高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试教案

高 三 数 学（第12讲）

主讲教师：孙福明

主审教师：高三数学组

一、              本讲进度

   《三角函数》复习

二、              本讲主要内容

1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；

    2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；

    3、三角函数的图象及性质。

三、              学习指导

    1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

    2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。

设P(x，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，，。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与α之间函数值关系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，变形后得，可以作为降幂公式使用。

三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT（k∈Z，k≠0）也为f(x)周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

5、本章思想方法

（1）等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；

（2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；

（3）分类讨论。

四、              典型例题

例1、  已知函数f(x)=

（1）求它的定义域和值域；

（2）求它的单调区间；

（3）判断它的奇偶性；

（4）判断它的周期性。

解题思路分析：

   （1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z

∴ 函数定义域为，k∈Z

∵

∴ 当x∈时，

∴

∴

∴ 函数值域为[）

   （3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称

∴ f(x)不具备奇偶性

   （4）∵ f(x+2π)=f(x)

∴ 函数f(x)最小正周期为2π

注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；

以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。

例2、  化简，α∈（π，2π）

解题思路分析：

凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式

∵

∴ 原式=

∵ α∈（π，2π）

∴

∴

当时，

∴ 原式=

当时，

∴ 原式=

∴ 原式=

注：

    1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。

    2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。

例3、  求。

解题思路分析：

原式=

注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。

例4、已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。

解题思路分析：

由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-

∴ sinβ-sinα=

又sinα+sinβ=cos400

∴

∵ 00<α<β< 900

∴

∴ sin(β-5α)=sin600=

注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。

例5、（1）已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；

   （2）已知，求的值。

解题思路分析：

（1）从变换角的差异着手。

∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α

∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0

展开得：

13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0

同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=

（2）以三角函数结构特点出发

∵

∴

∴ tanθ=2

∴

注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。

例6、已知函数（a∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。

解题思路分析：

对三角函数式降幂

∴ f(x)=

令

则 y=au

∴ 0<a<1

∴ y=au是减函数

∴ 由得，此为f(x)的减区间

由得，此为f(x)增区间

∵ u(-x)=u(x)

∴ f(x)=f(-x)

∴ f(x)为偶函数

∵ u(x+π)=f(x)

∴ f(x+π)=f(x)

∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π

当x=kπ（k∈Z）时，ymin=1

当x=kπ+（k∈Z）时，ynax=

注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。

五、同步练习

（一）选择题

    1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是

A、y=lgx2        B、y=|sinx|      C、y=cosx      D、y=

2、如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值为

A、  -         B、-1            C、1           D、

    3、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，则此函数解析式为

A、                 B、

C、                  D、

4、已知=1998，则的值为

A、1997          B、1998           C、1999        D、2000

5、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于

A、         B、或      C、或   D、

6、若，则sinx·siny的最小值为

A、-1            B、-             C、        D、

7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是

A、5.5           B、6.5             C、7           D、8

8、若θ∈（0，2π]，则使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是

A、（）      B、（）      C、（）  D、（）

9、下列命题正确的是

A、若α，β是第一象限角，α>β，则sinα>sinβ

B、函数y=sinx·cotx的单调区间是，k∈Z

C、函数的最小正周期是2π

D、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k∈Z

10、函数的单调减区间是

A、               B、

B、              D、 k∈Z

（二）填空题

11、函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。

12、已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0（c为常数），那么tanβ=______。

13、函数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。

14、已知(x-1)2+(y-1)2=1，则x+y的最大值为________。

15、函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。

（三）解答题

16、已知tan(α-β)=，tanβ=，α，β∈（-π，0），求2α-β的值。

    17、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。

    18、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)单调区间；

（3）求f(x)图象的对称轴，对称中心。

六、参考答案

（一）选择题

 1、B   2、B   3、B   4、B   5、A   6、C   7、C   8、C   9、D   10、B

（二）填空题

 11、，k∈Z     12、    13、-4    14、    15、（，0）

（三）解答题

 16、

 17、

 18、（1）T=π

    （2）增区间[kπ-，kπ+π]，减区间[kπ+

    （3）对称中心（，0），对称轴，k∈Z