高中4.1 样本的数字特征教案及反思

样本的数字特征

【教学目标】

1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

【教学重点】

平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

【教学难点】

根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

【教学过程】

一、导入新课

提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。”工资表如下：

这到底是怎么了？（学生思考交流）

教师点出课题：样本的数字特征

二、新知探究

1．提出问题

（1）什么叫平均数？有什么意义？

（2）什么叫中位数？有什么意义？

（3）什么叫众数？有什么意义？

（4）什么叫极差？有什么意义？

（5）什么叫方差？有什么意义？

（6）什么叫标准差？有什么意义？

讨论结果：

（1）一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。数据的平均数为。平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平。

（2）一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势。

（3）一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势。

（4）一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。

（5）方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用表示，通常用公式来计算。反映了数据的离散程度。方差越大，数据的离散程度越大。方差越小数据的离散程度越小。

（6）标准差等于方差的正的平方根，即，与方差的作用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大小。

2．应用示例

例1 某公司员工的月工资情况如表所示：

（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？

解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元。

（2）公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多。

点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用。

变式训练

1.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：

请参照这个表解答下列问题：

（1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分；

（2）若该班这次竞赛的平均分为分，求的值。

解：（1）；

（2）依题意，有解得

例2  甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差。 

解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值。

我们分别计算它们直径的标准差：

由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些。

点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度。

三、课堂检测

1．下列说法正确的是（D  ）

A．甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样。

B．期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好。

C．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好。

D．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好。

2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：

甲的成绩：

乙的成绩：

丙的成绩：

分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差，则有（C）

A．  B． C．  D．

3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是   -3       

四、课堂小结

本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，让学生体会所学内容与现实世界的密切联系。