2021学年第二章 数列2.5 等比数列的前n项和同步练习题

课时训练13　等比数列的前n项和

一、等比数列前n项和公式的应用

1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于(　　)

A.31 B.33 C.35 D.37

答案:B

解析:∵S5=1,∴=1,即a1=.

∴S10==33.

2.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)

A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an

答案:D

解析:Sn==3-2an,

故选D.

3.(2015福建厦门高二期末,7)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若27a2-a5=0,则等于(　　)

A.-27 B.10 C.27 D.80

答案:B

解析:设等比数列{an}的公比为q,

则27a2-a2q3=0,解得q=3,

∴=1+q2=10.故选B.

4.(2015课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=　　　　　. 

答案:6

解析:∵an+1=2an,即=2,

∴{an}是以2为公比的等比数列.

又a1=2,∴Sn==126.

∴2n=64,∴n=6.

5.设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=　　　　　. 

答案:15

解析:由数列{an}首项为1,公比q=-2,则an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.

二、等比数列前n项和性质的应用

6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为(　　)

A.180 B.108 C.75 D.63

答案:D

解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14).

又∵S7=48,S14=60,∴S21=63.

7.已知数列{an},an=2n,则+…+=　　　　　. 

答案:1-

解析:由题意得:数列{an}为首项是2,公比为2的等比数列,由an=2n,得到数列{an}各项为:2,22,…,2n,所以+…++…+.所以数列是首项为,公比为的等比数列.则+…++…+=1-.

8.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求n和q.

解:∵a2an-1=a1an,∴a1an=128.

解方程组①或②

将①代入Sn==126,可得q=,

由an=a1qn-1,可得n=6.

将②代入Sn==126,可得q=2,

由an=a1qn-1可解得n=6.

综上可得,n=6,q=2或.

三、等差、等比数列的综合应用

9.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=,Tn=c1+c2+…+cn,当Tn>2 013时,n的最小值为              (　　)

A.7 B.9 C.10 D.11

答案:C

解析:由已知an=2n-1,bn=2n-1,

∴cn==2×2n-1-1=2n-1.

∴Tn=c1+c2+…+cn=(21+22+…+2n)-n=2×-n=2n+1-n-2.

∵Tn>2 013,

∴2n+1-n-2>2 013,解得n≥10,

∴n的最小值为10,故选C.

10.已知公差不为0的等差数列{an}满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列.

(1)求an;

(2)若bn=,求{bn}的前n项和Tn.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由S7==77可得7a4=77,则a1+3d=11　①.

因为a1,a3,a11成等比数列,所以=a1a11,整理得2d2=3a1d.

又d≠0,所以2d=3a1　②,

联立①②,解得a1=2,d=3,所以an=3n-1.

(2)因为bn==23n-1=4·8n-1,所以{bn}是首项为4,公比为8的等比数列.

所以Tn=.

(建议用时:30分钟)

1.在等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,则n的值为(　　)

A.5 B.4 C.6 D.7

答案:C

解析:显然q≠1,由an=a1·qn-1,得96=3×qn-1.

又由Sn=,得189=.

∴q=2.∴n=6.

2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比等于(　　)

A.1 B. C.- D.

答案:C

解析:设等比数列{an}的公比为q,

由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,

解得q=-或q=0(舍去).故选C.

3.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于(　　)

A.2 B. C.4 D.

答案:C

解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4.

4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=(　　)

A.11 B.5 C.-8 D.-11

答案:D

解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,

则8a1q+a1q4=0,解得q=-2.

∴=-11.

5.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是              (　　)

A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)

C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X)

答案:D

解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,

不妨取等比数列{an}为an=2n,

则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,

∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确.

6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于　　　　. 

答案:6

解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn==2(-1+2n)≥100,

∴2n≥51,

∴n≥6.

7.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为　　　　. 

答案:

解析:易知公比q≠1.

由9S3=S6,得9×,

解得q=2.

∴是首项为1,公比为的等比数列.

∴其前5项和为.

8.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=　　　　;|a1|+|a2|+…+|an|=　　　　. 

答案:-2　2n-1-

解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=×2n-1,

所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.

9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=4,a3+a4=17.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=,证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.

(1)解:设等差数列{an}的公差为d.

由题意知

解得a1=1,d=3,

∴an=3n-2(n∈N*).

(2)证明:由题意知,bn==23n(n∈N*),

bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),

∴=23=8(n∈N*,n≥2),

又b1=8,∴{bn}是以b1=8,公比为8的等比数列.

∴Tn=(8n-1).

10.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),且成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)对n∈N*,试比较+…+的大小.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d,

由题意可知,

即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,

因为d≠0,∴d=a1=a.

故通项公式an=na.

(2)记Tn=+…+,

因为=2na,

所以Tn=

=.

从而,当a>0时,Tn<;

当a<0时,Tn>.