高中数学人教A版必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P69]
知识点 三种不同函数增长的差异
[微体验]
1．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
C [荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面面积的一半．]
2．下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
C [表中数据体现爆炸式增长，符合的函数模型为指数函数模型．]
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝lg2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.
解析 将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
答案 乙、甲、丙
[对应学生用书P69]
探究一 几类函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x值的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50x(x∈Z) B．y＝1 000x
C．y＝0.4×2x－1 D．y＝eq \f(1,10 000)·ex
(2)如图是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶. 已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如图所示，试确定水瓶的形状是图中的( )
(1)D [指数“爆炸式”增长，y＝0.4×2x－1和y＝eq \f(1,10 000)·ex虽然都是指数型函数，但y＝eq \f(1,10 000)·ex的底数e较大些，增长速度更快．]
(2)B [看图显然图象从左向右，图象上升先快后慢，也就是说，向瓶中注入相同的水量(如单位体积)时，水的高度改变得越来越大. 所以，如果向瓶中匀速注水，则水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，说明瓶的这部分较细，同样如果水的高度上升得慢，说明瓶的这部分较粗，从图象上看，水的高度上升得越来越快，所以瓶子是下面较粗，越向上越细，所以水瓶的形状应是图B．]
[方法总结]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax (a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
[跟踪训练1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________.
解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
答案 y2
探究二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
B [由图得水深h越大，水的体积v就越大，故v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小．]
[方法总结]
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[跟踪训练2] 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
[对应学生用书P70]
1．三类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．
2．函数模型的应用
(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
课时作业(二十八) 不同函数增长的差异
[见课时作业(二十八)P170]
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
A [自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．]
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
D [设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．]
3．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )[来源:学.科.网]
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点．
D [由图知，甲、乙两人S与t的关系均为直线上升，路程S的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快．又甲、乙的路程S取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点．]
4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝lg2t
C．一次函数：y＝10t D．二次函数：y＝2t2
A [由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．]
5．甲用1 000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出给丙，甲在上述交易中盈利________元．[来源:学*科*网]
解析 由题意，甲卖给乙获利：1 000×10%＝100(元)，
乙卖给甲：1 000×(1＋10%)(1－10%)＝990(元)，
甲卖给丙：1 000×(1＋10%)(1－10%)×90%＝1 000×1.1×0.9×0.9＝891(元)，
甲赔了：990－891＝99(元)，甲的盈亏情况为盈利：100－99＝1(元)．
答案 1
6．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，求本利和y随存期x变化的函数关系式．
解 已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2,3期后本利和为y＝a(1＋r)3，
…，
x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.
1．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系式为：P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为( )
A．eq \f(1,2) h B．eq \f(5,9) h
C．5 h D．10 h
C [由题意知前5个小时消除了90%的污染物．
∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，
即－5k＝ln 0.1，∴k＝－eq \f(1,5)ln 0.1.
由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，
∴－kt＝ln 0.01，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)ln 0.1))t＝ln 0.01，∴t＝10，∴至少还需要过滤5 h才可以排放．]
2．(多选题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息是( )
A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h
B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者的速度一样
ABC [看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确，D错误．]
3．某工厂一年中12月份的产量是1月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析 设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，∴x＝eq \r(11,a)－1.
答案 eq \r(11,a)－1
4．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
解析 由模拟函数及散点图得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg 1.6＋b＝5，,alg 3.2＋b＝5.2，))
两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，alg 2＝0.2，a≈eq \f(2,3).
答案 eq \f(2,3)
5．(拓广探索)已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝a·e－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－a·e－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有eq \f(a,4) L?
解 由题意，得a·e－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝eq \f(1,2). ①
设再过t min桶1中的水只有eq \f(a,4) L，
则a·e－n(t＋5)＝eq \f(1,4)a，即e－n(t＋5)＝eq \f(1,4). ②
将①式两边平方得e－10n＝eq \f(1,4)， ③
比较②，③得－n(t＋5)＝－10n，所以t＝5.
即再过5 min桶1中的水只有eq \f(a,4)L.
课程标准
核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
通过对三种不同函数增长差异的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
y＝ax(a>1)
y＝kx(k>0)
y＝lgax(a>1)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x增大逐渐与y轴平行
增长速
度固定
随x增大逐渐与x轴平行
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>lgax
x
－2
－1
0
1
2
y
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
1
4
16
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4