北师大版2.2一元二次不等式的应用导学案
展开2.2 一元二次不等式的应用
学 习 目 标 | 核 心 素 养 |
1.会解简单的分式不等式和简单的高次不等式.(重点) 2.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题.(重点、难点) | 1.通过学习分式不等式与高次不等式培养数学运算素养. 2.通过一元二次不等式的实际应用提升数学建模素养. |
1.分式不等式的解法
阅读教材P82“例10”以上部分,完成下列问题.
(1)>0与f(x)·g(x)>0同解.
(2)<0与f(x)·g(x)<0同解.
(3)≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解.
(4)≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解.
思考:(1)不等式≥0与f(x)·g(x)>0或f(x)=0同解吗?
[提示] 同解.
(2)解分式不等式的主导思想是什么?
[提示] 化分式不等式为整式不等式.
2.高次不等式的解法
阅读教材P82“例10”以下至P83“练习1”以上部分,完成下列问题.
如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”,函数f(x)的图像看成“线”,那么这种求解不等式的方法,我们形象地把它称为穿针引线法.
思考:(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗?
[提示] 可以
(2)应用穿针引线法解高次不等式f(x)>0,对f(x)的最高次项的系数有什么要求吗?
[提示] 把f(x)最高次项的系数化为正数.
1.不等式>0的解集是( )
A. B.
C. D.
A [>0⇔(4x+2)(3x-1)>0⇔x>或x<-,此不等式的解集为.]
2.函数f(x)=的定义域是________.
(-∞,0)∪[1,+∞) [由题意得≥0,即x(x-1)≥0且x≠0,解之得x≥1或x<0,故其定义域是(-∞,0)∪[1,+∞).]
3.不等式(x-1)(x+2)(x-3)<0的解集为________.
(-∞,-2)∪(1,3) [如图所示:
由图知原不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,3).]
4.不等式>0的解集为_________________.
{x|-4<x<-3或x>-1} [原式可转化为(x+1)(x+2)2(x+3)(x+4)>0,
根据数轴穿根法,解集为-4<x<-3或x>-1.]
分式不等式和高次不等式的解法 |
【例1】 解下列不等式:
(1)<0;(2)≤2;(3)(6x2-17x+12)(2x2-5x+2)>0.
[解] (1)由<0,得>0,此不等式等价于(x+4)(x-3)>0,
∴原不等式的解集为{x|x<-4或x>3}.
(2)法一:移项得-2≤0,左边通分并化简有≤0,即≥0,
同解不等式为∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
法二:原不等式可化为≥0,此不等式等价于
①
或 ②
解①得x≥5,解②得x<2,
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
(3)原不等式可化为(2x-3)(3x-4)(2x-1)(x-2)>0,
进一步化为(x-2)>0,
如图所示,得原不等式的解集为
.
1.分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可.
2.一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法求解,其步骤是:
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数;
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积;
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过);
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集.
1.解下列不等式:(1)≥1;(2)x4-2x3-3x2<0.
[解] (1)移项得-1≥0,即≥0,同解不等式为,∴<x≤4,故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2(x-3)(x+1)<0,
当x≠0时,x2>0,由(x-3)(x+1)<0,
得-1<x<3;
当x=0时,原不等式为0<0,无解.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<3,且x≠0}.
一元二次不等式在生活中的应用 |
【例2】 某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解] (1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意,有
整理,得
解此不等式组,得0.60≤x≤0.75.
所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
解不等式应用题的步骤
2.某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,如图,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.
[解] 设花卉带宽度为x m,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,根据题意,得(800-2x)(600-2x)≥×800×600,
整理,得x2-700x+60 000≥0,
解得x≥600(舍去)或x≤100,
由题意知x>0,所以0<x≤100.
即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时,草坪的面积不小于总面积的一半.
不等式的恒成立问题 |
[探究问题]
1.设f(x)=mx2+2x+1,若f(x)>0对任意的x∈R恒成立,f(x)的图像如何?求m的范围.
[提示] 由条件知m>0,即f(x)的图像开口向上,且和x轴没有交点,故解之得m>1.
2.设f(x)的值域是[1,2],若f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
[提示] a≤1
3.设x∈[3,4],若存在x∈[3,4],使x≥a,求a的取值范围.
[提示] a≤4
【例3】 设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
思路探究:(1)讨论m的符号,结合函数f(x)的图像求解.
(2)求f(x)的最大值,使其最大值小于-m+5;或分离参数m后,转化为求函数的最值问题.
[解] (1)要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,⇒-4<m<0.
∴-4<m≤0.
(2)法一:要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立.
就要使m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,
∴0<m<;
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)是减函数,
∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,
∴m<0.
综上所述:m<.
法二:当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
∵x2-x+1=2+>0,
又m(x2-x+1)-6<0,
∴m<.
∵函数y==在[1,3]上的最小值为,∴只需m<即可.
1.(变条件)把例3中的函数换为:f(x)=x2+(a-4)x+(5-2a),若f(x)>0对任意的x∈R都成立,求实数a的取值范围.
[解] 由题意可知,f(x)的图像开口向上,故要使f(x)>0恒成立,只需Δ<0即可,即(a-4)2-4(5-2a)<0,解得-2<a<2.
2.(变结论)例3的条件不变,若存在x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
[解] 不等式f(x)<-m+5可化为mx2-mx-1<-m+5,
即m(x2-x+1)<6,由于x2-x+1=2+>0,故原不等式等价于m<.
当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],故∈,由题意可知m<6.
有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常有两种处理方法
(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式.
(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图像建立参变量的不等式求解.
1.解分式不等式和高次不等式的一般方法是穿针引线法,先将不等式化为标准型,即右边为零,左边分解成几个因式的积,使每个因式的x系数全为1,再把各根依次从小到大标在数轴上后,要从右上方开始往左穿,若有重根,则奇次重根一次穿过,偶次重根要折回,然后根据x轴上方为正,下方为负的原则,由不等式的类型写出解集.注意分式不等式分母不为零.对分式不等式一般不去分母,若要去分母,需对分母的正负进行讨论.
2.一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不等式>2与3x+5>2(x+1)同解.( )
(2)≤0与(x-1)(x+2)≤0同解.( )
(3)应用穿针引线法解不等式(x+2)2(x-3)>0,可得其解集为(2,3).( )
[答案] (1)× (2)× (2)×
[提示] (1)错误,不等式>2与>0同解;
(2)错误,≤0与(x-1)(x+2)≤0且x+2≠0同解;
(3)错误,(x+2)2(x-3)>0的解集为(3,+∞).
2.对任意的x∈R,x2-ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.(-2,2) B.(-∞,2)∪(2,+∞)
C.[-2,2] D.(-∞,2]∪[2,+∞)
A [由题意可知Δ=a2-4<0,解得-2<a<2.]
3.不等式≤-2的解集为________.
[原不等式可化为≤0,故(4x+5)(x+3)≤0且x≠-3,故解集为.]
4.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格?
[解] 设每盏台灯售价x元,则x≥15,并且日销售收入为x[30-2(x-15)],由题意知,当x≥15时,有x[30-2(x-15)]>400,解得:15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,
应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20).
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案设计: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案设计,文件包含正文docx、答案docx等2份学案配套教学资源,其中学案共7页, 欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案设计: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案设计,文件包含正文docx、答案docx等2份学案配套教学资源,其中学案共7页, 欢迎下载使用。
数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案及答案: 这是一份数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案及答案,共9页。