初中数学华师大版七年级下册2 用多种正多边形优秀当堂达标检测题

9.3.2用多种正多边形同步练习华师大版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形，那么另外一个是

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

2. 用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种正多边形是正八边形，则另一种正多边形是   

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

3. 平面镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．那么，利用下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是

A. 全等三角形 B. 边长相等的正五边形
C. 边长相等的正三角形和正六边形 D. 边长相等的正方形和正八边形

4. 如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是

A.  B.  C.  D.

5. 一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为

A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形

6. 用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是

A. 三角形 B. 菱形 C. 正六边形 D. 正七边形

7. 用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形如图，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为   

A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

8. 生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是

A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正十二边形

9. 某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是

A. 1、2 B. 2、1 C. 2、2 D. 2、3

10. 下列组合不能密铺平面的是

A. 正三角形、正方形和正六边形
B. 正三角形、正方形和正十二边形
C. 正三角形、正六边形和正十二边形
D. 正方形、正六边形和正十二边形

11. 只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

12. 下面能够铺满地面的正多边形的组合是   

A. 正方形和正五边形 B. 正方形和正六边形
C. 正方形和正七边形 D. 正方形和正八边形

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 在正三角形，正方形，正六边形，正八边形中，任选两种正多边形铺满地面，这样的组合最多能找到_____组．
14. 在地面上某一点周围，a个正三角形，b个正十二边形b均不为恰能铺满地面，则          ．
15. 将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案设菱形中较小角为，平行四边形中较大角为，则y与x的关系式是      ．

16. 把边长为1的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点E，F分别为AD，CD的中点，四边形AHGE是菱形，用这四块纸片拼成四边形要求这四块纸片不重叠无缝隙，则四边形MNPQ的周长是________．
    
     

17. 把边长为1的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点E，F分别为AD，CD的中点，四边形AHGE是菱形，用这四块纸片拼成四边形要求这四块纸片不重叠无缝隙，则四边形MNPQ的周长是________．
     

18. 建筑工人用边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种瓷砖铺设地面，正方形瓷砖分黑白两种颜色，密铺成图的形状用水泥浇筑前，为方便施工，工人要先把瓷砖按图1方式先摆放好，一工人摆放时，无意间将3块黑色正方形瓷砖上翻到一个正六边形的上面，其中三个正方形的一条边分别和正六边形的三条边重合，如图所示，按图方式给各点作上标注，若正方形的边长，则 ______ 不考虑瓷砖的厚度

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

19. 在一个顶点处用边长相等的正三角形和正六边形地板砖能不能铺设地面如果能，试画出几种示意图．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为了美化城市，建设中的某小广场准备用边长相等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，求在每一个顶点周围，正方形、正八边形地砖的块数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图是某广场用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，求第8层中含有正三角形的个数．
     

23. 如图，有四种正多边形所有正多边形的边长相等．

请你用其中两种进行平面镶嵌，有几种选择是哪几种

若两种正多边形构成平面镶嵌，p，q表示这两种正多边形的个数，，表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程求中每种平面镶嵌中p，q的值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】略
 

2.【答案】B
 

【解析】正八边形的每个内角，，

正方形的每个内角是，

能和正八边形组合铺满地面的另一种正多边形是正方形．

故选B．

3.【答案】B
 

【解析】解：A、全等三角形能镶嵌，因为三角形的内角和为；
B、边长相等的正五边形，不能边长相等的正五边形，因为正五边形的内角和为的整数倍不等于；
C、边长相等的正三角形和正六边形，可以镶嵌，比如4个正三角形2个正六边形；
D、边长相等的正方形和正八边形，可以镶嵌，比如一个正方形或2个正八边形；
故选：B．
进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，因此我们只需验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
本题考查了求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：能够铺满地面的图形是内角能凑成，
正三角形一个内角，正方形一个内角，正五边形一个内角，正六边形一个内角，只有正五边形无法凑成．
故选：C．
能够铺满地面的图形是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．
此题主要考查了平面镶嵌知识，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查平面密铺的知识，难度一般，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用多种正多边形镶嵌的几个组合．
正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为若能，则说明才可能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌，据此回答即可．
【解答】
正三角形、正四边形、正六边形的每个内角分别为、、，
又，
另一个为正四边形，
故选B．  

6.【答案】D
 

【解析】解：A、三角形的内角和是，6个能密铺；
B、菱形的内角和是，4个能密铺；
C、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺；
D、正七边形每个内角是：，不能整除，不能密铺．
故选：D．
分别求出三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度  根据正六边形的一个内角为，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
【解答】
解：正六边形的内角度数是：，
则正六边形围成的多边形的内角的度数是：，
根据题意得：，
解得：．
故选B．  

8.【答案】B
 

【解析】解：A、2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为；
B、正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和为的整数倍与的整数倍的和不等于；
C、2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为；
D、2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为；
故选：B．
进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，因此我们只需验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
本题考查了求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，
，
需要正方形2块，正三角形3块．
故选：D．
由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为．
本题考查平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；
B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；
D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
故选：C．
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
 

11.【答案】C
 

【解析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
考查了平面镶嵌密铺，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选C．
 

12.【答案】D
 

【解析】分析
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
详解
解：A、正方形和正五边形内角分别为、，不能构成的周角，不能铺满，故此选项错误；
B、正方形、正六边形内角分别为、，不能构成的周角，不能铺满，故此选项错误；
C、正方形、正七边形内角分别为、，不能构成的周角，不能铺满，故此选项错误；
D、正方形和正八边形内角分别为、，因为，能构成的周角，两个正八边形和一个正方形能铺满，故此选项正确．
故选D．
 

13.【答案】3
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平面镶嵌，解这类题，除了掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，还可列二元一次方程看是否有正整数解来判断，本题还涉及正多边形的性质及分类讨论思想．正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌．依此进行判断即可．
【解答】
解：正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，
，
正三角形，正方形能组合；
正六边形的每个内角是，正三角形的每个内角是．
，或，
正三角形，正六边形能组合；
正八边形的每个内角为：，正三角形的每个内角是，
假设有m个正八边形和n个正三角形能密铺，
则，，
显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是．
假设有m个正方边形和n个正六边形能密铺，
，，
显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角是，正八边形的每个内角为：，，
正方形，正八边形能组合；
正八边形的每个内角为：，正六边形的每个内角是．
假设有m个正八边形和n个正六边形能密铺，
，，
显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满．
故答案为3．  

14.【答案】3
 

【解析】由镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角的和为，可先求出a，b的值，从而得出的值．
正三角形的每个内角是，正十二边形的每个内角是，
，
，，
．
 

15.【答案】
 

【解析】如图，根据菱形的性质得出，，

，即，
，即．

16.【答案】或或4
 

【解析】解：如图所示：

图1的周长为；
图2的周长为．
因为原正方形的周长为4，
故四边形MNPQ的周长是或或4．
故答案为：或或4．
先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．注意不可遗漏原正方形的情况．
本题考查了图形的剪拼，平面镶嵌密铺，属于中档题．
 

17.【答案】或或4
 

【解析】解：如图所示：

图1的周长为；
图2的周长为．
又原正方形的周长为4，
故四边形MNPQ的周长是或或4．
故答案为：或或4．
先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解，注意原正方形也符合题意要求．
本题考查了图形的剪拼，平面镶嵌密铺，关键是得到四边形要求这四块纸片不重叠无缝隙的各种情况．
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图中，过点M作于W，连接BL，过点B作于Q，过点L作于R，于N．
由题意，，
，
，
，
在中，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形ANLR是矩形，
，，
，

故答案为：
如图中，过点M作于W，连接BL，过点B作于Q，过点L作于R，于解直角三角形想办法求出MN，NL，可得结论．
本题考查平面镶嵌，解直角三角形，正方形，正六边形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

19.【答案】解：能．
正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，如果在同一个顶点处用x个正三角形，y个正六边形，可得 ，化简，得因为x，y都是正整数，所以只有当，或，时，上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或者4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图和图所示．

【解析】略
 

20.【答案】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，
已知正多边形的边数为x、y、z，
那么这三个多边形的内角和可表示为：，
两边都除以180得：，
两边都除以2得：．
 

【解析】本题考查了平面镶嵌密铺解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．
根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．
 

21.【答案】解：正方形的每个内角是，正八边形的每个内角为：．
，
正方形、正八边形地砖的块数分别是1，2．
 

【解析】略
 

22.【答案】解：
由题意易知，从里向外的第1层含有6个正三角形，
第2层含有18个正三角形，第3层含有30个正三角形

所以第n层含有个正三角形．
当时，，故第8层中含有90个正三角形．
 

【解析】略
 

23.【答案】解：
有两种：正三角形和正方形、正三角形和正六边形．

当这两种正多边形是正三角形和正方形时，
为正三角形的个数，q为正方形的个数，即．

因为p，q是正整数，所以，．
当这两种正多边形是正三角形和正六边形时，
为正三角形的个数，q为正六边形的个数，
即．

因为p，q是正整数，所以，或，．

【解析】略