高中数学人教版新课标B必修12.1.1函数教学设计

这是一份高中数学人教版新课标B必修12.1.1函数教学设计，共16页。教案主要包含了教学目标，教学设计等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，了解构成函数的基本要素，理解并掌握函数的概念，熟悉用“区间”、“无穷大”等符号表示取值范围，在数学抽象、数学建模中体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
（二）学习目标
1．通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．
2．学习用集合语言和对应关系刻画函数，并明确函数的基本要素，掌握判别两个函数是否相同的方法．
3．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．
（三）学习重点
1．体会函数的重要模型化思想，了解构成函数的要素并理解函数的概念．
2．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．
（四）学习难点
1．体会并理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”．
2．符号“y=f(x)”的含义．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第15页至第18页，填空：
设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
（2）写一写：区间(设a＜b)
2．预习自测
(1)与的区别与联系？
答：表示当时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量；是的一个特殊值．
(2)通过学习函数的概念，你觉得函数的基本要素有哪些？定义两个函数是否相等时，是否需要函数的几个基本要素必须都相同？
答：基本要素有定义域、对应关系、值域。在判定两个函数是否为同一函数时，只需判定两个函数的定义域和对应关系是否分别相同即可．这是因为只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，它们的值域就一定相同．
(3)用区间表示下列集合
①________________；
②____________________；
③函数的定义域是____________。
答案：；；
(二)课堂设计
1．知识回顾
初中函数定义：
在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地_就确定了唯一的值与之对应_，那么我们称的函数，其中是自变量，是因变量_．
2．问题探究
探究一引出新知
●活动①整合旧知，感受学习新知的必要性。
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮弹发射后，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度（米）与时间t（秒）的变化规律是.
B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.
C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.
讨论：以上三个实例中存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间是否有主动和被动关系?利用初中函数的概念能否判断他们是否为函数？
【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，以三种不同形式的变量间关系让学生体会初中函数概念的局限性（），从而需要从新的高度来认识函数。
●活动②抽象函数概念
分析以上三个实例，结合之前所学的集合知识，能否试着将这种变量间的对应关系用集合的语言描述出来？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，
函数概念：★
设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域（dmain），与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．
【设计意图】体会概念的提炼、抽象过程．
探究二辨析新知
●活动①▲明确定义域、值域概念．
抢答：下列对应是否为函数，若是函数，说出定义域与值域．
【答案】 ①是函数，一对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，5，6}＝B；
②是函数，一对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，5，6 }⊆B＝{4，5，6，7}；
③是函数，多对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，6 }⊆B＝{4，5，6，}；
④不是函数，因为不满足对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，也就是说，一对多的不是函数．
显然，值域是集合B的子集。
注意：
(1)“A、B”是非空的数集，一方面强调了A、B只能是数集，即A、B中的元素只能是实数；另一方面指出来定义域、值域都不能是空集，也就是说，定义域为空集的函数是不存在的．
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．
(3)定义域、值域的结果应该写成集合形式．
【设计意图】通过简单例子，加深对定义域，值域的理解．
●活动②★▲正确理解函数符号
如图，自变量相当于是原材料，对应关系是加工器，而函数值则是产品。故定义域、对应关系、值域是函数的三个基本要素。显然原材料和加工器确定了，产品也就会相应的确定下来，所以三个基本要素中若定义域和对应关系相同，则值域一定相同，这也是判断两个函数是否相等的重要依据．
注意：
(1)“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”都可以；
(2) 函数符号“”中的表示与对应的函数值，是一个数，而不是乘.如一次函数，对应关系的含义就是“乘2减1”，故．
【设计意图】通过“加工器”形象比喻，帮助学生正确理解抽象函数符号．
活动③
抢答：是函数吗？为什么？如果是，说说其定义域、对应关系、值域．
【设计意图】进一步体会高中函数定义的合理性，进一步加深对函数概念的理解。
探究三实例分析与课堂巩固★▲
●活动①巩固基础检查反馈
例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数？
①A＝B＝N*，f：x→y＝|x－3|；
②A＝R，B＝{0，1}，f：x→y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1 （x≥0），,0 （x＜0）；))
③A＝B＝R，f：x→y＝±eq \r(x)；
④A＝Z，B＝Q，f：x→y＝eq \f(1,x)；
⑤．
【知识点】函数的概念及其构成要素．
【数学思想】
【解题过程】利用函数的概念进行判断．
【思路点拨】注意非空数集、任意性、存在性、唯一性等要求．
【答案】①对于A中的元素3，在f作用下得0，但0∉B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
②对于A中任意一个非负数都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数都有唯一元素0与之对应，所以是函数．
③集合A中的负数，在B中没有元素与之对应，故不是函数．
④集合A中的元素0在B中没有元素和它对应，故不是函数．
⑤集合A不是非空数集，故不是函数．
同类训练1.下图中，能表示函数y＝f(x)的图像的是( )
【知识点】函数的概念及其构成要素.
【数学思想】
【解题过程】对于A，B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y＝f(x)。
【思路点拨】注意非空数集、任意性、存在性、唯一性等要求．
【答案】D
例2 下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2；
(2)f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(3,x))3；
(3)f(n)＝2n－1，(n∈Z)，g(n)＝2n＋1(n∈Z)；
(4)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
【知识点】判断两个函数是否为同一函数.
【数学思想】
【解题过程】 (1)定义域不同，不是同一函数．
(2)是同一函数．
(3)虽然f(n)与g(n)的定义域及值域均相同，但对应法则不同，∴不是同一函数．
(4)尽管表示自变量和对应法则的字母分别不相同，但它们的实质相同，因此是相同的函数．
【思路点拨】只有当两个函数的定义域、值域，对应法则都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则相同，两函数即表示同一函数．
【答案】 (2)(4)表示同一函数
同类训练2. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
B．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2
C．f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，g(x)＝eq \r(x2－1)
【知识点】判断两个函数是否为同一函数.
【数学思想】
【解析过程】 A项，中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．
B项中，f(x)＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，
∴两函数的定义域不同．
C项中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1，
∴两函数的定义域不同．
D项中，f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；
g(x)＝eq \r(x2－1)(x2－1≥0)，
g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选A项．
【思路点拨】只有当两个函数的定义域、值域，对应法则都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则相同，两函数即表示同一函数．
【答案】 A
●活动②强化提升、灵活应用
例3. 已知函数f(x)＝3x2＋2x求f(－2)，f(a)，f(a＋1)，f(2x)的值．
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】
f(－2)＝3·(－2)2＋2·(－2)＝8，
f(a)＝3·a2＋2·a＝3a2＋2a，
f(a＋1)＝3·(a＋1)2＋2·(a＋1)＝3(a2＋2a＋1)＋2(a＋1)＝3a2＋8a+5
f(2x)＝3·(2x)2＋2·(2x)＝12x2+4x
【思路点拨】 回到定义中去！弄清对应关系的含义，即如何将原材料进行加工？就是将原材料平方的3倍加上原材料的2倍。本例中是常数是函数值；而是函数表达式。
【答案】略
同类训练3. 已知，求．
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】
【思路点拨】 回到定义中去！弄清对应关系的含义。
【答案】略
活动③自主探究举一反三
例4.设函数，其中集合求可构成多少个函数？
【知识点】函数的概念.
【解题过程】A集合任一元素在B集合中对应的函数值都有4种可能，故个。
【思路点拨】注意满足任意性和唯一性。
【答案】64
同类训练4. 设函数，其中集合，求可构成多少个函数？
【知识点】函数的概念.
【数学思想】
【解题过程】A集合任一元素在B集合中对应的函数值都有n种可能，故有nm个．
【思路点拨】注意满足任意性和唯一性．
【答案】nm．
3. 课堂总结
知识梳理
（1）函数的概念：设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域（dmain），与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域和对应关系相同则值域一定相同．
（3）能正确使用“区间”表示取值范围．
重难点归纳
（1）正确理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”，定义域就是非空数集中的，而值域则是集合的子集．
（2）符号“y=f(x)”的含义，对所进行的计算相当于加工器对原材料进行加工，对应关系不变的情况下，其运算过程也就是加工过程不变．
（三）课后作业
基础型自主突破
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )
A．x＝eq \f(2,y) B．3x＋2y＝1 C．x＝2y2＋1 D．x＝eq \r(y)
【知识点】函数的概念
【数学思想】
【解题过程】易知ABD是可以表示函数的
【思路点拨】利用任意性，唯一性辨析
【答案】C
2．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于( )
A．π2B．π
C.eq \r(π)D．不确定
【知识点】函数的对应法则
【数学思想】
【解题过程】因为π2∈R，所以f(π2)＝π.
【思路点拨】辨析常数函数
【答案】B
解析
3.下列函数f(x)和g(x)中，表示同一函数的是( )
A．y＝f(x)与y＝f(x＋1)
B．y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R
C．f(x)＝x2，g(x)＝eq \f(x3,x)
D．f(x)＝2x＋1与g(x)＝eq \r(4x2＋4x＋1)
【知识点】判断两个函数是否为同一函数.
【数学思想】
【解题过程】判断定义域和对应关系
【思路点拨】只要定义域和对应关系相同，值域则一定相同
【答案】B
4．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
【思路点拨】正确运算，注意符号。
【答案】 A
5．设f(x)＝eq \f(x,x2＋1)，则f(eq \f(1,x))是( )
A．f(x) B．－f(x)
C.eq \f(1,f（x）)D.eq \f(1,f（－1）)
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】f(eq \f(1,x))＝eq \f(\f(1,x),（\f(1,x)）2＋1)＝eq \f(x,1＋x2)＝f(x)．
【思路点拨】正确理解的含义，注意运算。
【答案】A
6．将下列集合用区间表示出来．
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2≤x≤8}＝________；
(3){y|y＝eq \f(1,x)}＝________．
【知识点】区间与无穷的概念.
【数学思想】
【解题过程】逐一改写。
【思路点拨】注意区间两端的开，闭。
【答案】(1)[1，＋∞) (2)[2，8] (3)(－∞，0)∪(0，＋∞)
能力型师生共研
7．函数y＝f(x)的图像如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
【知识点】函数的定义域及其值域.
【数学思想】
【解题过程】观察函数图像可知f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；
只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]．
【思路点拨】根据定义仔细辨图识图。
【答案】 [－3，0]∪[2，3]；[1，2)∪(4，5]．
8．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B对任意x∈A，x→y＝ax＋b是从A到B的函数，若输出值1和8分别对应的输入值为3和10，求输入值5对应的输出值．
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＋b＝1，,10a＋b＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))所以对应关系f：x→y＝x－2，故输入值5对应的输出值为3.
【思路点拨】正确运算，正确理解对应关系的含义．
【答案】3
探究型多维突破
9.函数满足，则这样的函数个数共有（ ）
A.1个 B.4个 C.8个 D.10个
【知识点】函数的概念.
【数学思想】
【解题过程】f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3，共3个；f(1)=1，f(2)=f(3)=2或3，共2个；
f(2)=2，f(1)=f(3)=1或3，共2个；f(3)=3，f(2)=f(1)=2或1，共2个；f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，共1个；
【思路点拨】注意满足任意性和唯一性．
【答案】D
10．已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)，求[f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)]＋[f(eq \f(1,2))＋f(eq \f(1,3))＋…＋f()]．
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】f(x)＋f(eq \f(1,x))＝eq \f(1,1＋x)＋eq \f(1,1＋\f(1,x))＝eq \f(1,1＋x)＋eq \f(x,1＋x)＝1，则原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f（2）＋f（\f(1,2)）))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f（3）＋f（\f(1,3)）))＋…＝2017.
【思路点拨】仔细观察，寻求规律．
【答案】2 017．
自助餐
1．下列四种说法中，不正确的一个是( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
【知识点】函数的概念．
【数学思想】
【解题过程】易知ACD是正确的．
【思路点拨】利用概念以及三要素辨析．
【答案】B
2．已知P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从P到Q的函数的是( )
A．f：x→y＝eq \f(x,2) B．f：x→y＝eq \f(x,3)
C．f：x→y＝eq \f(3x,2)D．f：x→y＝eq \r(x)
【知识点】函数的概念．
【数学思想】
【解题过程】ABD都满足函数概念，而C选项中f(4)=6在集合Q中没有元素与之对应.
【思路点拨】利用任意性，唯一性辨析．
【答案】C．
3．若函数f(x)的定义域为[－2，3]，则y＝f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
【知识点】函数的概念．
【数学思想】
【解题过程】易知ACD是错误的．
【思路点拨】利用唯一性辨析．
【答案】B．
4．四个函数：①y＝x＋1；②y＝x3；③y＝x2－1；④y＝eq \f(1,x).其中定义域相同的函数有( )
A．①②和③ B．①和②
C．②和③ D．②③和④
【知识点】函数的定义域．
【数学思想】
【解题过程】略．
【思路点拨】注意的限制条件．
【答案】A
5.若函数满足且则=_______。
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】令求出；令求出；
再令求出．
【思路点拨】赋值法．
【答案】．
6．已知函数g(x)＝eq \f(x＋2,x－6)，
(1)点(3，14)在函数的图像上吗？
(2)当x＝4时，求g(x)的值；
(3)当g(x)＝2时，求x的值．
【知识点】函数的对应法则.
【数学思想】
【解题过程】略．
【思路点拨】正确运算．
【答案】 (1)不在 (2)－3 (3)14．
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
半开半闭区间
[a，＋∞)
{x|x＞a}
开区间
(a，＋∞)
{x|x≤a}
半开半闭区间
(－∞，a]
{x|x＜a}
开区间
(－∞，a)
年份
1991
1992
1993
1994
1995
…
恩格尔系数%
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
…