人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案及答案

7.5数列的前n项和

一、学习目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

              2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；

              3．熟记一些常用的数列的和的公式．

二、自主学习：

【课前检测】1.（09年东城一模理15）已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.

解:（Ⅰ）设等比数列的公比为,依题意有,    (1)

又,将(1)代入得.所以.

于是有   解得或   

又是递增的,故.   所以.  

   (Ⅱ),.

故由题意可得,解得或.又,

所以满足条件的的最小值为13.

2.在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，求数列{bn}的前n项的和．

解：由已知得：an＝(1＋2＋3＋…＋n)＝，

bn＝＝8(－)         ∴数列{bn}的前n项和为

Sn＝8[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝8(1－)＝.

3．已知在各项不为零的数列中，。

   （1）求数列的通项；

   （2）若数列满足，数列的前项的和为，求

解：（1）依题意，，故可将整理得：

    所以     即

，上式也成立，所以

   （2）          

【考点梳理】

（一）前n项和公式Sn的定义：Sn=a1+a2+…an。

（二）数列求和的方法（共8种）

1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的

数列；4）常用公式:

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

3.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。

4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）

常见裂项公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

（5）常见放缩公式：.

5.错位相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.

解读：

6.累加（乘）法

7.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.

形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求。

8.其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。

解读：

三、合作探究：

题型1   公式法

例1  （2005年春季北京17改编）数列{bn}的通项公式为bn=3n－1.

（1）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；

（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.

解:（1）Sn==n2+n.

（2）b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，

所以Pn=nb1+·3d=n2－n；

b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，

所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.

Pn－Qn=（n2－n）－（3n2+26n）=n（n－19）.

所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；

当n=19时，Pn=Qn；当n≤18时，Pn＜Qn.

变式训练1  等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－p，则＝________.

解：1）当n=1时，；

2）当时，。

   因为数列为等比数列，所以

从而等比数列为首项为1，公比为2的等比数列。

故等比数列为首项为1，公比为的等比数列。

小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列

的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列为等比数列，

则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。

题型2   分组求和法

例2   在数列中，已知a1=2，an+1=4an－3n＋1，n∈.

（1）设，求数列的通项公式;

（2）设数列的前n项和为Sn，求Sn。

解：（1）

且

为以1为首项，以4为公比的等比数列    

（2）      

变式训练2   （2010年丰台期末18）数列中，，且点在函数的图象上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在数列中，依次抽取第3，4，6，…，，…项，组成新数列，试求数列的通项及前项和.

解：（Ⅰ）∵点在函数的图象上，∴。

∴，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，

∴。

（Ⅱ）依题意知：

∴==.

小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

题型3   裂项相消法

例3   (武汉市2008届高三调研测试文科)设数列的前n项和。（1）求数列的通项公式；(2)记，求数列前n项和

解：（1）数列的前n项之和

在n=1时，

在时，

而n=1时，满足

故所求数列通项

（2）∵

因此数列的前n项和

变式训练3   （2010年东城二模19改编）已知数列的前项和为，，，设．（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）数列满足，求。

证明：（Ⅰ）由于，       ①

    当时，．        ②

①     ②得   ．  所以  ．

又，         所以．

因为，且，所以．

所以．故数列是首项为，公比为的等比数列．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则（）．

      ．

小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）

题型4  错位相减法

例4  求数列前n项的和.

解：由题可知{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设              ①

        ②   （设制错位）

①－②得（错位相减）

        ∴  

变式训练4  (2010·昌平模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，                         ①

  ∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.                ②

①－②得3n－1an＝，an＝.

在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，      ∴an＝.

(2)∵bn＝，∴bn＝n3n.

∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3n，                        ③

∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n3n＋1.                       ④

④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，

即2Sn＝n3n＋1－，         ∴Sn＝＋.

题型5  并项求和法

例5  求＝1002－992＋982－972＋…＋22－12

解：＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋ 99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

变式训练2   数列{(－1)n·n}的前2010项的和S2 010为( D )

    A.－2010       B.－1005           C.2010          D.1005

解：S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 008－2 009＋2 010

＝(2－1)＋(4－3)＋(6－5)＋…＋(2 010－2 009)＝1 005.

题型5   累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等

例6   （1）求之和.

（2）已知各项均为正数的数列{an}的前n项的乘积等于Tn= (n∈N*)，

，则数列{bn}的前n项和Sn中最大的一项是（ D ）

A．S6              B．S5                   C．S4                   D．S3

解：（1）由于   （找通项及特征）

∴＝（分组求和）＝＝

＝

（2）D．

变式训练6 （1）（2009福州八中）已知数列则       ,               。答案：100． 5000。

（2）数列中，，且，则前2010项的和等于（ A ）

A．1005          B．2010         C．1          D．0

小结与拓展：

四、课堂总结：

以上一个8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使

其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

五、检测巩固：

1．求下列数列的前项和：

（1）5，55，555，5555，…，，…； （2）；

（3）；             （4）；

（5）；（6）．

解：（1）

．

（2）∵，

∴．

（3）∵

∴

．

（4），

   当时，…，

   当时，… ， 

…，

  两式相减得 …，

∴．

（5）∵，

 ∴ 原式……．

（6）设，

  又∵，

 ∴ ，．

2．已知数列的通项，求其前项和．

解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，

偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；

当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，

∴，

当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，

∴，

所以，．

3．数列前项和，数列满足，若是等比数列，

（1）       求的值及通项；

（2）求和…．

4．设数列的前项和为，则等于（     ）

六、学习反思：