2021学年2.2等差数列的前n项和同步测试题

课时分层作业(五)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S2＝4，则公差d为(　　)

A．2　　　　　　　　 B．3

C．6 D．7

B　[由得解得]

2．已知数列{an}为等差数列，a10＝10，数列前10项和S10＝70，则公差d＝(　　)

A．－ B．－

C．   D．

D　[由S10＝，得70＝5(a1＋10)，解得a1＝4，所以d＝＝＝，故选D.]

3．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)

A．160 B．180

C．200 D．220

B　[(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(－24)＋78＝54，又a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，则3(a1＋a20)＝54，所以a1＋a20＝18.则S20＝＝10×18＝180.]

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．

∵＝.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，

∴＝.]

5．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)

A．S15 B．S16

C．S15或S16 D．S17

A　[∵a1＝29，S10＝S20，

∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2.

∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.

∴当n＝15时，Sn取得最大值．]

二、填空题

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.

　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.]

7．已知等差数列{an}，Sn是其前n项和，S4＝8，S12＝20，则S8＝________.

　[因为S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，

所以2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2(S8－8)＝8＋20－S8，解得S8＝.]

8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元．

300　[由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．

设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，

则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，

S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)．]

三、解答题

9．在等差数列{an}中．

(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；

(2)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

[解]　(1)d＝＝＝＝7，解得n＝128.

∴Sn＝＝＝70 336.

(2)由

得

解方程组得或

10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？

[解]　设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1＋2＋3＋…＋n＝≥600，

所以n2＋n－1 200≥0，

记ƒ(n)＝n2＋n－1 200，

因为当n∈N＋时，ƒ(n)单调递增，

而ƒ(35)＝60>0，ƒ(34)＝－10<0，

所以n≥35，因此最下面一层最少放35根．

因为1＋2＋3＋…＋35＝630，

所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．

[能力提升练]

1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)

A．1　　　　　　　　 B．－1

C．2   D．

A　[＝＝＝＝·＝1.]

2．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

B　[由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，

an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，

∴4(a1＋an)＝280，∴a1＋an＝70.

又S＝＝×70＝210，∴n＝6.]

3．一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为32∶27，则公差d＝________.

5　[∵S12＝354，

∴S奇＝354×＝162，S偶＝354×＝192，

∴S偶－S奇＝30＝6d，∴d＝5.]

4．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.

10　[法一：S9＝S4，

即＝，

所以9a5＝2(a1＋a4)，

即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，

所以d＝－，

由1－(k－1)＋1＋3×＝0，

得k＝10.

法二：S9＝S4，

所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，

所以a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，

所以k＝10.]

5．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.

[解]　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.

由S7＝7，S15＝75，

得即

解得∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)．

∵－＝－＝，

∴数列是首项为－2，公差为的等差数列．

根据题意得Tn＝－2n＋n(n－1)×＝n2－n.

即Tn＝n2－n.