高中数学北师大版必修52.2一元二次不等式的应用课后复习题

课时分层作业(十七)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．不等式≥2的解集是(　　)

A．　　　　 B．

C．∪(1,3] D．∪(1,3]

D　[因为(x－1)2>0，

由≥2可得x＋5≥2(x－1)2且x≠1.

所以2x2－5x－3≤0且x≠1，所以－≤x≤3且x≠1.

所以不等式的解集是∪(1,3]．

2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于(　　)

A．M∩N

B．M∪N

C．∁R(M∩N)

D．∁R(M∪N)

D　[<0⇔(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－3<x<1}，将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，易知答案．

]

3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的集合是(　　)

A．{a|0<a<4}

B．{a|0≤a<4}

C．{a|0<a≤4}

D．{a|0≤a≤4}

D　[若a＝0时符合题意，若a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}，故选D．]

4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)

A．100台 B．120台

C．150台 D．180台

C　[利润S＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)≥0，其中x>0，解得x≥150.]

5．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)

A．　　　　 B．

C． D．(1，＋∞)

B　[A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝ƒ(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，ƒ(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有ƒ(2)≤0且ƒ(3)>0，即所以即≤a<.]

二、填空题

6．不等式≥1的解集为________．

　[原不等式可化为－1≥0.即≥0.原不等式等价于得≤x<3.∴原不等式的解集为.]

7．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格为24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围是________．

3≤t≤5　[由题意得×24 000×t%≥9 000，化简得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.]

8．若不等式x2＋bx＋1＜0无解，则b的取值范围是________．

[－2,2]　[由题可知x2＋bx＋1≥0恒成立，∴Δ＝b2－4≤0，得－2≤b≤2.]

三、解答题

9．解关于x的不等式＞x(a∈R)．

[解]　原不等式⇔＞0⇔x(ax－1)＞0.

当a＞0时，不等式的解集为，

当a＜0时，不等式的解集为，

当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜0}．

10．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系式为P＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．

(1)该厂的月销售量为多大时，月获得的利润不少于1 300元？

(2)当月销售量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

[解]　(1)设该厂的月获利为y，依题意得：

y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，

由y≥1 300知－2x2＋130x－500≥1 300，∴x2－65x＋900≤0，

∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45，

∴当月销售量在20～45件之间时，月获利不少于1 300元．

(2)由(1)知y＝－2x2＋130x－500＝－2(x－32.5)2＋1 612.5.

∵x为正整数，∴x＝32或33时，y取得最大值为1 612元，

∴当月销售量为32件或33件时，可获得最大利润1 612元．

[能力提升练]

1．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立．则实数a的取值范围为(　　)

A．－1<a<1 B．0<a<2

C．－<a< D．－<a<

C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，

∵不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，

即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，

即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，

所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，

解得－<a<，故选C.]

2．下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1，＋∞)

A　[法一：取x＝－2，知符合x<<x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B、C、D．

法二：由题知，不等式等价于<0，即<0，

从而<0，解得x<－1，选A．]

3．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.

4　[∵(x－a)(x＋1)>0与>0同解，

∴(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，

∴4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，

∴a＝4.]

4．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，则m的取值范围为________．

　[①若m2－2m－3＝0，即m＝3或－1，

m＝3时，原式化为－1<0，显然成立，

m＝－1时，原式不恒成立，故m≠－1.

②若m2－2m－3≠0，则

解得－<m<3，

∴m∈.]

5．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

[解]　(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图①所示，

图①

得即－＜m＜－.

(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图②所示

图②

列不等式组

即－＜m≤1－.