人教A版人教A版(2019)数学必修第一册复习专题：基本初等函数学案

复习专题：基本初等函数

指、对、幂函数

核心知识点一：指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b。

规律：在y轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。

核心知识点二：对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

故0＜c＜d＜1＜a＜b。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。

核心知识点三：幂函数的单调性

已知函数

（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；

（3）若函数f（x）在[－1，＋∞）内有意义，求实数a的取值范围；

（4）若函数f（x）的值域为（－∞，－1]，求实数a的值。

答案：（1）由f（x）的定义域为R，

知x2－2ax＋3＞0的解集为R，

则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜。

所以a的取值范围为（－，）。

（2）函数f（x）的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取（0，＋∞）上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－或a≥。

所以实数a的取值范围是（－∞，－]∪[，＋∞）。

（3）由f（x）在[－1，＋∞）内有意义，

知u（x）＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞）恒成立，

因为y＝u（x）图象的对称轴为x＝a，

所以当a＜－1时，u（x）min＝u（－1）＞0，

即解得－2＜a＜－1；

当a≥－1时，u（x）min＝u（a）＝3－a2＞0，即－＜a＜，所以－1≤a＜。

综上可知，a的取值范围为（－2，）。

（4）因为y＝f（x）≤－1，所以u（x）＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞），

又u（x）＝（x－a）2＋3－a2≥3－a2，

则有u（x）min＝3－a2＝2，

解得a＝±1。

总结提升：

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的。另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、化归与转化思想的使用。

（1）幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则（　　）

A. －1<m<0<n<1         B. －1<n<1<m

C. －1<m<0<n           D. －1<n<0<m<1

（2）若，则实数m的取值范围为_______。

答案：（1）D；（2）

解析：（1）在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在x∈（0，1）内作直线x＝x0与各图象有交点，如图，由“指大、图低”，知－1<n<0<m<1。故选D。

（2）因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞），且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解得故m的取值范围为。

总结提升：

①可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；②α的正负：当α>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过（1，1），在第一象限的图象下降；③在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握常见的几个幂函数的图象和性质是解题的关键。

1. 会准确做出函数图象并应用图象解题

2. 数学思想方法：函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想

（答题时间：30分钟）

1. 设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为（　　）

A. 18       B. 21      C. 24       D. 27

2. 计算：（　　）

A. 1         B.      C. －10       D. －20

3. 函数f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，且在（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值是 （　　）

A. －1      B. 2       C. 3          D. －1或2

4. 已知函数f（x）＝4＋2ax－1（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则点P的坐标是（　　）

A. （1，6）    B. （1，5）   C. （0，5）   D. （5，0）

5. 已知lga＋lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是（　　）

              A　　　    B　　　　    C　　　　      D

6. 函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A. （－∞，－3]         B. [－3，＋∞）   

C. （－∞，5]            D. [5，＋∞）

7. 已知函数f（x）＝x2＋2x＋1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________。

1. D  解析：因为2x＝8y＋1＝23（y＋1），所以x＝3y＋3，因为9y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27。故选D。

2. D  解析：原式＝（lg2－2－lg52）×100＝lg× 10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20。故选D。

3. B  解析：f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2。又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以m＝2。故选B。

4. A  解析：当x＝1时，f（1）＝6，与a无关，所以函数f（x）＝4＋2ax－1的图象恒过点P（1，6）。故选A。

5. B  解析：因为lga＋lgb＝0，所以ab＝1，所以g（x）＝－logbx＝logax，故f（x）与g（x）的单调性相同。故选B。

6. A  解析：函数f（x）图象的对称轴方程是x＝1－a，要使函数f（x）在（－∞，4]上是减函数，则1－a≥4，即a≤－3。故选A。

7.   解析：令g（x）＝f（x）－kx＝x2＋（2－k）x＋1，由题意知g（x）≤0对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g（x）＝0的一个根，即g（5）＝0，解得k＝（经检验满足题意）。故填。

三角函数

已知=2。

（1）,=__________

（2）=__________

（3）__________

答案：（1）（2）（3）

解析：（1）因为，所以，，

得，得，

（2）=

（3）

=

总结提升：

（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角函数定义求未知三角函数值。

（2）若无象限条件，一般“弦化切”。

（3）会灵活应用公式化简，求值。

求函数y＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx的最小正周期。

答案：π

解析：y＝2cosx（）－sin2x＋sinxcosx

＝sinxcosx＋cos2x－sin2x＋sinxcosx

＝sin2x＋cos2x

＝2sin

该函数的最小正周期为T＝＝π。

总结提升：

求三角函数周期的方法：

①利用周期函数的定义；

②利用公式y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为；

③对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先把其化为y＝·sin（ωx＋φ）的形式再求周期；

④带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定。

（1）已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝，则tanβ的值为________。

（2）已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝__________。

答案：（1）3（2）－

解析：（1）tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝3。故填3。

（2）因为sinα＋cosβ＝1　①，

cosα＋sinβ＝0　②，

所以①2＋②2得2＋2（sinαcosβ＋cosαsinβ）＝1，

即2＋2sin（α＋β）＝1，所以sin（α＋β）＝－。故填－。

总结提升：应用三角恒等变换公式求值的三个变换：①变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等。

1. 本节知识在高考中出现的频率高，题型比较稳定，考点核心是把所给函数式化成的形式，解答关于其图象与性质的问题。

2. 数学思想方法：函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想。

（答题时间：30分钟）

1. 函数y＝cos的最小正周期是（　　）

A.          B.         C. 2         D. 4

2. 函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为 （　　）

A. （0，0）    B.     C.     D.

3. 函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为（　　）

A. 4         B. 5        C. 6           D. 7

4. 已知tan＝3，则cosα＝（　　）

A.          B. －       C.          D. －

5. 将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

A.         B.         C. －         D. －

6. 若tanα＝2tan，则＝（　　）

A. 1         B. 2        C. 3         D. 4

1. B  解析：函数y＝cos最小正周期T＝＝π。故选B。

2. C  解析：因为y＝sin2x＝，令2x＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，所以函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为。故选C。

3. B  解析：因为f（x）＝1－2sin2x＋6sinx＝－2＋，而sinx∈[－1，1]，所以当sinx＝1时，f（x）取最大值5。故选B。

4. B  解析：cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－。故选B。

5. D  解析：将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位后为g（x）＝sin＝sin（2x＋＋φ）的图象，因为它的图象关于原点对称，所以 g（0）＝sin（＋φ）＝0，则＋φ＝kπ（k∈Z），φ＝kπ－（k∈Z）。依题意，φ＝－，所以f（x）＝sin。当x∈时，－≤2x－≤，所以当x＝0时，函数f（x）在上有最小值为－。故选D。

6. C  解析：＝

＝＝

＝

＝

故选C。