人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和学案

5.2.2 等差数列(2)    导学案

1.理解等差数列前n项和公式的推导过程.

2.掌握等差数列前n项和公式及性质,并能解决相应问题.

3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中的三个求另外的两个.

4.理解等差数列前n项和公式的二次函数特征.

重点：等差数列的前n项和的应用及其函数特征

难点：等差数列前n项和公式的推导方法

一、等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的前n项和为Sn,

对前n项和公式的几点说明

(1)等差数列的两个求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,方法就是解方程组,这也是等差数列的基本问题形式.

(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=.用此公式时,有时要结合等差数列的性质.

(3)当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式Sn=na1+d.

二、等差数列的前n项和公式与函数的关系

由于Sn=na1+d=n2+n,

当d≠0时,此公式可看作二次项系数为,一次项系数为,常数项为0的二次函数,其图像为抛物线y=x2+x上的点集,坐标为(n,Sn)(n∈N+).

因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值.

提示:(1)Sn=na1+(n-1)d可变形为Sn=dn2+n,令d=A,a1-=B,则Sn=An2+Bn(A为常数),并且有如下结论:数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).

(2)=a1+(n-1),这说明是等差数列.

一、    问题探究

问题1.为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示.

        如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？

利用这一小节我们要学习的等差数列前项和的公式，我们可以快速地解答情景中的问题.

探究1.如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层.

（1）在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？

（2）你能得出一般等差数列前项和的公式吗？

探究2. 上述等差数列的前项求和公式与首项和第项有关，你能将其改写成与公差有关的形式吗？

探究3. （1）等差数列中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？

（2）如果数列{an}的前项和的公式是

其中，A,B,C都是常数，那么{an}一定是等差数列吗？为什么？

二、典例解析

例1.已知等差数列的公差为2，且，求这个等差数列前20项的和.

例2.求等差数列

5，12,19,26，…，201，208.的各项之和.

等差数列的求解策略

在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,

要注意:①选择适当的公式;②合理利用等差数列的有关性质.

跟踪训练1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=　　　　. 

例3.已知数列的前项和为

（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；

（2）求的最小值，并求取最小值时的值.

解等差数列的前n项和最大(最小)值问题的常用方法有:

(1)二次函数法:由于Sn=n2+n是关于n的二次式,因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值,但要注意这里的n∈N+.

(2)图像法:可利用二次函数图像的对称性来确定n的值,使Sn达到最大(或最小).

(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an≥0时,Sn≥Sn-1;当an≤0时,Sn≤Sn-1,因此当a1>0,且d<0时,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;当a1<0,d>0时,满足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.

跟踪训练2. 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.

例4.李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄” ，从8月1日开始，每个月的1日都存入1000元，共存入3年.
（1）已知当年 “教育储蓄”的存款月利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？
（2）已知当年同档次的“零存整取” 储蓄的月利率是1.725‰，则李先生办理 “教育储蓄”比 “零存整取”多收益多少元？

1.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,若S4=a6,则=(　　)

A. B.7 C.25 D.35

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知13a3+S13=52,则S9=(　　)

A.9 B.18      C.27     D.36

3.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则(　　)

A.S4<S5             B.S4=S5          C.S6<S5                D.S6=S5

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为　　　　. 

5.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.

(1)求通项an;

(2)若Sn=242,求n.

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、    问题探究

探究1.

问题探图中这些钢管，从上到下每一层的数量构成一个等差数列，这个数列的首项为 公差,而且该数列共有8项，第8项为

设想在图的钢管旁边再放同样多数量的钢管，但是倒过来放置，如图所示.这时每一层的钢管数是相同的，都是4+11根，因此这些钢管的总数为.

问题探设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，

一般等差数列前项的和可以用类似的方式得到，
设等差数列的前项和为,即

+…+,  ①
显然，

+…+,②

又因为根据等差数列的性质有

=…,
所以①②把两边分别相加，可得

=),因此=

探究2.因为,所以等差数列前项求和公式也可以改写为=

由此可知，前述情境与问题中的椅子总数为

=456.

探究3.

= （ ）

如果记（ ）

则可以看出

（2）如果数列{an}的前项和的公式是

由（1）知当C=0时， {an}是等差数列。

二、    典例解析

例1.解：由等差数列的通项公式可得29=，

由此可解得

因此= =200.

例2.解：可以看出，所求数列是公差为7的等差数列.

设共有项，则208=5，

解得 因此各项之和为

=3195.

跟踪训练1.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

由题意,得4a1+d=14,

又=30,

联立解得a1=2,d=1,

所以S9=9×2+×1=54.

例3.解：（1）当时，有

当时，有

==

又因为，所以时=

也成立，因此数列的通项公式为=

因为=

所以是等差数列.

（2）（方法一）因为

,

又因为是正整数，所以当或8时，最小，最小值是

（方法二）由= 可知数列是递增的等差数列，而且首项28<0

令可得，解得，而且

由此可知，或8时，最小，最小值是= 112.

跟踪训练2. 分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项.

解:(方法一)由S17=S9,得

25×17+(17-1)d=25×9+(9-1)d,

解得d=-2,

∴Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169,

由二次函数的性质得当n=13时,Sn有最大值169.

(方法二)先求出d=-2(同方法一).

∵a1=25>0,

由

∴当n=13时,Sn有最大值169.

(方法三)先求出d=-2(同方法一).

由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,

又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,

故a13+a14=0.

∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.

故n=13时,Sn有最大值169.

(方法四)先求出d=-2(同方法一),则Sn的图像如图所示,

由S17=S9知,图像的对称轴n==13,

故当n=13时,Sn取得最大值169.

例4.解:每1000元“教育储蓄” 存一个月能得到的利息是

第1个1000元存36个月的利息

第2个1000元存35个月得利息

…….

第36个1000元存一个月的利息

因此3年后李先生获得利息

+ +…+ =

所以本息何为每1000元“零存整取” 存一个月能得到的利息是

因此，若“零存整取”，3年后李先生获得利息，

+ +…+ =

因此李先生多收益，

元

即李先生办理 “教育储蓄”比“零存整取” 多收益649.35元.

达标检测

1.解析:由题意可得4a1+6d=a1+5d⇔-3a1=d,

所以=25.

答案:C

2.解析:因为S13==13a7,

所以13a3+S13=13a3+13a7=52,

∴a3+a7=4,

∴a5==2,

∴S9==9a5=9×2=18.

答案:B

3.解析:(方法一)设该等差数列的首项为a1,公差为d,

则有解得

从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.

从而有S4=S5.

(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,

所以a5=0,从而有S4=S5.

答案:B

4.答案:5

5.解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组

解得a1=12,d=2.

∴an=2n+10.

(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.

解得n=11或n=-22(舍去).