人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和同步训练题

这是一份人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和同步训练题，共4页。

1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．
2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q) q≠1,na1 q＝1)).
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝eq \f(a1,1－q)(1－qn)＝A(qn－1)．其中
A＝eq \f(a1,q－1).
3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq \f(S5,S2)等于( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则eq \f(S5,S2)＝eq \f(a11＋25,a11－22)＝－11.
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则eq \f(S10,S5)等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
答案 D
解析 由题意知公比q≠1，eq \f(S6,S3)＝eq \f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))
＝1＋q3＝9，
∴q＝2，eq \f(S10,S5)＝eq \f(\f(a11－q10,1－q),\f(a11－q5,1－q))＝1＋q5
＝1＋25＝33.
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则eq \f(S4,a2)等于( )
A．2 B．4
C.eq \f(15,2) D.eq \f(17,2)
答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝eq \f(a2,q)＋a2＋a2q＋a2q2，
得eq \f(S4,a2)＝eq \f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq \f(15,2).
方法二 S4＝eq \f(a11－q4,1－q)，a2＝a1q，
∴eq \f(S4,a2)＝eq \f(1－q4,1－qq)＝eq \f(15,2).
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.eq \f(15,2) B.eq \f(31,4)
C.eq \f(33,4) D.eq \f(17,2)
答案 B
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且aeq \\al(2,3)＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq \f(1,q2)＋eq \f(1,q)＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝eq \f(1,2)或q＝－eq \f(1,3)(舍去)，
∴a1＝eq \f(1,q2)＝4.
∴S5＝eq \f(41－\f(1,25),1－\f(1,2))＝8(1－eq \f(1,25))＝eq \f(31,4).
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
∴k＝－1.
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514 B．513 C．512 D．510
答案 D
解析 由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q3＝18,a1q＋a1q2＝12))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝16,q＝\f(1,2))).
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝eq \f(228－1,2－1)＝29－2＝510.
二、填空题
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
答案 －eq \f(1,3)
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝eq \f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq \f(1,3).
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
答案 3
解析 S6＝4S3⇒eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(4·a11－q3,1－q)⇒q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
答案 10
解析 Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，∴－341＝eq \f(1＋512q,1－q)，
∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，
∴n＝10.
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
答案 2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N*.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1an＝128，,a1＋an＝66，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝64，,an＝2，))①
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,an＝64.))②
将①代入Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，可得q＝eq \f(1,2)，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝eq \f(1,2)或2.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
解 分x＝1和x≠1两种情况．
(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝eq \f(x1－xn,1－x)－nxn＋1.
∴Sn＝eq \f(x1－xn,1－x2)－eq \f(nxn＋1,1－x).
综上可得Sn＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(nn＋1,2) x＝1,\f(x1－xn,1－x2)－\f(nxn＋1,1－x) x≠1且x≠0)).
能力提升
13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.
解 方法一 由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝eq \f(182,3).
方法二 由题意得a≠1，∴Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝54 ①
S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)＝60 ②
由②÷①得1＋qn＝eq \f(10,9)，
∴qn＝eq \f(1,9)，∴eq \f(a1,1－q)＝eq \f(9×54,8)，
∴S3n＝eq \f(a11－q3n,1－q)＝eq \f(9×54,8)(1－eq \f(1,93))＝eq \f(182,3).
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.
(2)∵bn＝anlg2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2. ②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－eq \f(231－2n－1,1－2)＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．