时,y=cos xtan x≥0,排除B,D;

当<x<π 时,y=-cos xtan x<0,排除A.

故选C.

10.C　将函数y=sinx-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sinx-的图象,然后向左平移个单位长度,

可得y=sinx+-

=sinx-的图象.

11.A　将函数y=sin2x+的图象向右平移个单位长度之后得到的图象对应的解析式为y=sin2x-+=sin 2x,

其单调递增区间满足:2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

令k=0,可得函数的一个单调递增区间为-,,选项A正确,B错误;函数的单调递减区间满足:2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),令k=0,可得函数的一个单调递减区间为,,选项C,D错误.故选A.

12.D　因为f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为,

所以=⇒T=π⇒=π⇒ω=2,

即f(x)=sin(2x+φ),

将f(x)的图象向左平移个单位长度后,得g(x)=sin2x++φ=sin2x++φ,因为g(x)为偶函数,

所以+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,

因为|φ|<,所以φ=,

所以g(x)=cos 2x.

函数g(x)的最小正周期为π,故A错误;g=cos =0,故B错误;g=cos-≠±1,故C错误;当x∈,π时,t=2x∈,2π,y=cos t单调递增,故D正确.故选D.

二、填空题

13.答案　-1

解析　sin+cos=-sin-cos=--=-1,

故答案为-1.

14.答案　

解析　由新定义的知识可知,

I(2 017)=sin++sin++sin++…+sin2 017×+,

由于sin++sin++sin++sin+=0(k∈Z),故I(2 017)=sin+=.

L(2 018)=cos++cos++cos++…+cos+,

由于cos++cos++cos+=0(k∈Z),

故L(2 018)=cos++cos+=-,

据此可得I(2 017)+L(2 018)=.

15.答案　

解析　由函数图象可知A=2,

不妨设=m,则x1+x2=2m,

由三角函数的性质可知2m+φ=2kπ+(k∈Z),

则f(x1+x2 )=2sin[2(x1+x2 )+φ]=2sin(2×2m+φ)=2sin[2×(2m+φ)-φ]=2sin2×2kπ+-φ=2sin(4kπ+π-φ)=2sin φ=,则sin φ=,结合|φ|≤,可得φ=.

16.答案　①②③

解析　sin x≥cos x⇒x∈+2kπ,+2kπ(k∈Z),此时f(x)=sin x∈-,1.

sin x<cos x⇒x∈-+2kπ,+2kπ(k∈Z),此时f(x)=cos x∈-,1,

 即函数f(x)的值域为-,1.故①正确.

由以上推导可知函数f(x)图象的对称轴为x=kπ+,k∈Z.故②正确.

因为f(x+2π)=f(x),所以函数f(x)是周期函数.故③正确.

当x=+2kπ或x=2kπ(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值1.故④错误.

当x∈2kπ+π,2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0.故⑤错误.所以正确的是①②③.

三、解答题

17.解析　sin A+cos A=①,

①式两边平方并整理得2sin Acos A=-,又A∈(0,π),从而cos A<0,A∈,π,∴sin A-cos A

==②,

由①②,可得到sin A=,cos A=,∴tan A=-2-.

18.解析　(1)α=90°=,R=10 cm,设弧长为l,则l=×10=5π(cm),

S弓形=S扇形-S三角形=×5π×10-×102=(25π-50)cm2.

(2)扇形的周长C=2R+l=2R+αR,

∴R=,

∴S扇形=α·R2=α·

=·=·.

令y=α+(0<α<2π),易知函数y=α+在(0,2)上单调递减,在(2,2π)上单调递增,∴ymin=2+=4,此时S扇形最大,为.故当α=2时,扇形的面积最大,最大值为.

19.解析　(1)∵sin θ、cos θ是方程25x2-5x+k=0的两个实数根,

∴

∵1=sin2θ+cos2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ,

∴1=-2×,∴k=-12.

(2)由(1)可得,sin θcos θ=-,

sin θ+cos θ=①,

∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,

∵θ是第二象限角,

∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0,

∴sin θ-cos θ=②,

由①②得sin θ=,cos θ=-,

∴tan θ==-.

20.解析　(1)解法一:由题图可知此函数的图象是由y=sin x的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到的,故φ=,其函数解析式为f(x)=sinx+.

解法二:由题图易知A=1,函数f(x)的周期T=4×-=2π,所以ω==1.又f(x)的图象过点-,0,

则sin-+φ=0.

令-+φ=2kπ,k∈Z,

得φ=2kπ+,k∈Z,

又∵φ∈0,,∴φ=,

∴f(x)=sinx+.

(2)方程f(x)=a在0,上有两个不相等的实数根等价于y=f(x)与y=a的图象在0,上有两个交点.作出函数f(x)=sinx+在0,上的图象,如图.

由图可以看出有两个交点时,a∈,1∪(-1,0).

21.解析　(1)当x∈[0,π]时,sin x≥0,|sin x|=sin x,f(x)=4sin x.

当x∈(π,2π]时,sin x≤0,|sin x|=-sin x,f(x)=-2sin x.

所以f(x)=

画出图象如图所示.

(2)由f(x+2π)=sin(x+2π)+3|sin(x+2π)|=sin x+3|sin x|=f(x),

可知2π为函数f(x)的一个周期.

结合图象可得2π为函数f(x)的最小正周期.

由图可得,当x∈[0,2π]时,函数f(x)的递增区间为,.

又f(x)的最小正周期为2π,所以函数f(x)的递增区间为(k∈Z).

22.解析　(1)由ω+φ=0,ω+φ=π可得ω=2,φ=-,

由2x1-=,2x2-=,2x3-=2π,

可得x1=,x2=,x3=,

又由题表知A=2,

∴f(x)=2sin2x-.

(2)g(x)=f+=2sin ax(a>0),当x∈-,时,ax∈-,,

∵g(x)在-,上是增函数,

∴-,⊆-+2kπ,+2kπ(k∈Z),

∴(k∈Z),

∴(k∈Z).

 ∵a>0,∴-<k<,又k∈Z,∴k=0,

∴0<a≤,∴a的最大值为.