高中数学人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程导学案

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程导学案，共10页。


1．曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示] (1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝eq \r(1－x2)表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)充要条件是f(x0，y0)＝0．
2．求曲线方程的步骤
1．下列结论正确的个数为 ( )
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；
(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0．
A．1 B．2
C．3 D．4
A [(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD是一条线段，而不是直线，∴中线AD的方程为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．]
2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
B [将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．]
3．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是( )
A．一个点 B．两条互相平行的直线
C．两条互相垂直的直线 D．两条相交但不垂直的直线
D [∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，
∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，
∴2x＋1＝±(y－1)，
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．]
4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1,2)与动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))＝3，则点P的轨迹方程为________．
x－2y＋3＝0 [由题意eq \(OP,\s\up7(→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up7(→))＝(－1,2)，则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))＝－x＋2y．由eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．]
【例1】 (1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是 ( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
(1)B [根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．]
(2)解：①过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5．
③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0．
1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
eq \O([跟进训练])
1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )
A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0
B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
C [根据曲线的方程的定义知，选C．]
(2)已知方程x2＋(y－1)2＝10．
①判断点P(1，－2)，Q(eq \r(2)，3)是否在此方程表示的曲线上；
②若点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，－m))在此方程表示的曲线上，求实数m的值．
[解] ①因为12＋(－2－1)2＝10，(eq \r(2))2＋(3－1)2＝6≠10，
所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(eq \r(2)，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
②因为点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
所以x＝eq \f(m,2)，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))eq \s\up12(2)＋(－m－1)2＝10．
解得m＝2或m＝－eq \f(18,5)．
故实数m的值为2或－eq \f(18,5)．
[探究问题]
1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？
[提示] 只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？
[提示] 根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．
【例2】 在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．
思路探究：以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解．
法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上．
[解] 法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，
过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．
由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以(eq \r(x＋a2＋y2))2＋(eq \r(x－a2＋y2))2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2．
由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a．
所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一．
因为AC⊥BC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
若本例题改为“一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．”如何求解？
[解] 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|．
则|8－x|＝2eq \r(x－22＋y－02)，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48．
1．直接法求曲线方程
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0．要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
2．定义法求曲线方程
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．
【例3】 已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量eq \(OQ,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋eq \(ON,\s\up7(→))，求动点Q的轨迹方程．
[解] 设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为eq \(OQ,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋eq \(ON,\s\up7(→))，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝eq \f(y,2)．
又点M在圆C上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，即x2＋eq \f(y2,4)＝4．
所以，动点Q的轨迹方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1．
代入法求轨迹方程的步骤
1分析所求动点与已知动点坐标间关系；
2用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
3代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程.
eq \O([跟进训练])
2．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
[解] 设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(－2＋0＋x1,3)，,y＝\f(0－2＋y1,3)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3x＋2，,y1＝3y＋2.))
代入y1＝3xeq \\al(2,1)－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1．
∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．
【例4】 方程(x＋y－1)eq \r(x2＋y2－4)＝0所表示的曲线的轨迹是( )
A B C D
D [原方程等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x2＋y2≥4))或x2＋y2＝4．
其中当x＋y－1＝0时，eq \r(x2＋y2－4)需有意义，等式才成立，
即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，
所以方程对应的曲线是D．]
(1)由具体的方程判断曲线的步骤为：
(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养．
eq \([跟进训练])
3．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是________．
两个点(1,1)或(－1，－1) [由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,xy＝1，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))所以方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是两个点(1,1)或(－1，－1)．]
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．
4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．
5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
1．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为( )
A．2 B．3
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
D [因为点P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，所以代入曲线方程可得a＝eq \f(1,3)，故选D．]
2．方程eq \r(1－|x|)＝eq \r(1－y)表示的曲线为( )
A．两条线段 B．两条直线
C．两条射线 D．一条射线和一条线段
A [由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0，
∴有y＝|x|，|x|≤1．
∴曲线表示两条线段，故选A．]
3．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，顶点C的轨迹是( )
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点 D．两个点
B [由题意知|AC|＝|BC|，则顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线(除去线段AB的中点)，故选B．]
4．动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－eq \f(1,2)，求动点M的轨迹方程．
[解] 如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．
设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA＝eq \f(y,x＋a)，kMB＝eq \f(y,x－a)(x≠±a)．
∵kMA·kMB＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝－eq \f(1,2)，
化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．
2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)
3．掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)
1．通过曲线与方程的概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．
2．借助曲线方程的求法，培养学生的逻辑推理素养及直观想象素养．
曲线与方程的概念
用直接法(定义法)求曲线方程
代入法求轨迹方程
由方程判断曲线