高中数学苏教版 (2019)必修第一册第4章指数与对数本章综合与测试优秀综合训练题

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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修第一册第4章指数与对数本章综合与测试优秀综合训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十四) 一元二次不等式的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．不等式eq \f(1＋x,1－x)≥0的解集为( )

A．{x|－1

C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1

B [原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－1≤0，,x－1≠0，))

∴－1≤x<1．]

2．不等式eq \f(x－22x－3,x＋1)<0的解集为( )

A．{x|－1

B．{x|1

C．{x|2

D．{x|－1

A [原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－3<0，,x－2≠0，))

∴－1

3．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>a2，,x－4<2a))有解，则实数a的取值范围是( )

A．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

A [由题意得，a2＋1

∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0，

∴－1

4．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )

A．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ>0)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))

C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ>0)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))

D [二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))．]

5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．－1

C．－eq \f(1,2)

C [∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，

又不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，

即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，

所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，

解得－eq \f(1,2)

二、填空题

6．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是．

(－∞，－5] [设y＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．

则有x＝1和x＝2时，函数的值均为非正数，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0，))解得m≤－5．]

7．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万m3．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是．

[3,5] [设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5．]

三、解答题

8．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

[解] (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,\f(4,1－a)＝－2，,\f(6,1－a)＝－3，))解得a＝3．

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>eq \f(3,2)，

∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2)))))．

(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6．

9．某地区上年度电价为0．8元/kw·h，年用电量为a kw·h．本年度计划将电价降低到0．55元/kw·h至0．75元/kw·h之间，而用户期望电价为0．4元/kw·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0．3元/kw·h．

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0．2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

[解] (1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至eq \f(k,x－0.4)＋a，电力部门的收益为

y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x－0.4)＋a))(x－0．3)(0．55≤x≤0．75)．

(2)依题意，有

eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))x－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，,0.55≤x≤0.75.))

整理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1.1x＋0.3≥0，,0.55≤x≤0.75.))

解此不等式，得0．60≤x≤0．75．

∴当电价最低定为0．60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%．

1．下列选项中，使不等式x

A．(－∞，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1，＋∞)

A [法一：取x＝－2，知符合x

法二：由题知，不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x2))<0，即eq \f(x2－1x3－1,x2)<0，从而eq \f(x－12x＋1x2＋x＋1,x2)<0，解得x<－1，选A．]

2．函数y＝eq \r(kx2－6kx＋k＋8)的定义域为R，则实数k的取值范围为( )

A．(0,1) B．[1，＋∞)

C．[0,1] D．(－∞，0]

C [kx2－6kx＋(k＋8)≥0恒成立，

当k＝0时，满足．

当k≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝－6k2－4kk＋8≤0))⇒0

综上，0≤k≤1．]

3．若关于x的不等式eq \f(x－a,x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝．

4 [∵(x－a)(x＋1)>0与eq \f(x－a,x＋1)>0同解，∴(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，

∴4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，∴a＝4．]

4．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是．

(－∞，－3] [设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，

∴该函数在 [0,1]上y随着x的增大而减小，

∴当x＝1时，函数取得最小值－3，

∴要使x2－4x≥m对于任意x∈[0,1]恒成立，则需m≤－3．]

5．设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．

[解] 原不等式可化为(x2－1)m－(2x－1)＜0．

令y＝(x2－1)m－(2x－1)，其中m∈[－2,2], 则原命题等价于关于m的一次函数(x2－1≠0时)或常数函数(x2－1＝0时)在m∈[－2,2]上的函数值恒小于零．

(1)当x2－1＝0时，由y＝－(2x－1)＜0得x＝1．

(2)当x2－1＞0时，y在[－2,2]上随m的增大而增大，要使y＜0在[－2,2]上恒成立，

只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＞0，,2x2－1－2x－1＜0，))

解得1＜x＜eq \f(1＋\r(3),2)．

(3)当x2－1＜0时，y在[－2,2]上是随m的增大而减小，要使y＜0在[－2,2]上恒成立，

只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＜0，,－2x2－1－2x－1＜0，))

解得eq \f(－1＋\r(7),2)＜x＜1．

综合(1)(2)(3)，得eq \f(－1＋\r(7),2)＜x＜eq \f(1＋\r(3),2)．

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