高中数学人教A版必修第一册4.3.1 对数的概念课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.3.1 对数的概念课时作业含解析，共1页。


[对应学生用书P58]
知识点1 对数的概念及特殊对数
(1)对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为lg_N.在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把lgeN记为ln N.
(3)对数与指数之间的关系
当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.
[微体验]
1．完成下面的指数式与对数式的互化．
25＝32⇔________；27－ eq \s\up7(\f(1,3)) ＝eq \f(1,3)⇔________；
lg5125＝3⇔________；lg3eq \f(1,81)＝－4⇔________.
答案 lg232＝5 lg27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3) 53＝125 3－4＝eq \f(1,81)
2．在b＝lg3(m－1)中，实数m的取值范围为________．
解析 由m－1＞0，解得m＞1.
答案 (1，＋∞)
知识点2 对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)lga1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
[微思考]
为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0，且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝lgaN时，不存在N≤0的情况．
[对应学生用书P58]
探究一 对数的概念[来源:学|科|网Z|X|X|K]
求下列各式中x的取值范围．
(1)lg(2x－1)(x＋2)；(2)lg(x2＋1)(－3x＋8)．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得x>eq \f(1,2)，且x≠1.
∴x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\a\vs4\al(|)x>\f(1,2)，且x≠1)).
(2)∵底数x2＋1≠1，
∴x≠0.
又∵－3x＋8>0，
∴x∴x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\a\vs4\al(|)x<\f(8,3)，且x≠0)).
[变式探究] 在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即lg(－3x＋8)(x2＋1)，则x的取值范围如何？
解 ∵底数－3x＋8>0，且－3x＋8≠1，
∴x又∵x2＋1>0，恒成立，
∴x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(8,3)，且x≠\f(7,3))))).
[方法总结]
要使对数lgaN有意义，必须满足下面两个条件
(1)底数大于0且不等于1；
(2)真数大于0.
因此求对数中参数的取值范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组，解出即可．
探究二 指数式与对数式的互化
将下列指数式与对数式互化：
(1)lg216＝4；(2) eq lg\s\d8(\f(1,3)) 27＝－3；(3) eq lg\s\d8(eq \r(3)) x＝6；
(4)43＝64；(5)3－2＝eq \f(1,9)；(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16.
解 (1)∵lg216＝4，∴24＝16.
(2)∵ eq lg\s\d8(\f(1,3)) 27＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27.
(3)∵ eq lg\s\d8(eq \r(3)) x＝6，∴(eq \r(3))6＝x.
(4)∵43＝64，∴lg464＝3.
(5)∵3－2＝eq \f(1,9)，∴lg3eq \f(1,9)＝－2.
(6)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16，∴ eq lg\s\d8(\f(1,4)) 16＝－2.
[方法总结]
指数式与对数式互化的解题思路
(1)指数式化为对数式．
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式．
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟踪训练1] 把下列各等式转化为相应的对数式或指数式．
(1)53＝125；(2) eq lg\s\d8(\f(1,2)) 8＝－3；(3)lg3eq \f(1,27)＝－3.
解 (1)∵53＝125，∴lg5125＝3.
(2)∵ eq lg\s\d8(\f(1,2)) 8＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝8.
(3)∵lg3eq \f(1,27)＝－3，∴3－3＝eq \f(1,27).
探究三 对数性质的应用
求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；(2)lg3(lg x)＝1；
(3) eq lg\s\d8((eq \r(2)-1)) eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x.
解 (1)∵lg2(lg5x)＝0，∴lg5x＝20＝1.
∴x＝51＝5.
(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3.
∴x＝103＝1 000.
(3)∵eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq \f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq \f(1,\r(2)＋1)＝eq \r(2)－1，
∴x＝ eq lg\s\d8((eq \r(2)-1)) eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝ eq lg\s\d8((eq \r(2)-1)) (eq \r(2)－1)＝1.
[方法总结]
对于对数的基本性质，要把握好以下三点
(1)在对数式中要特别注意N＞0，即零和负数没有对数．
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1，所以lga1＝0，即1的对数等于0.
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以lgaa＝1，即底数的对数为1.
关于“底数”和“1”的对数的运算，可利用对数的基本性质将其化成常数，这有利于化简和计算．
[跟踪训练2] (1)利用对数的定义或性质求下列各式的值：
①lg327；②lg 1 000；③ eq lg\s\d8((eq \r(3)-\r(2))) (5－2eq \r(6))；
④lg1041；⑤ln e.
(2)已知lg2(lg3(lg4x))＝lg3(lg4(lg2y))＝0.
求x＋y的值．
解 (1)①∵27＝33，∴lg327＝3.
②∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3.
③∵5－2eq \r(6)＝(eq \r(3))2＋(eq \r(2))2－2×eq \r(2)×eq \r(3)＝(eq \r(3)－eq \r(2))2，
∴ eq lg\s\d8((eq \r(3)-\r(2))) (5－2eq \r(6))＝2.
④lg1041＝0.
⑤ln e＝1.
(2)∵lg2(lg3(lg4x))＝0，∴lg3(lg4x)＝1.
∴lg4x＝3.∴x＝43＝64.
同理可得y＝24＝16.∴x＋y＝64＋16＝80.
[对应学生用书P4]
1．对数lga N可看作一符号，它和“＋”“－”“×”“÷”等符号一样，表示一种运算，即已知底数为a (a＞0，且a≠1)幂为N，求幂指数x的运算，它也表示为求关于x的方程ax＝N (a＞0，且a≠1)的解的过程．
2．lgaN＝b与ab＝N (a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表示第三个量．
3．指数运算和对数运算是互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用ab＝N⇔b＝lgaN(a＞0，a≠1，N＞0)进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．
4．并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成lg(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝lgaN.
课时作业(二十三) 对数的概念
[见课时作业(二十三)P165]
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0 B．lg39＝2与9 eq \s\up7(\f(1,2)) ＝3
C．8－ eq \s\up7(\f(1,3)) ＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3) D．lg77＝1与71＝7
B [lg39＝2可化为指数式32＝9, 9 eq \s\up7(\f(1,2)) ＝3可化为对数式lg93＝eq \f(1,2).]
2．在等式b＝lg(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．{a|a＞5或a＜2} B．{a|2＜a＜3或3＜a＜5}
C．{a|2＜a＜5} D．{a|3＜a＜4}
B [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＞0，,a－2≠1，,5－a＞0，))解得2＜a＜5且a≠3.]
3．lneq \r(e)等于( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
B [设lneq \r(e)＝x，则ex＝eq \r(e)＝e eq \s\up7(\f(1,2)) ，∴x＝eq \f(1,2).]
4．若lg2(lgx9)＝1，则x＝________.
解析 由lg2(lgx9)＝1可知lgx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．
答案 3
5．若lga3＝m，lga5＝n，则a2m＋n＝________.
解析 由lga3＝m，得am＝3，由lga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
答案 45
6．求下列各式中x的值：
(1)lg5(lg3x)＝0；
(2)lgx27＝eq \f(3,2)；
(3)ln[lg2(lg x)]＝0.
解 (1)设t＝lg3x，则lg5t＝0，
∴t＝1，即lg3x＝1.∴x＝3.
(2)由lgx27＝eq \f(3,2)可得x eq \s\up7(\f(3,2)) ＝27，∴x＝27 eq \s\up7(\f(2,3)) ＝(33) eq \s\up7(\f(2,3)) ＝9.
(3)∵ln[lg2(lg x)]＝0，∴lg2(lg x)＝1.
∴lg x＝2.∴x＝102＝100.
1．已知f(x3)＝lgax，且f(8)＝1，则a＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．2 D．3[来源:学|科|网Z|X|X|K]
C [f(8)＝f(23)＝lga2＝1，∴a＝2.]
2．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则lgx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
B [由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1；lgx(yx)＝lg2(12)＝0.]
3．若2lg3x＝eq \f(1,4)，则x等于________．
解析 ∵2 lg3x＝eq \f(1,4)＝2－2，∴lg3x＝－2，∴x＝3－2＝eq \f(1,9).
答案 eq \f(1,9)
4．(多空题)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2－x，x＜0,2x－1，x≥0))，则f(1)＝________；若f(a)＝2，则a＝________.
解析 当x＝1时，f(1)＝21－1＝1.当a＜0时，f(a)＝lg2(－a)＝2⇒a＝－4；当a≥0时，f(a)＝2a－1＝2⇒a＝2.
答案 1 －4或2
5．(拓广探索)已知α，β是方程x2－eq \r(10)x＋2＝0的两个实根，求lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α2－αβ＋β2,|α－β|)))的值．
解 因为α，β是方程x2－eq \r(10)x＋2＝0的两个实根，
所以α＋β＝eq \r(10)，αβ＝2，
所以eq \f(α2－α β＋β2,|α－β|)＝eq \f(α＋β2－3αβ,\r(α＋β2－4αβ))＝eq \f(10－6,\r(10－8))＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，
所以原式所求值转化为求lg22eq \r(2).
令lg22eq \r(2)＝x，则2x＝2eq \r(2)＝2 eq \s\up7(\f(3,2)) ，
所以x＝eq \f(3,2)，所以lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α2－αβ＋β2,|α－β|)))＝eq \f(3,2).
课程标准
核心素养
理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
通过对对数概念和运算性质的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.