人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试随堂练习题

阶段重点强化练(四)

(60分钟　100分)

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　)

A．一个圆       B．两个半圆

C．两个圆      D．半圆

【解析】选A.|x－1|＝⇒ (x－1)2＋(y－1)2＝1，表示一个圆．

2．已知椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1    B．＋＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

【解析】选B.由已知椭圆的焦点为(±，0)，

所以c＝.又因为椭圆的离心率为，

所以＝.所以a＝5.所以b2＝a2－c2＝20.

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

3．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，

所以m＋n＝1且＝e2－1＝3，

解得m＝，n＝.所以mn＝.

4．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率是(　　)

A．    B．    C．    D．5

【解析】选B.由双曲线焦点在y轴上，

设方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则渐近线方程为y＝±x＝±x，

所以＝，所以＝，所以c2＝a2＋b2＝5a2，

所以e2＝＝5，所以e＝.

5．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)

A．x2＝2y－1    B．x2＝2y－

C．x2＝y－    D．x2＝2y－2

【解析】选A.设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，

则y0＝x，又F(0，1)，所以

所以，代入y0＝x

得2y－1＝(2x)2化简得x2＝2y－1.

6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)

A．4    B．8    C．8    D．16

【解析】选B.

如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4).

设P(x0，4)，代入抛物线方程y2＝8x，

得8x0＝48，

所以x0＝6，

所以|PF|＝x0＋2＝8.

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

7．对于双曲线C1：－y2＝1与双曲线C2：y2－＝1的下列说法正确的是(　　)

A．它们的实轴长和虚轴长相同

B．它们的焦距相同

C．它们的渐近线相同

D．若它们的离心率分别为e1，e2，那么＋＝1

【解析】选BCD.A中，C1的实轴长、虚轴长分别为4和2，而C2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故A错误；B中，C1，C2的焦距均为2c＝2＝2.故B正确；C中，C1，C2的渐近线方程均为y＝±x，故C正确．D中，C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，这里＋＝＋＝1.故D正确．

8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有(　　)

A．渐近线方程为y＝±x

B．渐近线方程为y＝±x

C．∠MAN＝60°

D．∠MAN＝120°

【解析】选BC.双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，离心率为＝，

则＝＝1＋＝，

则＝，＝±，

故渐近线方程为y＝±x，

取MN的中点P，连接AP，利用点到直线的距离公式可得d＝AP＝，

则cos ∠PAN＝＝＝，

所以cos ∠MAN＝cos 2∠PAN＝2×－1＝，则∠MAN＝60°.

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确的答案填在题中的横线上

9．椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．

【解析】由已知2c＝6，

所以c＝3，而c2＝9，

所以20－k＝9或k－20＝9，

所以k＝11或k＝29.

答案：11或29

10．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．

【解析】由题意知，m<0，双曲线mx2＋y2＝1化为标准形式y2－＝1，故a2＝1，b2＝－，所以a＝1，b＝，则由2＝2×2，解得m＝－.

答案：－

11．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．

【解析】由＋＝1知，a＝5，b＝4，

所以c＝3，

即F1(－3，0)，F2(3，0)，

所以|PF2|＝|F1F2|＝6.

又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，

所以|PF1|＝10－6＝4，

于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8.

答案：8

12．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．

【解析】不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，F2的坐标为(c，0)，P点坐标为，

由题意知|PF2|＝|F1F2|，

所以＝2c，a2－c2＝2ac，＋2－1＝0，

解得＝±－1，负值舍去．

答案：－1

13．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．

【解析】将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，

得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，

则Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，

所以a＞－2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，

所以|AB|＝＝≤8，

即≤1.

又a＞－2，所以－2＜a≤－1.

答案：(－2，－1]

14．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．

【解析】因为a2＝9，b2＝2，

所以c＝＝＝.

所以|F1F2|＝2，

又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝2，

又由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝－，

所以∠F1PF2＝120°.

答案：2　120°

四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．

15．(10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．

【解析】由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，

所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)，

因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，

设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

由题设条件及双曲线的性质，得

解得

故所求双曲线的方程为－y2＝1.

16．(10分)已知动圆C过定点F(0，1)，且与直线l：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？

【解析】(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，

所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，

所以所求轨迹的方程为x2＝4y.

(2)由题意易知直线l2的斜率存在，

又抛物线方程为x2＝4y，

当直线AB斜率为0时|PQ|＝4.

当直线AB斜率k不为0时，

设中点坐标为(t，2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则有x＝4y1，x＝4y2，两式作差得x－x＝4(y1－y2)，即得k＝＝，

则直线方程为y－2＝(x－t)与x2＝4y

联立得x2－2tx＋2t2－8＝0.

由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，

|PQ|＝

＝

＝

＝≤6，即|PQ|的最大值为6.

17．(10分)过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a，0)，B(－a，0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．

【解析】(1)由已知得b＝1，＝，

解得a＝2，c＝，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

椭圆的右焦点为(，0)，

此时直线l的方程为y＝－x＋1，

代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0，

解得x1＝0，x2＝，

代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，

所以D点的坐标为.

故|CD|＝＝.

(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．

设直线l的方程为y＝kx＋1，

代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，

解得x1＝0，x2＝，

代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，

所以D点坐标为.

又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)，

联立解得，

因此Q点坐标为(－4k，2k＋1).

又P点坐标为，

所以·＝·(－4k，2k＋1)＝4.

故·为定值．