高中人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案

3．3　直线的交点坐标与距离公式

3.3.1　两条直线的交点坐标

3.3.2　两点间的距离公式

Q

小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，用向量的方式来解决．

X

1．两条直线的交点坐标

(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．

(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．

一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组

．

当方程组__有唯一__解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；

当方程组__无__解时，l1与l2平行；

当方程组__有无数组__解时，l1与l2重合．

2．两点间的距离公式

两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝____．

3．坐标法

(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．

(2)步骤：①建立__坐标系__，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．

Y

1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　B　)

A．(3，2)　　　　　　　 B．(2，3)

C．(－2，－3)  D．(－3，－2)

[解析]　解方程组，得.故选B．

2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝__5__.

[解析]　|MN|＝＝5．

3．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程.

[解析]　由方程组，解得．

∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，

∴直线l的斜率k＝－3，根据点斜式可得y－(－)＝－3[x－(－)]．

即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0．

4．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　B　)

A．2x＋y＝0  B．2x－y＝0

C．x＋2y＝0  D．x－2y＝0

[解析]　解法1：由，

解得，

∴kl＝2.∴l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0．

解法2：设l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0．

∵l过原点，

∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l方程为2x－y＝0．

H

命题方向1　⇨两直线的交点问题

典例1 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：

(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；

(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；

(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．

[思路分析]　题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．

[解析]　(1)解方程组，得，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．

(2)解方程组，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．

所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．

(3)解方程组，①×2得2x－2y＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．

『规律方法』　两条直线相交的判定方法：

(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；

(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．

〔跟踪练习1〕 

(1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为(　C　)

A．(－1，)　　　 B．(1，)

C．(，1)  D．(－1，－)

(2)若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为(　C　)

A．6  B．－24

C．±6  D．以上都不对

[解析]　(1)联立方程组，

解得，故交点为(，1)．

(2)分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，

由题意得－＝－，

解得m＝±6.

命题方向2　⇨平面上两点间的距离

典例2 已知A(a，3)和B(3，3a＋3)的距离为5，求a的值.

[思路分析]　利用两点间距离公式列方程解得a的值．

[解析]　∵|AB|＝＝5，

即5a2－3a－8＝0，∴a＝－1或a＝．

『规律方法』　两点间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．

〔跟踪练习2〕 

已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为__(－5，0)或(11，0)__．

[解析]　设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10得

＝10

解得x＝11或x＝－5．

∴点P的坐标为(－5，0)或(11，0)．

典例3 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0).

(1)判定△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积．

[解析]　(1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证

解法一：∵|AB|＝＝＝2，

|AC|＝＝，

|BC|＝＝＝5，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

解法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝，

∴kAB·kAC＝－1，

∴AB⊥AC，

∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

(2)∵∠A＝90°，

∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5．

『规律方法』　三角形形状的判定方法：

(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的方向．

(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．

〔跟踪练习3〕 

已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)则△ABC的形状为(　C　)

A．等边三角形　　　　 B．直角三角形

C．等腰三角形  D．等腰直角三角形

[解析]　∵|AB|＝＝2，

|AC|＝＝2，

|BC|＝＝2，

∴|AC|＝|BC|．

又∵A，B，C三点不共线，∴△ABC为等腰三角形．

Y 　因考虑问题不全面而致误

典例4 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为(　D　)

A．a≠±1　　　　　 B．a≠1且a≠－2

C．a≠－2  D．a≠±1且a≠－2

[错解]　选A或选B

[错因分析]　在解题过程中，若由①处得a≠1且a≠－2，错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．

由②处得a≠±1，错选A，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．

[解析]　因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．

(1)若三条直线交于一点，由

解得，将l2，l3的交点(－a－1，1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2.

(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，

当a＝1时，l1与l2重合．

(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，

当a＝1，l2与l3重合．

(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，

当a＝1时，l1与l3重合．

综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；

当a＝－2时，三条直线交于一点

所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2．

[正解]　D

〔跟踪练习4〕 

若三条直线l1：4x＋y＋4＝0，l2：mx＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成三角形，求m的值．

[错解]　当三条直线中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形．显然l1与l3不平行．当l1∥l2时，m＝4；当l2∥l3时，m＝－1．

[错因分析]　错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标，同时满足第三条直线即可．

[正解]　显然l1与l3不平行，当l1∥l2或l2∥l3时，不能构成三角形，此时对应m的值分别为m＝4，m＝－1；当直线l1，l2，l3经过同一个点时，也不能构成三角形，由得，代入l2的方程，得－m＋1＝0，∴m＝1．

综上可得m＝4或－1或1．

[警示]　解决三条直线不能围成三角形的问题时，除了三条直线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况．

X 　

直经方程的设法技巧与直线系方程

直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线．

(1)已知l：y＝kx＋b，与l平行的直线方程设为y＝kx＋b1；与l垂直的直线方程设为y＝－x＋b1(k≠0)．

(2)已知l：Ax＋By＋c＝0，与l平行的直线方程设为Ax＋By＋C1＝0，与l垂直的直线方程设为Bx－Ay＋C2＝0．

(3)过定点P(x0，y0)的直线方程(斜率存在时)可设为y－y0＝k(x－x0)．

(4)与x轴交于点(x0，0)的直线方程可设为x＝my＋x0．

(5)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2相交于点P，则过点P的直线方程设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2)．

(6)斜率为k的直线方程设为y＝kx＋b．

典例5 已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程.

[思路分析]　可先求l1与l2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．

[解析]　解法一：解方程组：，得x＝1，y＝2，∴l1与l2的交点为(1，2)，

∵直线l过点(1，2)且与直线3x＋4y－2＝0平行，

∴设方程为3x＋4y＋c＝0，把(1，2)代入得：c＝－11，

∴所求方程为：3x＋4y－11＝0．

解法二：∵l过l1与l2的交点，∴设l的方程为x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0，

即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0，

∵l与直线3x＋4y－2＝0平行，

∴，∴λ＝10，

∴l的方程为x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0，即3x＋4y－11＝0．

〔跟踪练习5〕 

求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．

[解析]　解法一：设过两直线交点的直线方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0．

整理为一般式，得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0，其斜率为－.而直线6x－7y－3＝0的斜率为，由垂直条件可得×(－)＝－1，解得λ＝2．

故所求直线方程为(3＋2×2)x＋(4＋2)y－2＋2×2＝0，即7x＋6y＋2＝0．

解法二：将两直线方程联立得解得即两直线的交点坐标为(－2，2)．

由于所求直线与直线6x－7y－3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x＋6y＋m＝0.而此直线过点(－2，2)，所以7×(－2)＋6×2＋m＝0，所以m＝2．

故所求的直线方程为7x＋6y＋2＝0．

K

1．直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0相交，则交点是(　B　)

A．(2，－2)　 B．(－2，2)　

C．(－2，1)　 D．(－1，2)

[解析]　由方程组，

解得，即l1与l2的交点坐标为(－2，2)．

2．已知点A(2k，－1)，B(k，1)，且|AB|＝，则实数k等于(　A　)

A．±3　　 　  B．3　　 　

C．－3　　 　  D．0

[解析]　由题意得＝，

解得k＝±3．

3．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　A　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．

∴|CD|＝＝，

故选A．

4．不论λ取何值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0过定点__(－1，－2)__.

[解析]　把直线方程整理为2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0，解方程组，得，所以，不论λ取何值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0过定点(－1，－2)．