第一章　三角函数(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．sin 600°＋tan 240°的值是(　　)

A．－           B.

C．－＋        D.＋

2．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)

A.        B.        C.        D.

3．已知tan α＝，α∈，则cos α的值是(　　)

A．±        B.        C．－        D.

4．已知sin(2π－α)＝，α∈(，2π)，则等于(　　)

A.        B．－        C．－7        D．7

5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能取值是(　　)

A.        B．－        C.        D.

6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是(　　)

A.∪         B.∪

C.∪        D.∪

7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)

8．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

9．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)

A．－5 A        B．5A        C．5 A        D．10 A

10．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则(　　)

A．ω＝2，θ＝        B．ω＝，θ＝

C．ω＝，θ＝        D．ω＝2，θ＝

11．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)

A.        B.        C.        D．3

12．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)

A.        B.        C.        D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．

14．方程sin πx＝x的解的个数是________．

15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f()＝________.

16．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．

18．(12分)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．

19. (12分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；

(2)已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．

20．(12分)已知α是第三象限角，f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)的值；

(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．

21．(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的值域．

22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0,0<φ<)的部分图象，如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

第一章　三角函数(A)

答案

1．B　2.D　3.C

4．A　[sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α∈(，2π)，∴cos α＝.

∴＝，故选A.]

5．C　[检验f＝sin是否取到最值即可．]

6．B　[sin α－cos α>0且tan α>0，

∴α∈或α∈.]

7．D　[当a＝0时f(x)＝1，C符合，

当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，

当|a|>1时T<2π，B符合．

排除A、B、C，故选D.]

8．B　[y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos2.]

9．A　[由图象知A＝10，＝－＝，

∴T＝，∴ω＝＝100π.

∴I＝10sin(100πt＋φ)．

(，10)为五点中的第二个点，

∴100π×＋φ＝.

∴φ＝.∴I＝10sin(100πt＋)，

当t＝秒时，I＝－5 A，故选A.]

10．A　[∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝.

∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，

|x2－x1|min＝π，即Tmin＝π，

∴＝π，ω＝2，故选A.]

11．C　[由函数向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω>0，

∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.]

12．A　[∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，即3cos(2×＋φ)＝0，

∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.

∴φ＝－＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值.]

13．(6π＋40) cm

解析　∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π.

∴周长为(6π＋40) cm.

14．7

解析　在同一坐标系中作出y＝sin πx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．

15．0

解析　方法一　由图可知，T＝－＝π，即T＝，

∴ω＝＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，

将(，0)代入上式sin(＋φ)＝0.

∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.

∴f()＝2sin(＋kπ－)＝0.

方法二　由图可知，T＝－＝π，即T＝.

又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝f(x0＋)＝0，∴f()＝f(＋)＝f()＝0.

16．8

解析　

T＝6，则≤t，

∴t≥，∴tmin＝8.

17．解　y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1

＝42－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1，

∴y＝42－2 (－1≤t≤1)．

∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，

ymin＝－2；

当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.

18．解　∵x∈，∴2x＋∈，

∴－1≤cos≤.

当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，

∴a＋3＝4，∴a＝2.

当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，

∴－a＋3＝4，∴a＝－1，

综上可知，实数a的值为2或－1.

19．解　(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝，

因为0≤θ≤，所以θ＝.

由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.

(2)因为点A(，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，

y0＝，所以点P的坐标为(2x0－，)．

又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，且≤x0≤π，

所以cos(4x0－)＝，且≤4x0－≤，

从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.

20．解　(1)f(α)＝＝＝cos α.

(2)∵cos＝cos＝－sin α，

又cos＝，∴sin α＝－.

又α是第三象限角，

∴cos α＝－＝－，

∴f(α)＝－.

(3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝.

21．解　(1)由最低点为M得A＝2.

由x轴上相邻两个交点之间的距离为，

得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.

由点M在图象上得2sin＝－2，

即sin＝－1，

故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

∴φ＝2kπ－(k∈Z)．

又φ∈，∴φ＝，

故f(x)＝2sin.

(2)∵x∈，∴2x＋∈，

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，

故f(x)的值域为[－1,2]．

22．解　(1)由图象易知函数f(x)的周期为

T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.

方法一　由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，

所以函数解析式为f(x)＝sin.

方法二　由图象知f(x)过点，则sin＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈Z.

∴φ＝kπ＋，k∈Z，

又∵φ∈，∴φ＝，

∴f(x)＝sin.

(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．