人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步练习题

阶段重点强化练(三)

(60分钟　100分)

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．两圆x2＋y2－2x＋6y＋2＝0，x2＋y2＋4x－2y－4＝0的公共弦所在的直线方程为(　　)

A．3x－4y－3＝0　　　　 B．4x＋3y＋5＝0

C．3x＋4y＋9＝0      D．4x－3y＋5＝0

【解析】选A.根据题意，两圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋2＝0，x2＋y2＋4x－2y－4＝0，

则有，变形可得3x－4y－3＝0；

即两个圆的公共弦所在的直线方程3x－4y－3＝0.

2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1     B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2     D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

【解析】选D.设圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝m(m>0)，且圆过原点，即(0－1)2＋(0－1)2＝m(m>0)，得m＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．点P，Q在圆x2＋y2＋kx－4y＋3＝0上(k∈R)，且点P，Q关于直线2x＋y＝0对称，则该圆的半径为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．2

【解析】选B.由题意可得圆的圆心坐标为：，再由圆上的点关于直线对称可得，直线过圆心，所以2·＋2＝0，解得k＝2，所以圆的半径r＝＝＝.

4．圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x轴所得弦的长度等于(　　)

A．2    B．2    C．2    D．4

【解析】选B.令y＝0，则圆的方程转换为x2＋4x＋1＝0，

所以x1＋x2＝－4，x1x2＝1，

所以|AB|＝|x1－x2|＝＝2.

5．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件       D．既不充分又不必要条件

【解析】选A.由k＝1时，圆心到直线l：y＝x＋1的距离d＝.所以弦长为.

所以S△OAB＝××＝.

所以充分性成立，由图形的对成性当k＝－1时，△OAB的面积为.所以必要性不成立．

6．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)

A．        B．－或

C．或      D．或

【解析】选C.圆的半径为2，由弦长可得圆心到直线的距离d＝＝，而圆心到直线的距离d＝＝，解得k＝±，所以直线的倾斜角为：或.

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

7．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(　　)

A．m∥l        B．m⊥l

C．m与圆相离      D．m与圆相交

【解析】选AD.直线OP的斜率为，直线l的斜率为－，直线l的方程为：ax＋by＝a2＋b2，

又P(a，b)在圆外，

所以a2＋b2＞r2，故m∥l，圆心(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝＜＝|r|，故m与圆相交．

8．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　)

A．公共弦AB所在直线方程为x－y＝0

B．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0

C．公共弦AB的长为

D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1

【解析】选ABD.对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；

对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为，kAB＝1，

则线段AB中垂线斜率为－1，即线段AB中垂线方程为：y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；

对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1到x－y＝0的距离为d＝＝，半径r＝1

所以|AB|＝2＝，故C不正确；

对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1到x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确的答案填在题中的横线上

9．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相内切，则圆C的方程是________．

【解析】两圆的圆心距为：＝5，

设所求圆的半径为r(r>0)，由两圆内切的充分必要条件可得：|r－1|＝5，

据此可得r＝6，圆C的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝36.

答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝36

10．若圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与圆C：x2＋y2＋ax＋by－7＝0(a，b，r为常数)，关于直线x－y＋2＝0对称，则a的值为________，r的值为________．

【解析】因为圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，所以圆心为O(0，0)，半径为r，又因为圆C：x2＋y2＋ax＋by－7＝0(a，b，r为常数)，所以圆心为C，

由题意可知，C与O(0，0)关于x－y＋2＝0对称，且两圆的半径相等．

则解可得，a＝4，b＝－4，

此时C：x2＋y2＋4x－4y－7＝0的半径为，

所以r＝.

答案：4　

11．已知a、b为正实数，直线x＋y＋1＝0截圆(x－a)2＋(y－b)2＝4所得的弦长为2，则ab的最大值为________．

【解析】因为直线x＋y＋1＝0截圆(x－a)2＋(y－b)2＝4所得的弦长为2，且圆的半径为2.

故圆心(a，b)到直线的距离d＝＝.

故＝，

因为a、b为正实数，故a＋b＝1，

所以ab≤＝.

当且仅当a＝b＝时取等号．

答案：

12．已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，则圆C的方程为________．

【解析】因为kAB＝，AB中点为(0，－4)，

所以AB中垂线方程为y＋4＝－2x，

即2x＋y＋4＝0，

解方程组

得

所以圆心C为(－1，－2).

根据两点间的距离公式，得半径r＝，

因此，所求的圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10

13．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝m(m>0)，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1.则m的取值范围是________．

【解析】圆C：x2＋y2＝4的半径为2，圆心坐标为：(0，0)

设圆心(0，0)到直线l：x＋y＝m的距离为d，

要想圆C上恰有两个点到直线l的距离为1，只需1<d<1＋2，

即1<<3<|m|<3，

而m>0，所以<m<3.

答案：(，3)

14．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．

【解析】由题意圆L与圆S关于原点对称，

设S(a，0)(a>0)，则＝2＋3，a＝4，

即S(4，0)，所以L(－4，0).

设方程为y＝kx(k≠0)，

则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，

则d2＝4(4－d)＝4(4－d)＝4(9－d)，

即有4－＝4－＝9－

解得k2＝，

则d2＝4(4－)＝即d＝.

答案：

四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．

15．(10分)已知圆C经过点A(－1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x－y＋1＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)求经过圆上一点A(－1，3)的切线方程．

【解析】(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，

圆心C在直线x－y＋1＝0上，则有a－b＋1＝0，

圆C经过点A(－1，3)，B(3，3)两点，

则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，

则有，解可得b＝2；

则圆心的坐标为(1，2)，r2＝|AC|2＝4＋1＝5，

则圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5；

(2)根据题意，有KAC＝＝－，则切线的斜率k＝2，则切线的方程为y－3＝2(x＋1)，变形可得2x－y＋5＝0.

16．(10分)已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x＋4y－1＝0被圆M截得的弦长为2，且圆心M在直线l的右上方．

(1)求圆M的方程；

(2)设A(0，t)，B(0，6－t)(2≤t≤4)，若圆M是△ABC的内切圆，求AC，BC边所在直线的斜率(用t表示)；

(3)在(2)的条件下求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．

【解析】(1)设圆心M(a，0)，由已知得M到l：3x＋4y－1＝0的距离为＝1，所以＝1.

又因为M在l的右上方，所以3a－1＞0，

所以3a－1＝5，所以a＝2，

故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.

(2)设AC斜率为k1，BC斜率为k2，

则直线AC的方程为y＝k1x＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t－6.

由于圆M与AC相切，所以＝2，

所以k1＝；同理，k2＝.

(3)联立两条直线方程得C点的横坐标为，

因为|AB|＝t－(t－6)＝6，

所以S＝×6＝

由(2)得：k2－k1＝＋

因为2≤t≤4，所以－9≤t2－6t≤－8，

所以－≤≤－，

所以≤k2－k1≤，

所以≤≤

所以Smax＝24，此时t2－6t＝－8，t＝2或t＝4.

综上：△ABC的面积S的最大值为24，此时t＝2或t＝4.

17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋4)2＋(y－2)2＝20与y轴交于O，P两点，圆C2过O，P两点且与直线l1：y＝－x相切．

(1)求圆C2的方程；

(2)若直线l2：y＝kx与圆C1，圆C2的交点分别为点M，N.求证：以线段MN为直径的圆恒过点P.

【解析】(1)由题意令x＝0，代入圆C1中可得y1＝0，y2＝4，可得：O(0，0)，P(0，4)，

设圆C2的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心C2坐标，

将O，P点代入可得：

解得F＝0，E＝－4，

由题意可得OC2⊥l1，

所以＝2，可得D＝－2，

所以圆C2的方程为：x2＋y2－2x－4y＝0；

(2)由题意可得k≠－且k≠2，

联立与圆C1的方程：

整理得：(1＋k2)x2＋(8－4k)x＝0，

可得M，

联立与圆C2的方程：，

整理得：(1＋k2)x2－(2＋4k)x＝0，

可得N，

因为kPM＝＝－，kPN＝＝，

所以kPM·kPN＝－1，

即PM⊥PN，

所以以线段MN为直径的圆恒过点P.