浙教版八年级下册5.3 正方形课后作业题

5.3正方形同步练习浙教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB上一点，且，F为BC边上的一个动点，连接EF，以EF为边向左侧作等腰直角三角形FEG，，，连接AG，则AG的最小值为      

A.
B.
C. 2
D. 1

2. 如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接若，，则   

A. 25 B.  C. 12 D.

3. 如图，正方形ABCD的边长为m，Q为CD边上异于C，的一个动点，AQ交BD于点M，过M作交BC于点N，作于点P，连接NQ，下列结论：
   ；；的周长为2m；
   其中一定成立的是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，把两个边长分别为1，2的小长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个正方形中间空心部分记为正方形下列说法错误的是

A. 小正方形的边长为1
B. 每个直角三角形的面积为1
C. 大正方形ABCD面积是小正方形面积的4倍
D. 大正方形ABCD的边长为

5. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点下列结论：≌；；当时，其中正确结论的序号是

A.
B.
C.
D.

6. 在菱形ABCD中，，若以BD为边长的正方形BEFD的面积为4，则菱形ABCD的周长是

A. 4
B. 8
C.
D.

7. 如图，将平行四边形ABCD的变成直角，则平行四边形ABCD变成

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

8. 矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是

A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分

9. 如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作交BC的延长线于点F，连结若，则EF的值为

A. 3
B.
C.
D. 4

10. 已知四边形ABCD中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是

A.  B.  C.  D.

11. 正方形的对角线等于4，则此正方形的面积等于

A. 8 B. 16 C. 6 D. 12

12. 对角线相等且互相垂直的四边形一定是

A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. A、B、C答案都不对

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为______．
    
     

14. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____．
    
    
     

15. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作于点F、于点E，若，，则EF的长为_______．

16. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，，F是AE的中点，过F点作，交CD，AB于点G，H，交对角线AC于点P，则图中四边形CEFP的面积是______．
    
     

17. 如图，已知AC，BD是正方形ABCD的对角线，CE平分交BD于点E，，则正方形的边长为______．
    
     

三、计算题（本大题共5小题，共30.0分）

18. 已知点E是正方形ABCD内一点，连接AE，CE．
    如图1，连接BE，过点A作于点F，若，，四边形ABCE的面积为．
    证明：；
    求线段AE的长．
    如图2，若，，，求线段AE，CE的长．

19. 附加题：如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．
    找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；
    求AF的长．
    
     

20. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作，且，连接CP．
    

如图1，若四边形ABCD是矩形，判断四边形CODP的形状，并说明理由；

如图2，若四边形ABCD是菱形，直接写出四边形CODP的形状；

如图3，若四边形ABCD是正方形，直接写出四边形CODP的形状．






 

21. 在中，沿图示的中位线DE剪一刀，拼成如图1所示的平行四边形请仿上述方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示：
    在中，若，沿着中位线剪一刀，可拼成矩形或等腰梯形，请将拼成的图形画在图2位置只需画一个；
    在中，若，沿着中位线剪一刀，可拼成菱形，并将拼成的图形画在图3位置；
    在中，需增加条件______，沿着中位线剪一刀，拼成正方形，并将拼成的图形和符合条件的三角形一同画在图4位置；
    在中，若沿着某条线剪一刀，能拼成等腰梯形，请将拼成的图形画在图5位置保留寻求剪裁线的痕迹．
     

22. 如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
    求证：≌； 
    求GC的长．
    
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】【主知识点】 图形的性质三角形等腰直角三角形；图形的性质四边形正方形的性质；图形的性质三角形全等三角形的判定与性质；
【次知识点】 无
【难度】 一般
【答案】D
【解析】
解：如图，过点G作于H，过点G作，

四边形ABCD是正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
当时，AG有最小值，
的最小值，
故答案为：D．
过点G作于H，过点G作，由“AAS”可证≌，可得，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当时，AG有最小值，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理添加辅助线是关键．
连接FC，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得出，在中，利用勾股定理求出FC的长，即可得出答案．
【解答】
解：连接FC，

、N分别是DC、DF的中点，
，
，，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
，，，
由勾股定理得：，
．
故选D．  

3.【答案】D
 

【解析】解：连接AC交BD于O，作于E，于F，延长CB到H，使得．

四边形ABCD是正方形，
，，，，
，
，
四边形EMFB是矩形，
，
四边形EMFB是正方形，
，
，
，
≌，
，故正确，
，，
，
，
≌，
，故正确，
，，，
≌，
，，
，
，，
，
，
≌，
，
的周长，故正确，
，
，故正确．
故选：D．
只要证明≌即可；
只要证明≌即可；
只要证明≌，由此推出≌即可；
由线段的和差关系可得．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：观察图形可知，小正方形的边长为1，每个直角三角形的面积，
大正方形的边长为，
大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
大正方形的面积是小正方形的面积的5倍，
故A，B，D正确，
故选：C．
结合图像求出直角三角形的面积，大小正方形的边长可得结论．
本题考查图形的拼剪，正方形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD为正方形，
，，，
在和中，
，
≌；所以正确；
延长AG交CD于P，如图，
≌，
，
而，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，所以正确；
当时，，
，
，
，
而，
，所以正确．
故选：C．
利用正方形的性质得到，，，先根据“SAS”判断≌，则可对进行判断；延长AG交CD于P，如图，接着证明≌得到，所以，于是可根据“SAS”证明≌，所以，则可证明，于是可对进行判断；然后利用得到，，所以，则可对进行判断．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：正方形BEFD的面积为4，
，
四边形ABCD是菱形，
，，
和是等边三角形，
，
菱形ABCD的周长，
故选：B．
先求出，由菱形的性质可得，，可证和是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，
四边形ABCD是正方形，
故选：B．
利用矩形的判定可求解．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质等知识，掌握矩形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，
正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故选：A．
先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．
本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟知三者对角线的性质．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，属于中档题．
根据题意，可证≌，可得，根据勾股定理可得EF的长．
【解答】
解：四边形ABCD是正方形，
，，
，
且，
且，，
≌，
，
是AB中点，
，
，
在中，，
故选：B．  

10.【答案】D
 

【解析】解：四边形ABCD中，，
四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
这个条件可以是：．
故选：D．
根据四边形ABCD中，，得出四边形ABCD是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．
此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形ABCD是矩形是解决问题的关键．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：正方形的面积为：，
故选：A．
根据正方形是特殊的菱形，菱形面积为对角线面积的一半可求．
本题考查了正方形的性质，正方形是特殊的菱形，菱形的面积为对角线乘积的一半．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形，菱形，正方形，
故选：D．
利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质可以判断．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：正方形的面积为，
阴影部分的面积为：，
米粒落在阴影部分的概率，
故答案为：．
计算出阴影部分的面积，阴影部分的面积占正方形面积的几分之几，就是米粒落在阴影区域的概率．
考查几何概率的意义和求法，计算相应部分的面积是正确解答的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】
解：四边形ABCD为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点H为BF的中点，
，
、，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】13
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得≌；然后由全等三角形的对应边相等推知、，所以．
【解答】
解：是正方形已知，
，，
于点F，于点E，
，
又，
等量代换；
在和中，

≌，
，全等三角形的对应边相等，
．
故答案为：13．  

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接PE，过点P作于N，

四边形ABCD是正方形，
，，，
，
，，
，
，
，，
，
是AE的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形CEFP的面积，
故答案为：．
连接PE，过点P作于N，由勾股定理可求，，由面积关系可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，求出PN的长是本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
设，
，
为正方形ABCD的对角线，CE平分，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
正方形的边长为，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，，设，根据勾股定理得到，求得，得到，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查正方形的性质、勾股定理，等腰三角形的判定，解答本题的关键熟练掌握正方形的性质．
 

18.【答案】解：如图1，证明：是正方形，
，





≌
；
≌
，设，
四边形ABCE的面积为．
，即，解得：，舍，
，
；
如图2，过A作于E，连接AC，则，


是等腰直角三角形

，即：
，即，
是等腰直角三角形，

，
，，
．
 

【解析】由正方形性质可得：，，再证明≌即可；设，由四边形ABCE的面积面积面积，可列方程求解；
过A作于E，连接AC，由，可得，再由、均为等腰直角三角形及勾股定理即可求得AE和CE的长．
本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识点，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解．
 

19.【答案】解：；
理由如下：连接AE，
是正三角形，
．
，，
≌．
．
，
．
，
是等腰直角三角形．
．

设，
，，，
在中，
由勾股定理得
即
舍去，．
 

【解析】连接AE，首先证明≌得到，再根据题意，又知，故可得，
设，由勾股定理得，列出等量关系式，解得x．
本题主要考查正方形的性质，还涉及到等边三角形的性质和勾股定理等知识点．
 

20.【答案】解：四边形CODP的形状是菱形，
理由是：四边形ABCD是矩形，
，，，

，
，，
四边形CODP是平行四边形，
，
平行四边形CODP是菱形；
正方形；
正方形．

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

根据矩形的性质得出，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
根据菱形的性质得出，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
根据正方形的性质得出，，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可．
【解答】
解：见答案；
四边形CODP的形状是矩形，
理由是：四边形ABCD是菱形，
，
，
，，
四边形CODP是平行四边形，
，
平行四边形CODP是矩形；
四边形CODP的形状是正方形，
理由是：四边形ABCD是正方形，
，，，，
，，
，，
四边形CODP是平行四边形，
，
平行四边形CODP是正方形．

21.【答案】解：如图2；如图3；，，如图4；

如图5，

 

【解析】根据三角形的中位线定理可得≌，由，则四边形BCDE为矩形；
根据三角形的中位线定理可得≌，由，则，，则四边形BCDE为菱形；
根据三角形的中位线定理可得≌，由，，则四边形BCDE为正方形；
沿GH剪一刀，使，再过点A作，找出AC中点E，过E作DF平行HG，得到，四边形ABFD为等腰梯形．
本题是一个作图题的题目，考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰梯形的性质，是中档题．
 

22.【答案】解：在正方形ABCD中，，，
将沿AE对折至，
，，，
，，
又，
在和中，
，
≌；

，，
设，则，

，
解得，
．
 

【解析】利用翻折变换对应边关系得出，，利用HL定理得出≌即可；
利用勾股定理得出，进而求出BG即可．
此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．