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2020-2021学年5.3 正方形优秀课后复习题
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这是一份2020-2021学年5.3 正方形优秀课后复习题，共29页。试卷主要包含了0分），5°C，【答案】C，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
5.3正方形同步练习浙教版初中数学八年级下册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点D分别作AC、BC的平行线DE、DF，则下列结论错误的是( )
A. FC=DF
B. AD=BD
C. ∠ACD=∠BCD
D. 四边形DECF是正方形
3. 如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为( )
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
5. 如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0,0)，(0,6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( )
A. (6,3)
B. (3,6)
C. (0,6)
D. (6,6)
6. 如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
A. 1或4
B. 2或3
C. 3或4
D. 1或2
7. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，点A、C到直线l的距离分别为3和4，则AC的长为( )
A. 52 B. 62 C. 72 D. 8
8. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是( )
A. ∠D=90° B. AB=CD C. AB=BC D. AC=BD
9. 下列性质中不是正方形和菱形共有的是( )
A. 相邻两角都互补 B. 相邻两边都相等
C. 对角线所在直线是对称轴 D. 对角线垂直且相等
10. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在边AC，BC上运动，且保持AD=CE.连接DE，DF，EF.在此运动变化过程中，有下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形; ②四边形CDFE不可能为正方形; ③△CDE与△DAF不可能全等; ④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是( )
A. ① ② ③ B. ① ③ ④ C. ③ ④ ⑤ D. ① ④ ⑤
11. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. 正方形ABCD中，AB=m，AC=n，面积为S，则在结论：①S=12n2②mn=22③nm=2④S=m2中，正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．
14. 在如图所示的7×7网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上．
(Ⅰ)AB的长等于______；
(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的正方形ABCD，并简要说明画图的方法(不要求证明)．
15. 如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是______．
16. 如图，直线l过正方形的顶点B，点A、C到l的距离分别是2和1，则正方形的边长是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形．
(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.以上答案都不对
(2)如图，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90∘.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出∠ABC的度数．
18. 一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作;若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形.如图 ①，在矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
(1)判断与操作：如图 ②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗?如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线;如果不是，请说明理由;
(2)探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
19. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形．
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
20. 如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，正方形IECF中，IE=EC=CF=FI=x
(1)小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD=BE=a−x，AD=AF=b−x
因为AB=BD+AD，所以a−x+b−x=c，解得x=a+b−c2
(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC=S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
21. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=2，那么当OC=______时，四边形OCED是正方形；
(3)若BD=3，∠ACD=30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，那么PE+PQ的最小值为______．
22. 如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．
(1)猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．
(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．
23. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
24. 如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
(1)求证：BE=AF；
(2)若AB=4，DE=1，求AG的长．
25. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，且ΔBEF是等边三角形．求证：DE=DF．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
故选：C．
根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定解答即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定定理解答．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据已知条件推出四边形DECF是平行四边形，求得四边形DECF是矩形，根据角平分线的定义得到∠FCD=∠ECD，故C正确；推出四边形DECF是正方形，故D正确；根据正方形的性质得到CF=DF，故A正确．
【解答】
解：∵DE//AC，DF//BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠FCD=∠ECD，故C正确；
∵∠FCD=∠ECD，
∴DF=DE，
∴四边形DECF是正方形，故D正确；
∴CF=DF，故A正确，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴y=4×4−12x(4−x)×4
=16−8x+2x2
=2(x−2)2+8，
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为(2,8)，开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB=12∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
如图，连接DF、BF.如图，连接DF、BF.首先证明∠FDB=12∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5.【答案】D
【解析】∵O(0,0)，D(0,6)，
∴OD=6．
∵四边形OBCD是正方形，
∴BC=CD=OD=6，CD⊥OD，CB⊥OB，
∴点C的坐标是(6,6)，
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴12(2+3+x)×3−x⋅(3−x)=12×(2+3+x)×3−2×1，
解得x=1或x=2，
故选：D．
根据题意列方程，即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AC，∠ABC=90°．
∵∠ABE+∠EAB=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF．
又∠AEB=∠CFB=90°，
∴△ABE≌BCF(AAS)．
∴BE=CF=4．
在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB=AE2+BE2=32+42=5．
则AC=2AB=52．
故选：A．
先证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF=4，在Rt△ABE中利用勾股定理可得AB=5，由此可得AC长．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是通过全等转化线段使其划归于一直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，是矩形．
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【解答】
解： ∵四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
这个条件可以是：AB=BC．
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：∵正方形和菱形都属于平行四边形，平行四边形邻角互补，
∴选项A不符合题意；
∵正方形和菱形的四边均相等，
∴选项B不符合题意；
∵正方形和菱形都关于对角线所在的直线对称，
∴选项C不符合题意；
∵正方形的对角线垂直且相等，菱形的对角线相互垂直平分，
∴选项D符合题意；
故选：D．
根据正方形和菱形的性质定理求解．
本题主要考查了正方形和菱形的性质定理，解题关键是能够掌握正方形和菱形的性质定理，并且能够区分正方形和菱形的不同和相同之处．
10.【答案】D
【解析】解：如图，连接CF．
∵△ABC是等腰直角三角形，F是AB的中点，
∴∠FCB=∠A=45∘，CF=AF=FB．
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF(SAS)．
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD.
∵∠AFD+∠CFD=90∘，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘．
∴△EDF是等腰直角三角形．
当D，E分别为AC，BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
S△ADF．
∴S四边形CEFD=S△AFC．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=12AC=4．
当△CDE面积最大时，△DEF的面积最小．
此时 S△AFC−S△DEF=16−8=8．
则结论正确的是 ① ④ ⑤．
故选D．
11.【答案】C
【解析】解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=BE+EC=6，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=2，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL)，
∴DG=FG，∠GAF=∠GAD，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，
设GD=GF=x，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴(2+x)2=42+(6−x)2，
∴x=3，
∴DG=FG=3，
∴CG=CD−DG=3=GF，
∴△GFC是等腰三角形，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF//AG，故③正确，
∵S△ECG=12×3×4=6，FG：FE=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=35×6=3.6，故④正确，
故选：C．
①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，正方形的面积公式，勾股定理，根据勾股定理表示出AC=2m，得出m与n之间的关系，从而得出mn、nm的比值，得出S与n之间的关系即可求解．
【解答】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=m，AC=n，
∴AB=BC=CD=AD=m，∠B=90°，S=m2，
∴AC=AB2+BC2=m2+m2=2m，
∵AC=n，
∴2m=n，
∴mn=22，nm=2，S=m2=12n2，
∴①②③④都正确，正确的有4个，
故选D．
13.【答案】45
【解析】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：32−22=5，
故阴影部分的面积是：2×52×4=45，
故答案为：45．
根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】10
【解析】解：(Ⅰ)AB=12+32=10．
故答案为10．
(Ⅱ)如图，取格点C，D，依次连接AD，DC，CB，四边形ABCD即为所求．
(Ⅰ)利用勾股定理计算即可．
(Ⅱ)利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，勾股定理，正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】AC=BD等(答案不唯一)
【解析】解：∵在▱ABCD中，AC⊥BD于O，
∴四边形ABCD是菱形，
当AC=BD时，菱形ABCD就是正方形，
∴要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是：AC=BD等(答案不唯一)．
故答案为：AC=BD等(答案不唯一)．
根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
此题主要考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即对角线相等的菱形是正方形．
16.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
而AM⊥MN，CN⊥BN，
∴∠AMB=∠CNB=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∴△AMB≌△BCN(AAS)，
∴BM=CN=2，AM=BN=1，
∴AB=AM2+BM2=1+4=5，
故答案为：5．
由“AAS”可证△AMB≌△BCN，可得BM=CN=2，AM=BN=1，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，证明△AMB≌△BCN是解题的关键．
17.【答案】解：(1)C
(2)∠ABC的度数可能是90∘或60∘或150∘．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如图：
(2)裁剪线的示意图如图：
【解析】见答案
19.【答案】(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90∘，
AB=BC=CD=AD．
∵AE=BF=CG=DH，
∴BE=CF=DG=AH．
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠3=90∘．
∴∠HEF=90∘．
∴四边形EFGH是正方形．
(2)解：直线EG经过一个定点.理由如下：
如图，连结BD，DE，BG.设EG与BD相交于O点．
∵BE= //DG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．
∴BO=OD．
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．
即直线EG经过一个定点．
【解析】见答案
20.【答案】解：(2)因为S△ABC=S△ABI+S△BIC+S△AIC
12ab=12cx+12ax+12bx
所以x=aba+b+c．
答：x与a、b、c的关系为x=aba+b+c．
(3)根据(1)和(2)得：
x=a+b−c2=aba+b+c．
即2ab=(a+b+c)(a+b−c)
化简得a2+b2=c2．
【解析】(1)根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；
(2)根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；
(3)综合(1)和(2)的结论进行推导即可得结论．
本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是综合利用相关知识．
21.【答案】2 334
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC=OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD=ED，EC=OC，
∴OD=ED=EC=OC，
∴四边形OCED是菱形．
(2)解：当OC=2时，四边形OCED是正方形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=2OC=22，
∵AB=2，
∴BC=AC2−AB2=2，
∴AB=AC，
∵OA=OC，
∴BD⊥AC，
∴∠COD=90°，
由(1)得：四边形OCED是菱形，
∴四边形OCED是正方形；
故答案为：2；
(3)解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为334；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE=∠DCO，PE=PO，
∴PE+PQ=PO+PQ=OQ，
∵AC=BD=3，
∴OC=OD=32，
∴∠DCO=∠ACD=30°，
∴∠DCE=30°，
∴∠OCQ=60°，
∴∠COQ=30°，
∴CQ=12OC=34，OQ=3CQ=334，
即PE+PQ的最小值为334；
故答案为：334．
(1)根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
(2)由勾股定理得出BC=AC2−AB2=2，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BD⊥AC，即可得出结论；
(3)作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小为334；由折叠的性质得出∠DCE=∠DCO，PE=PO，得出PE+PQ=PO+PQ=OQ，由直角三角形的性质得出CQ=12OC=34，OQ=3CQ=334即可．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、勾股定理以及垂线段最短等知识；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)PC=PE，PC⊥PE
证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点
∴PA=PC
∵点P位于AE的垂直平分线上
∴PA=PE
∴PC=PE
由正方形的轴对称性质可得，∠PAD=∠PCD，
∵PA=PE
∴∠PAD=∠E
∴∠PCD=∠E
∵∠PFC=∠DFE
∴∠CPF=∠FDE
∵正方形ABCD
∴∠ADC=90°
∴∠FDE=90°
∴∠CPF=90°
∴PC⊥PE
(2)PA=CE.理由如下：
∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点
∴AP=PF，∠PAD=∠PCD
∵点P在AE的垂直平分线上
∴AP=PE
∴PE=PC，∠PAD=∠PED
∵∠PFC=∠DFE
∴∠CPF=∠EDF
∵菱形ABCD，∠ABC=120°
∴∠ADC=∠ABC=120°
∴∠EDF=180°−∠ADC=60°
∴∠CPF=60°
∵PE=PC
∴△PCE是等边三角形
∴CE=PE
∴AP=CE
【解析】(1)这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC=PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF=∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，
证明∠CPF=90°即可．
(2)由菱形轴对称性质，利用题(1)的方法证明∠CPF=60°，又因为PC=PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE=PC=AP．
本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠D=90°，
∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，
∴BE=BF，∠CBE=∠ABF，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠EBF+∠D=180°，
∴四边形BEDF为“直等补”四边形；
(2)①过C作CF⊥BF于点F，如图1，
则∠CFE=90°，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，
∴∠ABC=90°，∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=90°，
∵BF⊥AD，
∴∠DEF=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF=CD=1，
∵∠ABE+∠A=∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠A=∠CBF，
∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC=5，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴BE=CF，
设BE=CF=x，则BF=x−1，
∵CE2+BF2=BC2，
∴x2+(x−1)2=52，
解得，x=4，或x=−3(舍)，
∴BE=4；
②如图2，延长CB到F，使得BF=BC，延长CD到G，使得CD=DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．
则BC=BF=5，CD=DG=1，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴CM=FM，CN=GN，
∴△MNC的周长=CM+MN+CN=FM+MN+GN=FG的值最小，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠HCG=180°，
∴∠A=∠HCG，
∵∠AEB=∠CHG=90°，
∴BEGH=AECH=ABCG
∵AB=5，BE=4，
∴AE=AB2−BE2=3，
∴4GH=3CH=52，
∴GH=85，CH=65，
∴FH=FC+CH=565，
∴FG=FH2+GH2=82，
∴△MNC周长的最小值为82．
【解析】(1)由旋转性质得BE=BF，再证明∠EBF=90°，∠EBF+∠D=180°便可；
(2)①过点C作CF⊥BE于点F，证明△BCF≌△ABE得CF=BE，设BE=x，在Rt△BCF中，则勾股定理列出x的方程解答便可；
②延长CB到F，使得BF=BC，延长CD到G，使得CD=DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，求出FG便是△MNC的最小周长．
本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第(2)①题关键在证明全等三角形，第(2)②题关键确定M、N的位置．
24.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，AB=AD∠BAE=∠ADFAE=DF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE=AF；
(2)由(1)得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
∴BE=AB2+AE2=42+32=5，
在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，
∴AG=4×35=125．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中档题．
(1)由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，得出AE=DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得出∠EBA=∠FAD，得出∠GAE+∠AEG=90°，因此∠AGE=90°，由勾股定理得出BE=AB2+AE2=5，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．
25.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=90∘．
∵ΔBEF是等边三角形，
∴BE=BF．
≌
∴AF=CE
∴AD−AF=DC−CE
即DE=DF．
【解析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解答此题根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=90∘，再由△BEF是等边三角形，可得BE=BF.从而可得≌，再根据全等三角形的性质可得结论．
5.3正方形同步练习浙教版初中数学八年级下册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点D分别作AC、BC的平行线DE、DF，则下列结论错误的是( )
A. FC=DF
B. AD=BD
C. ∠ACD=∠BCD
D. 四边形DECF是正方形
3. 如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为( )
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
5. 如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0,0)，(0,6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( )
A. (6,3)
B. (3,6)
C. (0,6)
D. (6,6)
6. 如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
A. 1或4
B. 2或3
C. 3或4
D. 1或2
7. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，点A、C到直线l的距离分别为3和4，则AC的长为( )
A. 52 B. 62 C. 72 D. 8
8. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是( )
A. ∠D=90° B. AB=CD C. AB=BC D. AC=BD
9. 下列性质中不是正方形和菱形共有的是( )
A. 相邻两角都互补 B. 相邻两边都相等
C. 对角线所在直线是对称轴 D. 对角线垂直且相等
10. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在边AC，BC上运动，且保持AD=CE.连接DE，DF，EF.在此运动变化过程中，有下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形; ②四边形CDFE不可能为正方形; ③△CDE与△DAF不可能全等; ④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是( )
A. ① ② ③ B. ① ③ ④ C. ③ ④ ⑤ D. ① ④ ⑤
11. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. 正方形ABCD中，AB=m，AC=n，面积为S，则在结论：①S=12n2②mn=22③nm=2④S=m2中，正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．
14. 在如图所示的7×7网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上．
(Ⅰ)AB的长等于______；
(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的正方形ABCD，并简要说明画图的方法(不要求证明)．
15. 如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是______．
16. 如图，直线l过正方形的顶点B，点A、C到l的距离分别是2和1，则正方形的边长是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形．
(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.以上答案都不对
(2)如图，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90∘.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出∠ABC的度数．
18. 一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作;若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形.如图 ①，在矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
(1)判断与操作：如图 ②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗?如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线;如果不是，请说明理由;
(2)探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
19. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形．
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
20. 如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，正方形IECF中，IE=EC=CF=FI=x
(1)小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD=BE=a−x，AD=AF=b−x
因为AB=BD+AD，所以a−x+b−x=c，解得x=a+b−c2
(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC=S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
21. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=2，那么当OC=______时，四边形OCED是正方形；
(3)若BD=3，∠ACD=30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，那么PE+PQ的最小值为______．
22. 如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．
(1)猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．
(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．
23. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
24. 如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
(1)求证：BE=AF；
(2)若AB=4，DE=1，求AG的长．
25. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，且ΔBEF是等边三角形．求证：DE=DF．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
故选：C．
根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定解答即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定定理解答．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据已知条件推出四边形DECF是平行四边形，求得四边形DECF是矩形，根据角平分线的定义得到∠FCD=∠ECD，故C正确；推出四边形DECF是正方形，故D正确；根据正方形的性质得到CF=DF，故A正确．
【解答】
解：∵DE//AC，DF//BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠FCD=∠ECD，故C正确；
∵∠FCD=∠ECD，
∴DF=DE，
∴四边形DECF是正方形，故D正确；
∴CF=DF，故A正确，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴y=4×4−12x(4−x)×4
=16−8x+2x2
=2(x−2)2+8，
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为(2,8)，开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB=12∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
如图，连接DF、BF.如图，连接DF、BF.首先证明∠FDB=12∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5.【答案】D
【解析】∵O(0,0)，D(0,6)，
∴OD=6．
∵四边形OBCD是正方形，
∴BC=CD=OD=6，CD⊥OD，CB⊥OB，
∴点C的坐标是(6,6)，
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴12(2+3+x)×3−x⋅(3−x)=12×(2+3+x)×3−2×1，
解得x=1或x=2，
故选：D．
根据题意列方程，即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AC，∠ABC=90°．
∵∠ABE+∠EAB=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF．
又∠AEB=∠CFB=90°，
∴△ABE≌BCF(AAS)．
∴BE=CF=4．
在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB=AE2+BE2=32+42=5．
则AC=2AB=52．
故选：A．
先证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF=4，在Rt△ABE中利用勾股定理可得AB=5，由此可得AC长．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是通过全等转化线段使其划归于一直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，是矩形．
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【解答】
解： ∵四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
这个条件可以是：AB=BC．
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：∵正方形和菱形都属于平行四边形，平行四边形邻角互补，
∴选项A不符合题意；
∵正方形和菱形的四边均相等，
∴选项B不符合题意；
∵正方形和菱形都关于对角线所在的直线对称，
∴选项C不符合题意；
∵正方形的对角线垂直且相等，菱形的对角线相互垂直平分，
∴选项D符合题意；
故选：D．
根据正方形和菱形的性质定理求解．
本题主要考查了正方形和菱形的性质定理，解题关键是能够掌握正方形和菱形的性质定理，并且能够区分正方形和菱形的不同和相同之处．
10.【答案】D
【解析】解：如图，连接CF．
∵△ABC是等腰直角三角形，F是AB的中点，
∴∠FCB=∠A=45∘，CF=AF=FB．
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF(SAS)．
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD.
∵∠AFD+∠CFD=90∘，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘．
∴△EDF是等腰直角三角形．
当D，E分别为AC，BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
S△ADF．
∴S四边形CEFD=S△AFC．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=12AC=4．
当△CDE面积最大时，△DEF的面积最小．
此时 S△AFC−S△DEF=16−8=8．
则结论正确的是 ① ④ ⑤．
故选D．
11.【答案】C
【解析】解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=BE+EC=6，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=2，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL)，
∴DG=FG，∠GAF=∠GAD，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，
设GD=GF=x，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴(2+x)2=42+(6−x)2，
∴x=3，
∴DG=FG=3，
∴CG=CD−DG=3=GF，
∴△GFC是等腰三角形，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF//AG，故③正确，
∵S△ECG=12×3×4=6，FG：FE=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=35×6=3.6，故④正确，
故选：C．
①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，正方形的面积公式，勾股定理，根据勾股定理表示出AC=2m，得出m与n之间的关系，从而得出mn、nm的比值，得出S与n之间的关系即可求解．
【解答】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=m，AC=n，
∴AB=BC=CD=AD=m，∠B=90°，S=m2，
∴AC=AB2+BC2=m2+m2=2m，
∵AC=n，
∴2m=n，
∴mn=22，nm=2，S=m2=12n2，
∴①②③④都正确，正确的有4个，
故选D．
13.【答案】45
【解析】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：32−22=5，
故阴影部分的面积是：2×52×4=45，
故答案为：45．
根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】10
【解析】解：(Ⅰ)AB=12+32=10．
故答案为10．
(Ⅱ)如图，取格点C，D，依次连接AD，DC，CB，四边形ABCD即为所求．
(Ⅰ)利用勾股定理计算即可．
(Ⅱ)利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，勾股定理，正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】AC=BD等(答案不唯一)
【解析】解：∵在▱ABCD中，AC⊥BD于O，
∴四边形ABCD是菱形，
当AC=BD时，菱形ABCD就是正方形，
∴要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是：AC=BD等(答案不唯一)．
故答案为：AC=BD等(答案不唯一)．
根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
此题主要考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即对角线相等的菱形是正方形．
16.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
而AM⊥MN，CN⊥BN，
∴∠AMB=∠CNB=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∴△AMB≌△BCN(AAS)，
∴BM=CN=2，AM=BN=1，
∴AB=AM2+BM2=1+4=5，
故答案为：5．
由“AAS”可证△AMB≌△BCN，可得BM=CN=2，AM=BN=1，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，证明△AMB≌△BCN是解题的关键．
17.【答案】解：(1)C
(2)∠ABC的度数可能是90∘或60∘或150∘．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如图：
(2)裁剪线的示意图如图：
【解析】见答案
19.【答案】(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90∘，
AB=BC=CD=AD．
∵AE=BF=CG=DH，
∴BE=CF=DG=AH．
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠3=90∘．
∴∠HEF=90∘．
∴四边形EFGH是正方形．
(2)解：直线EG经过一个定点.理由如下：
如图，连结BD，DE，BG.设EG与BD相交于O点．
∵BE= //DG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．
∴BO=OD．
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．
即直线EG经过一个定点．
【解析】见答案
20.【答案】解：(2)因为S△ABC=S△ABI+S△BIC+S△AIC
12ab=12cx+12ax+12bx
所以x=aba+b+c．
答：x与a、b、c的关系为x=aba+b+c．
(3)根据(1)和(2)得：
x=a+b−c2=aba+b+c．
即2ab=(a+b+c)(a+b−c)
化简得a2+b2=c2．
【解析】(1)根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；
(2)根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；
(3)综合(1)和(2)的结论进行推导即可得结论．
本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是综合利用相关知识．
21.【答案】2 334
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC=OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD=ED，EC=OC，
∴OD=ED=EC=OC，
∴四边形OCED是菱形．
(2)解：当OC=2时，四边形OCED是正方形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=2OC=22，
∵AB=2，
∴BC=AC2−AB2=2，
∴AB=AC，
∵OA=OC，
∴BD⊥AC，
∴∠COD=90°，
由(1)得：四边形OCED是菱形，
∴四边形OCED是正方形；
故答案为：2；
(3)解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为334；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE=∠DCO，PE=PO，
∴PE+PQ=PO+PQ=OQ，
∵AC=BD=3，
∴OC=OD=32，
∴∠DCO=∠ACD=30°，
∴∠DCE=30°，
∴∠OCQ=60°，
∴∠COQ=30°，
∴CQ=12OC=34，OQ=3CQ=334，
即PE+PQ的最小值为334；
故答案为：334．
(1)根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
(2)由勾股定理得出BC=AC2−AB2=2，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BD⊥AC，即可得出结论；
(3)作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小为334；由折叠的性质得出∠DCE=∠DCO，PE=PO，得出PE+PQ=PO+PQ=OQ，由直角三角形的性质得出CQ=12OC=34，OQ=3CQ=334即可．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、勾股定理以及垂线段最短等知识；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)PC=PE，PC⊥PE
证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点
∴PA=PC
∵点P位于AE的垂直平分线上
∴PA=PE
∴PC=PE
由正方形的轴对称性质可得，∠PAD=∠PCD，
∵PA=PE
∴∠PAD=∠E
∴∠PCD=∠E
∵∠PFC=∠DFE
∴∠CPF=∠FDE
∵正方形ABCD
∴∠ADC=90°
∴∠FDE=90°
∴∠CPF=90°
∴PC⊥PE
(2)PA=CE.理由如下：
∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点
∴AP=PF，∠PAD=∠PCD
∵点P在AE的垂直平分线上
∴AP=PE
∴PE=PC，∠PAD=∠PED
∵∠PFC=∠DFE
∴∠CPF=∠EDF
∵菱形ABCD，∠ABC=120°
∴∠ADC=∠ABC=120°
∴∠EDF=180°−∠ADC=60°
∴∠CPF=60°
∵PE=PC
∴△PCE是等边三角形
∴CE=PE
∴AP=CE
【解析】(1)这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC=PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF=∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，
证明∠CPF=90°即可．
(2)由菱形轴对称性质，利用题(1)的方法证明∠CPF=60°，又因为PC=PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE=PC=AP．
本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠D=90°，
∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，
∴BE=BF，∠CBE=∠ABF，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠EBF+∠D=180°，
∴四边形BEDF为“直等补”四边形；
(2)①过C作CF⊥BF于点F，如图1，
则∠CFE=90°，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，
∴∠ABC=90°，∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=90°，
∵BF⊥AD，
∴∠DEF=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF=CD=1，
∵∠ABE+∠A=∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠A=∠CBF，
∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC=5，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴BE=CF，
设BE=CF=x，则BF=x−1，
∵CE2+BF2=BC2，
∴x2+(x−1)2=52，
解得，x=4，或x=−3(舍)，
∴BE=4；
②如图2，延长CB到F，使得BF=BC，延长CD到G，使得CD=DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．
则BC=BF=5，CD=DG=1，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴CM=FM，CN=GN，
∴△MNC的周长=CM+MN+CN=FM+MN+GN=FG的值最小，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠HCG=180°，
∴∠A=∠HCG，
∵∠AEB=∠CHG=90°，
∴BEGH=AECH=ABCG
∵AB=5，BE=4，
∴AE=AB2−BE2=3，
∴4GH=3CH=52，
∴GH=85，CH=65，
∴FH=FC+CH=565，
∴FG=FH2+GH2=82，
∴△MNC周长的最小值为82．
【解析】(1)由旋转性质得BE=BF，再证明∠EBF=90°，∠EBF+∠D=180°便可；
(2)①过点C作CF⊥BE于点F，证明△BCF≌△ABE得CF=BE，设BE=x，在Rt△BCF中，则勾股定理列出x的方程解答便可；
②延长CB到F，使得BF=BC，延长CD到G，使得CD=DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，求出FG便是△MNC的最小周长．
本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第(2)①题关键在证明全等三角形，第(2)②题关键确定M、N的位置．
24.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，AB=AD∠BAE=∠ADFAE=DF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE=AF；
(2)由(1)得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
∴BE=AB2+AE2=42+32=5，
在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，
∴AG=4×35=125．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中档题．
(1)由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，得出AE=DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得出∠EBA=∠FAD，得出∠GAE+∠AEG=90°，因此∠AGE=90°，由勾股定理得出BE=AB2+AE2=5，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．
25.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=90∘．
∵ΔBEF是等边三角形，
∴BE=BF．
≌
∴AF=CE
∴AD−AF=DC−CE
即DE=DF．
【解析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解答此题根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=90∘，再由△BEF是等边三角形，可得BE=BF.从而可得≌，再根据全等三角形的性质可得结论．
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