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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征教学设计
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征教学设计，共6页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
4．形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
教学重难点
【教学重点】
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
【教学难点】
能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学过程
（一）知识回顾
回顾初中所学三数概念：
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
3、平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的值。
（二）新课导入
美国NBA在2011——2012年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就应有相应的数据作为比较依据，即通过样本数字特征对总体的数字特征进行研究．所以今天我们开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征。
（三）新课讲授
探究:众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
思考1:如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出众数的值？举例加以说明。
答:众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标。例如，在2.2.1(一)节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数估计是2.25 t，如图所示：
思考2:如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出中位数的值？举例加以说明。
答:在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值，下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.02 t
思考3:如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？
答:平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数。
思考4:从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
答:因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布的形状，从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关，所以估计的值有一定的偏差。
思考5:根据众数、中位数、平均数各自的特点，你能分析它们对反映总体存在的不足之处吗？
答:(1)众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；
(2)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点；
(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
（四）例题探究
例1 样本(x1，x2，…，xn)的平均数为eq \x\t(x)，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为eq \x\t(y)(eq \x\t(x)≠eq \x\t(y))．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数eq \x\t(z)＝αeq \x\t(x)＋(1－α)eq \x\t(y)，其中0<αA．nm
C．n＝m D．不能确定
答案:A
解析:利用两个样本平均数表示总体平均数，从而确定系数α
eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，eq \x\t(y)＝eq \f(y1＋y2＋…＋ym,m)，
eq \x\t(z)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym,m＋n)，
则eq \x\t(z)＝eq \f(n\x\t(x)＋m\x\t(y),m＋n)＝eq \f(n,m＋n)eq \x\t(x)＋eq \f(m,m＋n)eq \x\t(y)
由题意知0跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数。
解:在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是eq \x\t(x)＝eq \f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq \f(28.75,17)≈1.69(m)
答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m,1.69 m.
例2 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？
解 (1)公司职工月工资的平均数为
eq \x\t(x)＝eq \f(5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20,33)
＝eq \f(69 000,33)≈2 091(元)
若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1 500元，众数是1 500元。
(2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为
eq \x\t(x)＝eq \f(30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20,33)＝eq \f(108 500,33)≈3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元。
(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
反思与感悟 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。
跟踪训练2 某班甲、乙两名学生的高考备考成绩如下：
甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538
乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531
(1)用茎叶图表示两名学生的成绩；
(2)分别求两名学生成绩的中位数和平均分。
解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示。
(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：
甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556
乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为eq \f(536＋538,2)＝537
乙学生成绩的中位数为eq \f(532＋536,2)＝534
甲学生成绩的平均分为
500＋eq \f(12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋56,10)＝537
乙学生成绩的平均分为
500＋eq \f(15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋59,10)＝537
（五）课堂检测
1．下列说法错误的是( )
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．众数是一组数据中出现次数最多的数
答案:B
解析:平均数不大于最大值，不小于最小值。
2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为 ( )
A．21 B．22 C．20 D．23
答案:A
解析:数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值eq \f(x＋23,2)＝22，∴x＝21
3．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a ，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )
A.eq \f(a＋b,2) B.eq \f(3a＋7b,10) C.eq \f(7a＋3b,10) D.eq \f(a＋b,10)
答案;B
解析;前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10。
4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分
答案：85
解析：平均成绩为eq \f(40×90＋50×81,90)＝85
（六）课堂总结
1．一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数。
2．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
3．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点。②中位数左右两边直方图的面积应相等。③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
教学反思
略。成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
职业
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
教学目标
1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
4．形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
教学重难点
【教学重点】
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
【教学难点】
能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学过程
（一）知识回顾
回顾初中所学三数概念：
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
3、平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的值。
（二）新课导入
美国NBA在2011——2012年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就应有相应的数据作为比较依据，即通过样本数字特征对总体的数字特征进行研究．所以今天我们开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征。
（三）新课讲授
探究:众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
思考1:如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出众数的值？举例加以说明。
答:众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标。例如，在2.2.1(一)节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数估计是2.25 t，如图所示：
思考2:如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出中位数的值？举例加以说明。
答:在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值，下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.02 t
思考3:如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？
答:平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数。
思考4:从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
答:因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布的形状，从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关，所以估计的值有一定的偏差。
思考5:根据众数、中位数、平均数各自的特点，你能分析它们对反映总体存在的不足之处吗？
答:(1)众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；
(2)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点；
(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
（四）例题探究
例1 样本(x1，x2，…，xn)的平均数为eq \x\t(x)，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为eq \x\t(y)(eq \x\t(x)≠eq \x\t(y))．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数eq \x\t(z)＝αeq \x\t(x)＋(1－α)eq \x\t(y)，其中0<α
C．n＝m D．不能确定
答案:A
解析:利用两个样本平均数表示总体平均数，从而确定系数α
eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，eq \x\t(y)＝eq \f(y1＋y2＋…＋ym,m)，
eq \x\t(z)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym,m＋n)，
则eq \x\t(z)＝eq \f(n\x\t(x)＋m\x\t(y),m＋n)＝eq \f(n,m＋n)eq \x\t(x)＋eq \f(m,m＋n)eq \x\t(y)
由题意知0
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数。
解:在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是eq \x\t(x)＝eq \f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq \f(28.75,17)≈1.69(m)
答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m,1.69 m.
例2 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？
解 (1)公司职工月工资的平均数为
eq \x\t(x)＝eq \f(5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20,33)
＝eq \f(69 000,33)≈2 091(元)
若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1 500元，众数是1 500元。
(2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为
eq \x\t(x)＝eq \f(30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20,33)＝eq \f(108 500,33)≈3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元。
(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
反思与感悟 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。
跟踪训练2 某班甲、乙两名学生的高考备考成绩如下：
甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538
乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531
(1)用茎叶图表示两名学生的成绩；
(2)分别求两名学生成绩的中位数和平均分。
解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示。
(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：
甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556
乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为eq \f(536＋538,2)＝537
乙学生成绩的中位数为eq \f(532＋536,2)＝534
甲学生成绩的平均分为
500＋eq \f(12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋56,10)＝537
乙学生成绩的平均分为
500＋eq \f(15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋59,10)＝537
（五）课堂检测
1．下列说法错误的是( )
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．众数是一组数据中出现次数最多的数
答案:B
解析:平均数不大于最大值，不小于最小值。
2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为 ( )
A．21 B．22 C．20 D．23
答案:A
解析:数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值eq \f(x＋23,2)＝22，∴x＝21
3．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a ，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )
A.eq \f(a＋b,2) B.eq \f(3a＋7b,10) C.eq \f(7a＋3b,10) D.eq \f(a＋b,10)
答案;B
解析;前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10。
4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分
答案：85
解析：平均成绩为eq \f(40×90＋50×81,90)＝85
（六）课堂总结
1．一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数。
2．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
3．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点。②中位数左右两边直方图的面积应相等。③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
教学反思
略。成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
职业
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
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