2020-2021学年上海市普陀区七年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年上海市普陀区七年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（4分）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是（ ）
A．顶角对应相等B．底边对应相等
C．两腰对应相等D．一腰和底边对应相等
3．（4分）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y）B．（2x﹣4y+y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y）D．2（x﹣y）（x﹣y）
4．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD＝110°，则∠BAC的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
5．（4分）若等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角是（ ）
A．100°B．40°C．100°或40°D．60°
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD分别是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（4分）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长 cm．
8．（4分）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝ ．
9．（4分）等腰三角形的对称轴是 ．
10．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 cm．
11．（4分）如果等腰三角形的一边长为10，另一边长为3，那么这个等腰三角形的周长为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为 °．
13．（4分）二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，则a的取值范围是 ．
14．（4分）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ．
16．（4分）如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有 对．
17．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为 ．
18．（4分）如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为 ．
三、解答题（第19-22题10分，第23-24题12分，第25题14分）
19．（10分）在实数范围内分解因式：
（1）﹣a2﹣3a+1．
（2）2x2y2﹣3xy﹣4．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AE＝AC，过点E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．说明∠BAD＝∠CAD．
22．（10分）如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，求∠BDC的度数．
23．（12分）如图，△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED＝∠CEF，
（1）试说明△ABC是等腰三角形，
（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）联结EG，试说明EG与DF垂直的理由．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，D为直线BC上一动点（不与点B、点C重合），向AB的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长；
（3）当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．（直接写结果，无需写出求解过程）
2020-2021学年上海市普陀区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故选：B．
2．（4分）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是（ ）
A．顶角对应相等B．底边对应相等
C．两腰对应相等D．一腰和底边对应相等
【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可．
【解答】解：A、顶角对应相等的两个等腰三角形是AAA，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误；
B、只有底边相等，别的边，角均不确定，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误；
C、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误；
D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用SSS可以证得两个等腰三角形全等，故本选项正确．
故选：D．
3．（4分）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y）B．（2x﹣4y+y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y）D．2（x﹣y）（x﹣y）
【分析】把x看做未知数，把y看做常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案．
【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝y，x2＝y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣y）（x﹣y）
故选：D．
4．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD＝110°，则∠BAC的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD∥BC，∠1＝70°，
∴∠C＝∠1＝70°，
∴∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
5．（4分）若等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角是（ ）
A．100°B．40°C．100°或40°D．60°
【分析】已知等腰三角形的一个内角为40°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当40°是顶角或者40°是底角两种情况．
【解答】解：此题要分情况考虑：
①40°是它的顶角；
②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．
所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
故选：C．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD分别是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC＝2∠ABD＝72°，又可求∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形；又∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；由∠DBC＝∠ABD＝36°，得∠C＝72°，可求∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC是等腰三角形…①．
∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD是等腰三角形…②．
∵∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形…③．
故图中的等腰三角形有3个．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（4分）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长 4 cm．
【分析】等边三角形的三条边相等，用12除以3就得这个三角形的边长，由此可得答案．
【解答】解：12÷3＝4（cm）．
答：这个等边三角形的边长为4cm．
故答案为：4．
8．（4分）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝ 5 ．
【分析】在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去60°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数，进而判断出三角形为等边三角形，即可求得腰长
【解答】解∵等腰三角形的顶角为60°，
∴底角＝＝60°，
∴三角形为等边三角形，
∴腰长＝底边长＝5，
所以它的腰长为5，
故答案为5．
9．（4分）等腰三角形的对称轴是 底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线 ．
【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
【解答】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）．
10．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 3 cm．
【分析】由AB＝AC，得出△ABC是等腰三角形，由∠1＝∠2，得出AD是顶角平分线，再由等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴BD＝CD＝BC，
∵BC＝6cm，
∴BD＝×6＝3（cm）．
故答案为：3．
11．（4分）如果等腰三角形的一边长为10，另一边长为3，那么这个等腰三角形的周长为 23 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3＜10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，3+10＞10，所以能构成三角形，周长是：3+10+10＝23．
故答案为：23．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为 15 °．
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，然后在Rt△DBC中，求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15．
13．（4分）二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，则a的取值范围是 a≥﹣ ．
【分析】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，由此可解．
【解答】解：二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣3x﹣4a＝0有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×（﹣4a）＝9+16a≥0，
解得a≥﹣．
故a的取值范围是a≥﹣．
故答案为：a≥﹣．
14．（4分）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为 60° ．
【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数，由四边形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°．
∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BDE＝∠AFD＝90°．
∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°，
∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°．
故答案为：60°．
15．（4分）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 10 ．
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
16．（4分）如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有 3 对．
【分析】根据梯形的性质可得到两对同底同高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，故面积相等的三角形有三对．
【解答】解：根据梯形的性质知，△ADC与△DAB，△ABC与DCB都是同底等高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，
所以面积相等的三角形有三对，
故答案为：3．
17．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为 75°或15° ．
【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，
如图（1），∠ABD＝60°，
则∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°；
如图（2），∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．
故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．
故答案为：75°或15°．
18．（4分）如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为 8 ．
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ABC＝2S△ADC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ABC═2S△ADC＝2×4＝8，
故答案为：8．
三、解答题（第19-22题10分，第23-24题12分，第25题14分）
19．（10分）在实数范围内分解因式：
（1）﹣a2﹣3a+1．
（2）2x2y2﹣3xy﹣4．
【分析】（1）设﹣a2﹣3a+1＝0，先求出方程的解，再分解因式即可；
（2）设2x2y2﹣3xy﹣4＝0，先求出方程的解，再分解因式即可．
【解答】解：（1）设﹣a2﹣3a+1＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×1＝13＞0，
∴a＝＝，
a1＝﹣，a2＝﹣，
∴﹣a2﹣3a+1＝﹣（a+）（a+）；
（2）设2x2y2﹣3xy﹣4＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴xy＝＝，
∴（xy）1＝，（xy）2＝，
∴2x2y2﹣3xy﹣4＝2（xy﹣）（xy﹣）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝50°，∠BDE＝65°，∠ADB＝90°，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝50°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝65°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AE＝AC，过点E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．说明∠BAD＝∠CAD．
【分析】由平行线的性质得出∠FEC＝∠DCE，由角平分线的性质得出∠FEC＝∠DEC，推出∠DCE＝∠DEC，则ED＝CD，由SSS证得△AED≌△ACD，进而可得结论．
【解答】证明：∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠DCE，
∵EC平分∠DEF，
∴∠FEC＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴ED＝CD，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD．
22．（10分）如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，求∠BDC的度数．
【分析】由△ABC为等边三角形可得出AB＝AC、∠BAC＝60°，由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD＝60°，结合OD＝OA可得出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出AO＝AD、∠OAD＝60°，根据∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°可得出∠BAO＝∠CAD，利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BAO≌△CAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC的度数，再根据∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵∠AOB＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝60°．
又∵OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°．
∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，
∴∠BAO＝∠CAD．
在△BAO和△CAD中，
，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO＝60°．
23．（12分）如图，△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED＝∠CEF，
（1）试说明△ABC是等腰三角形，
（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠EAD＝∠F，∠BAF＝∠E，进而再通过角之间的转化得出结论；
（2）由平行线的性质可得∠EAD＝∠F，∠BAF＝∠E，由于∠BED＝∠CEF，得到∠C＝∠CEF＝∠BED＝∠B，于是得到EF＝CF，DE＝DB，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AC
∴∠BED＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）AB+AC＝四边形ADEF的周长，
理由：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠C＝∠CEF＝∠BED＝∠B，
∴EF＝CF，DE＝DB，
∴AC+AB＝CF+AF+AD+BD＝EF+AF+AD+DE＝四边形EFAD的周长．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）联结EG，试说明EG与DF垂直的理由．
【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）由∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE（中点的意义），
在△ADE和△BFE中，
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
（2）∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠F＝∠2（等量代换），
∴DG＝FG（等角对等边）．
∵△ADE≌△BFE （已证），
∴DE＝FE（全等三角形的对应边相等），
∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，D为直线BC上一动点（不与点B、点C重合），向AB的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长；
（3）当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．（直接写结果，无需写出求解过程）
【分析】（1）根据SAS即可证明△BAD≌△CAE；
（2）利用等腰三角形的三线合一可得出BD＝CD，则可得出答案；
（3）分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：①如图1，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：如图2，∵AE＝AD，AC⊥DE，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC
∵BC＝6，
∴BD＝BC＝3；
（3）如图1，当D在线段BC上时，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，∠ADB＝∠AEC，
∴∠ABD＝∠BAC，又∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣60°﹣23°＝97°；
如图3，当点D在CB的延长线上时，同理可得，∠ABC＝60°，
∴∠AEC＝37°，
即当△ABD中的最小角是∠DAB时，∠ADB＝∠AEC＝37°，
当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB＝23°，则∠AEC＝23°．
∴∠AEC的度数为97°或37°或23°．