人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和巩固练习

课时训练10　等差数列前n项和的性质与应用

一、等差数列前n项和性质的应用

1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于(　　)

A.12 B.18 C.24 D.42

答案:C

解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.

2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

答案:C

解析:由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组求得d=3,故选C.

3.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2 015,=2,则S2 015=(　　)

A.2 015 B.-2 015 C.0 D.1

答案:B

解析:由等差数列前n项和性质可知,数列是等差数列,设公差为d,

则=2d=2,所以d=1.

所以+2 014d=-2 015+2 014=-1,

所以S2 015=-2 015.

二、等差数列前n项和中的最值问题

4.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题中错误的是(　　)

A.若d<0,则数列{Sn}有最大项

B.若数列{Sn}有最大项,则d<0

C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0

D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列

答案:C

解析:由等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d=n2+n知,Sn对应的二次函数有最大值时d<0.

故若d<0,则Sn有最大值,A,B正确.

又若对任意n∈N*,Sn>0,则a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D正确.

而对于C项,令Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但S1=-1<0.C不正确.

5.(2015河南南阳高二期中,10)已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0的n的最大值为(　　)

A.21 B.20 C.19 D.18

答案:C

解析:由<-1,可得<0,

由它们的前n项和Sn有最大值可得数列的公差d<0,∴a10>0,a11+a10<0,a11<0,

∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.

∴使得Sn>0的n的最大值n=19.故选C.

6.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,则k的值为(　　)

A.22 B.21 C.20 D.19

答案:C

解析:对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.

因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,

所以a4=33,a5=31,

故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,

则n=1时,a1=39,

所以Sn=n2+n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时Sn取得最大值,从而满足对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 014>0,S2 015<0,则当n=　　　　　时,Sn最大. 

答案:1 007

解析:由等差数列的性质知,S2 015=2 015a1 008<0,

所以a1 008<0.

又S2 014==1 007(a1 007+a1 008)>0,

所以a1 007+a1 008>0,而a1 008<0,故a1 007>0.

因此当n=1 007时,Sn最大.

8.已知数列{an},an∈N*,前n项和Sn=(an+2)2.

(1)求证:{an}是等差数列;

(2)设bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.

(1)证明:由已知得8Sn=(an+2)2,

则8Sn-1=(an-1+2)2(n≥2),

两式相减,得8an=(an+2)2-(an-1+2)2,

即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.

因为an∈N*,所以an+an-1>0,

所以an-an-1=4(n≥2),

故数列{an}是以4为公差的等差数列.

(2)解:令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.

由(1)知an=2+(n-1)×4=4n-2,

所以bn=an-30=2n-31.

由bn=2n-31<0,得n<,

即数列{bn}的前15项为负值,n≥16时bn>0.

设数列{bn}的前n项和为Tn,

则T15最小,其值为T15=15×(-29)+×2=-225.

三、与数列{|an|}前n项和有关的问题

9.已知数列{an}的通项公式an=5-n,则当|a1|+|a2|+…+|an|=16时,n=　　　　　. 

答案:8

解析:由an=5-n,可得n<5时,an>0;

n=5时,a5=0;

n>5时,an<0,

而a1+a2+…+a5=10,

∴|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=16.

∴20+=16,解得n=8.

10.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且5a3·a1=(2a2+2)2.

(1)求d,an;

(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

解:(1)因为5a3·a1=(2a2+2)2,所以d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.故an=-n+11或an=4n+6.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn.

因为d<0,所以由(1)得d=-1,an=-n+11.

则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;

当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.

综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=

(建议用时:30分钟)

1.若等差数列{an}的前3项和S3=9,则a2等于(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案:A

解析:S3==9,

∴a1+a3=2a2=6.∴a2=3.故选A.

2.设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于(　　)

A.-182 B.-78 C.-148 D.-82

答案:D

解析:由a1+a4+a7+…+a97=50, ①

令a3+a6+a9+…+a99=x, ②

②-①得2d×33=x-50,而d=-2,

∴x=-132+50=-82.故选D.

3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是(　　)

A.S7 B.S8 C.S13 D.S15

答案:C

解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d

=3(a1+6d)

=3a7=3×S13.

于是可知S13是常数.

4.设{an}为等差数列,a1>0,a6+a7>0,a6·a7<0,则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)

A.11 B.12 C.13 D.14

答案:B

解析:∵a6+a7=a1+a12,

∴S12==6(a6+a7)>0.

由已知得a6>0,a7<0,又S13=13a7<0,

∴使Sn>0成立的最大自然数n为12,故选B.

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=1,S3n-Sn=5,则S4n=(　　)

A.4 B.6 C.10 D.15

答案:C

解析:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等差数列,设公差为d,

则S2n-Sn=Sn+d,S3n-S2n=Sn+2d.

∴S3n-Sn=2Sn+3d=5.

又∵Sn=1,∴d=1.

∴S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)

=1+2+3+4=10.

6.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=　　　　. 

答案:10

解析:S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,

∴a7=0,从而a4+a10=2a7=0,∴k=10.

7.等差数列前12项和为354,在前12项中的偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则公差d=　　　　　. 

答案:5

解析:由已知

解得

又∵此等差数列共12项,

∴S偶-S奇=6d=30.∴d=5.

8.等差数列{an}与{bn},它们的前n项和分别为An,Bn,若,则=　　　　. 

答案:

解析:.

9.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.

解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=20,S10=S15,

∴10a1+d=15a1+d.

解得d=-.

解法一:由以上得an=20-(n-1)=-n+.

由an≥0得-n+≥0,∴n≤13.

所以数列前12项或前13项的和最大,其最大值为S12=S13=12a1+d=130.

解法二:由以上得Sn=20n+

=-n2+n+20n=-n2+n

=-(n2-25n)=-.

∴当n=12或13时,Sn最大,最大值为S12=S13=130.

10.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.

解:等差数列{an}的公差d==3,

∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.

由an<0,得3n-63<0,即n<21.

∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.

设Sn,Sn'分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,

当n≤20时,Sn'=-Sn

=-

=-n2+n;

当n>20时,

Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20

=-60n+×3-2×

=n2-n+1 260.

∴数列{|an|}的前n项和为

Sn'=