人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试巩固练习

人教版九年级上册《二次函数》单元质量检测卷

基础训练

1．已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是(    )

A. 正比例函数   B. 一次函数    C. 反比例函数   D. 二次函数

2．设二次函数y1=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx＋e(d≠0)的图象交于点(x1，0)，若函数y=y2＋y1的图象与x轴仅有一个交点，则(     )

A. a(x1－x2)=d　　　　  B. a(x2－x1)=d

C. a(x1－x2)2=d　　　   D. a(x1＋x2)2=d

3．当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x=m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为           ．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为        ．

5．对于两个二次函数y1，y2，满足y1＋y2=2x2＋2x＋8.当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3.请写出两个符合题意的二次函数y2的表达式        (要求：写出的表达式的对称轴不能相同)．

6．抛物线y=2x2－4x＋3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是        ．

7．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)．若抛物线y=x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是        ．

8．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

(1)设AB=x(m)(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；

(2)请你判断谁的说法正确，为什么？

9．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．

(1)求y与x满足的函数表达式(不要求写出x的取值范围)．

(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p最大？

拓展提高

10．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为        元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

11．如图，已知直线y=－x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y=－x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=－x＋3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是                ．

12．如图，抛物线y=－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求A，B，C三点的坐标．

(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．

(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG=2DQ，求点F的坐标．

13．如图，抛物线y=a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处．

(1)求原抛物线的函数表达式．

(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)．

参考答案

1．已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是(D)

A. 正比例函数   B. 一次函数    C. 反比例函数   D. 二次函数

2．设二次函数y1=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx＋e(d≠0)的图象交于点(x1，0)，若函数y=y2＋y1的图象与x轴仅有一个交点，则(B)

A. a(x1－x2)=d　　　　  B. a(x2－x1)=d

C. a(x1－x2)2=d　　　   D. a(x1＋x2)2=d

3．当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x=m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为__3__．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为__1__．

5．对于两个二次函数y1，y2，满足y1＋y2=2x2＋2x＋8.当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3.请写出两个符合题意的二次函数y2的表达式y2=x2＋3，y2=(x＋)2＋3(要求：写出的表达式的对称轴不能相同)．

6．抛物线y=2x2－4x＋3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是y=－2x2－4x－3．

7．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)．若抛物线y=x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是－2＜k＜．

解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的表达式为y=x，

联立消掉y，得x2－2x＋2k=0，

Δ=(－2)2－4×1×2k=0，

即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1.

∵点B的坐标为(2，0)，∴OA=OB=2，

∴点A的坐标为(，)，∴交点在线段OA上．

当抛物线经过点B(2，0)时，×4＋k=0，解得k=－2，

∴要使抛物线y=x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，

实数k的取值范围是－2＜k＜.

8．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

(1)设AB=x(m)(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；

(2)请你判断谁的说法正确，为什么？

解：(1)AB=x(m)，可得BC=69＋3－2x=(72－2x)(m)．

(2)小英说法正确，理由如下：

矩形面积S=x(72－2x)=－2(x－18)2＋648，

∵72－2x＞0，

∴x＜36，

∴0＜x＜36，

∴当x=18时，S取最大值，此时x≠72－2x，

∴面积最大的不是正方形．

9．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．

(1)求y与x满足的函数表达式(不要求写出x的取值范围)．

(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p最大？

解：(1)设y与x满足的函数表达式为y=kx＋b.由题意，得

解得

故y与x满足的函数表达式为y=－3x＋108.

(2)每天获得的利润为p=(－3x＋108)(x－20)=－3x2＋168x－2160=－3(x－28)2＋192.

故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．

拓展提高

10．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为__22__元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

11．如图，已知直线y=－x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y=－x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=－x＋3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是－1，4，4＋2，4－2．

12．如图，抛物线y=－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求A，B，C三点的坐标．

(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．

(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG=2DQ，求点F的坐标．

解：(1)由抛物线y=－x2－2x＋3可知点C(0，3)，

令y=0，则0=－x2－2x＋3，解得x=－3或x=1，

∴点A(－3，0)，B(1，0)．

(2)由抛物线y=－x2－2x＋3=－(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x=－1，

设点M的横坐标为m，则PM=－m2－2m＋3，MN=(－m－1)×2=－2m－2，

∴矩形PMNQ的周长=2(PM＋MN)=2(－m2－2m＋3－2m－2)=－2m2－8m＋2=－2(m＋2)2＋10，

∴当m=－2时矩形的周长最大．

∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC的函数表达式为y=x＋3，

当x=－2时，y=－2＋3=1，则点E(－2，1)，

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM·EM=.

(3)∵点M的横坐标为－2，抛物线的对称轴为x=－1，

∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，

∴DQ=DC，

把x=－1代入y=－x2－2x＋3，得y=4，

∴点D(－1，4)．

∴DQ=DC=.

∵FG=2DQ，

∴FG=4，

设点F(n，－n2－2n＋3)，

则点G(n，n＋3)，

∵点G在点F的上方，

∴(n＋3)－(－n2－2n＋3)=4，解得n=－4或n=1.

∴点F(－4，－5)或(1，0)．

13．如图，抛物线y=a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处．

(1)求原抛物线的函数表达式．

(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)．

解：(1)∵点P与点P′(1，3)关于x轴对称，

∴点P的坐标为(1，－3)．

设抛物线的表达式为y=a(x－1)2＋3，∵其过点A(1－，0)，

∴0=a(1－－1)2－3，解得a=1.

∴抛物线的函数表达式为y=(x－1)2－3，即y=x2－2x－2.

(2)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上，

∴C，D两点纵坐标均为3.

由(x－1)2－3=3，解得x1=1－，x2=1＋，

∴C，D两点的坐标分别为(1－，3)，(1＋，3)，

∴CD=2.

∴“W”图案的高与宽(CD)的比==(或约等于0.6124)．