数学2.3 等差数列的前n项和教学设计

2.3.2　等差数列的前n项和(二)

从容说课

“等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻.

通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用.

在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力.

教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.

教学难点 灵活应用求和公式解决问题.

教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等

三维目标

一、知识与技能

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；

3.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.

二、过程与方法 

1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；

2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.

三、情感态度与价值观

通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.

教学过程

导入新课

师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.

生 我们上一节课学习了等差数列的前n项和的两个公式：

(1)；(2).

师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n项和的公式的内容来进一步学习与探究.

推进新课

［合作探究］

师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n的函数形式.

生 我将等差数列{an}的前n项和的公式整理、变形得到：n.(*)

师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢?

生1 能，(*)式就是关于n的二次函数.

生2 不能，(*)式不一定是关于n的二次函数.

师 为什么?

生2 若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n的一次函数!只有当d≠0时，(*)式才是关于n的二次函数.

师 说得很好!等差数列{an}的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征?

生 它一定不含常数项，即常数项为0.

生 它的二次项系数是公差的一半.

……

师 对的，等差数列{an}的前n项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n项和为n的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗?

生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.

师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?

生 当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d≠0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函数的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1，2，3，…).

师 说得很精辟.

［例题剖析］

【例】 (课本第51页例4)

分析:等差数列{an}的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (x∈N *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)

师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.

生 它的首项为5，公差为.

师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？

生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=.

我令≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a8=0，而a9＜0.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.

师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.

［方法引导］

师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：

①当等差数列{an}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?

生Sn有最大值，可通过求得n的值.

师 ②当等差数列{an}的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?

生 Sn有最小值，可以通过求得n的值.

［教师精讲］

好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：

(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；

(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值.

课堂练习

请同学们做下面的一道练习：

已知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)

解：1°

+13 401＜n＜3 403.所以n=3 402.

2°Sn=1 024n+ (-lg2)，当Sn=0或Sn趋近于0时其和绝对值最小，

令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+1≈6 804.99.

因为n∈N*，所以有n=6 805.

(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)

［合作探究］

师 我们大家再一起来看这样一个问题：

全体正奇数排成下表：

1

3　5

7　9　11

13　15　17　19

21　23　25　27　29

……　……

此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?

师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.

生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有个奇数.

师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.

生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×-1=n2+n-1.

生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.

师 现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?

生4 我设n2-n+1≤2 005≤n2+n-1，

解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.

师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.

课堂小结

本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容?

生1

我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：

①利用an：当an＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且a n+1≤0，求得n的值；当an≤0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且a n+1≥0，求得n的值.

②利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.

生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.

师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.

布置作业

课本第52页习题2.3 A组第5、6题.

预习提纲：

①什么是等比数列？

②等比数列的通项公式如何求？

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